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02_古典密码与 Enigma 密码机

1. 密码学基本概念

  • 加密 (Encryption)：将明文 (plaintext) 通过密钥 (key) 转换为密文 (ciphertext) 的过程，旨在防止数据在传输过程中被未经授权的访问。

  • 解密 (Decryption)：将密文 (ciphertext) 通过密钥 (key) 还原为原始明文 (plaintext) 的过程。

2. 单表密码 Monoalphabetic Ciphers

单表密码只使用一张密码字母表，明文字母与密文字母之间存在固定的对应关系。

  • 弱点：由于对应关系固定，此类密码极易受到频率分析法的攻击。

2.1 加法密码 Additive Cipher

以恺撒加密法 (Julius Caesar) 为代表，通过字母表的移位来实现加解密。

  • 加密算法：\(y = (x - \text{'A'} + 3) \pmod{26} + \text{'A'}\)。

  • 解密算法：利用加法逆元 \(x = (y - \text{'A'} + 23) \pmod{26} + \text{'A'}\)。

2.2 乘法密码 Multiplicative Cipher

  • 加密算法：\(y = x \cdot k \pmod n\)。

  • 解密算法：\(x = y \cdot k^{-1} \pmod n\)。

2.3 仿射密码 Affine Cipher

结合了加法和乘法操作，需要两个密钥 \(k_1\) 和 \(k_2\)。

  • 加密算法：\(y = (x \cdot k_1 + k_2) \pmod n\)。

  • 解密算法：\(x = (y - k_2) \cdot k_1^{-1} \pmod n\)。

3. 多表密码 Polyalphabetic Ciphers

多表密码对每个明文字母采用不同的单表进行代换，即同一个明文字母在不同位置可能会对应多个不同的密文字母。

  • 其他经典密码包括：Playfair、Beaufort、Vernam、Hill 等。

3.1 维吉尼亚密码 Vigenere Cipher

  • 加密算法：\(y = (x + k_i) \pmod n\)。

  • 解密算法：\(x = (y - k_i) \pmod n\)。

  • 示例：明文 this crypto... 与密钥 cipher cipher... 逐个字母进行偏移计算。

4. Enigma 密码机

Enigma 密码机是一种极其复杂的机电加密设备，其加密过程涉及接线板、多个转子（齿轮）和反射板。

4.1 核心状态变量：Ring Setting 与 Message Key

齿轮的内部和外部状态决定了加密的偏移量（\(\Delta\)）。

  • Ring Setting (内部设置)：齿轮内部的初始状态，在键盘敲击进行加密的过程中不会发生改变。

  • Message Key (外部设置)：齿轮外部显示的状态，会随着每一次按键而发生变化（步进）。

  • 差值计算 (\(\Delta\))：加密时的实际偏移量 \(\Delta = \text{MessageKey} - \text{RingSetting}\)。

    • 例如：若 MessageKey=D，RingSetting=B，则 \(\Delta = \text{'D'} - \text{'B'} = 2\)。

4.2 加密信号流向与计算规则

加密过程经过 5 个元件：接线板 (Plugboard) \(\rightarrow\) 齿轮 I \(\rightarrow\) 齿轮 II \(\rightarrow\) 齿轮 III \(\rightarrow\) 反射板 (Reflector) \(\rightarrow\) 齿轮 III \(\rightarrow\) 齿轮 II \(\rightarrow\) 齿轮 I \(\rightarrow\) 接线板。

按键触发步进

当按下键盘输入字母时，右侧齿轮（如 1 号轮）会先旋转一次（即 Message Key 做递增），然后明文字母才进入最右侧齿轮开始加密。

单齿轮内的加密计算逻辑（设输入为 \(c\)）：

  1. 进入齿轮前（加法偏移）：\(c = c + \Delta\)（需处理字母表取模，即 \(c = ((c - \text{'A'}) + \Delta + 26) \pmod{26} + \text{'A'}\)）。

  2. 查表替换（A-Z 字母表对应的单表加密）：

    • 从右向左（正向）：在齿轮的字符数组中查找对应位置的字母。

    • 从左向右（逆向）：在齿轮的字符数组中反向查找对应位置的字母。

  3. 离开齿轮时（减法偏移）：\(c = c - \Delta\)。

接线板 (Plugboard) 的作用：

只影响最初进入最右侧齿轮的信号，以及最终从最右侧齿轮出来的信号，不影响中间的计算。接线一对按键时，交换两个按键与输入的映射（即 A 连 B 时，A 变 B，B 也变 A）。

4.3 齿轮步进机制与 “双步进” (Double Stepping) 现象

齿轮的旋转是由棘爪 (pawl) 和卡口 (notch) 机械驱动的。当某个齿轮的 Message Key 达到特定字母时，下一次按键不仅会推动该齿轮，还会推动其左侧的齿轮。

  • 5 个齿轮的卡口位置与触发字母 (Royal Flags Wave Kings Above)：

    • 齿轮 I：在 Q 变成 R 时带动左侧。

    • 齿轮 II：在 E 变成 F 时带动左侧。

    • 齿轮 III：在 V 变成 W 时带动左侧。

    • 齿轮 IV：在 J 变成 K 时带动左侧。

    • 齿轮 V：在 Z 变成 A 时带动左侧。

  • 双步进现象 (Double Stepping)：

    该现象由 Enigma 的机械结构决定，只出现在两边都存在其他齿轮的齿轮上（例如排列为 III-II-I 时的齿轮 II）。

    归纳起来，中间齿轮 (设为 II) 会在以下两种情况转动：

    1. 右侧齿轮 (I) 从 Q 转到 R 时，带动 II 转动。

    2. 当 II 当前正处于其卡口位置（如 E）时，无论右侧齿轮 (I) 的 Message Key 是多少，只要敲击键盘，位于 II 和 III 之间的棘爪就会推动 II 和 III 同时旋转。

    3. 后果：如果 I 将 II 推到了 E，下一次按键时 II 自己又会发生转动并带动 III。这导致齿轮 II 连续转动了两次。

4.4 密钥传递协议 (Message Key 传递)

由于每日的初始设置固定，为了安全，通讯双方需要为每条消息生成随机密钥：

  1. 发送方随机想出 3 个齿轮的外部状态 (Message Key)，例如 ABC。

  2. 以明文形式将 ABC 发送给对方。

  3. 发送方想出真正用于加密的齿轮初始状态（如 ZJU），在当前 ABC 的状态下，连续按下 ZJU，得到加密后的密文（如 Z'J'U'），发送给对方。

  4. 对方收到后，在齿轮状态为 ABC 的情况下，输入 Z'J'U' 解密出真实的通讯密钥 ZJU。

  5. 双方将齿轮 Message Key 设为 ZJU，开始正式通讯。

4.5 附录：各组件转换表参考

以下为模拟实验用到的齿轮及反射板的标准字符映射表（下标0-25对应A-Z）：

  • Rotor I: EKMFLGDQVZNTOWYHXUSPAIBRCJ

  • Rotor II: AJDKSIRUXBLHWTMCQGZNPYFVOE

  • Rotor III: BDFHJLCPRTXVZNYEIWGAKMUSQO

  • Rotor IV: ESOVPZJAYQUIRHXLNFTGKDCMWB

  • Rotor V: VZBRGITYUPSDNHLXAWMJQOFECK

  • Reflector: YRUHQSLDPXNGOKMIEBFZCWVJAT