05_多元函数的极限与连续

一、 \(n\) 维欧氏空间 (\(\mathbb{R}^n\)) 及其点集拓扑

1. \(\mathbb{R}^n\) 的代数结构

定义：所有有序的 \(n\) 元实数数组 \((x_1, \dots, x_n)\) 组成的集合记为 \(\mathbb{R}^n\)，即：

\[ \mathbb{R}^n = \{(x_1, x_2, \dots, x_n) : x_i \in \mathbb{R}, \forall 1 \le i \le n\} \]

• 几何意义：对于 \(\forall x \in \mathbb{R}^n\)，可将其看作 \(\mathbb{R}^n\) 中的一个点，也可看作一个向量（起点为原点）。每个 \(x_i\) 称为 \(x\) 的分量。

• 线性空间：在 \(\mathbb{R}^n\) 中定义向量加法与标量乘法：

  1. \(x+y = (x_1+y_1, x_2+y_2, \dots, x_n+y_n)\)

  2. \(\lambda x = (\lambda x_1, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n)\) \(\quad (\lambda \in \mathbb{R})\)

     在上述加法及数乘下，\(\mathbb{R}^n\) 构成一个实线性空间，其中 \((0, 0, \dots, 0)\) 是零元。

2. \(\mathbb{R}^n\) 中的距离结构 (拓扑结构)

定义：\(\forall x=(x_1, \dots, x_n), y=(y_1, \dots, y_n) \in \mathbb{R}^n\)，定义 \(x\) 到 \(y\) 的欧几里得距离为：

\[ \rho(x, y) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2} \]

距离函数 \(\rho(x,y)\) 满足以下三个核心性质：

1. 非负性：\(\forall x, y \in \mathbb{R}^n, \rho(x, y) \ge 0\)，且 \(\rho(x,y) = 0 \iff x = y\)。

2. 对称性：\(\forall x, y \in \mathbb{R}^n, \rho(x, y) = \rho(y, x)\)。

3. 三角不等式：\(\forall x, y, z \in \mathbb{R}^n\)，有 \(\rho(x, y) \le \rho(x, z) + \rho(z, y)\)。

概念扩展：

• 欧氏空间：在 \(\mathbb{R}^n\) 上定义了上述代数结构和欧氏距离结构之后，我们称其为 \(n\) 维欧氏空间。\(\mathbb{R}^n\) 中的元素特指为“点”。例如 \(\mathbb{R}^2\) 是平面点集。

• 其他度量空间：度量方式不唯一。例如在连续函数空间 \(X = C[0,1]\) 上可定义距离 \(\rho(f,g) = \max_{x \in [0,1]} |f(x)-g(x)|\)；在 \(\mathbb{R}^n\) 中也可定义最大值范数距离 \(|x-y|_\infty = \max_{1 \le i \le n} |x_i - y_i|\)。

3. 三角不等式的证明与柯西-施瓦茨不等式

引理 (柯西-施瓦茨不等式)：

任取实数 \(a_1, \dots, a_n\) 及 \(b_1, \dots, b_n\)，恒有：

\[ \sum_{i=1}^n a_i b_i \le \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)^{1/2} \cdot \left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)^{1/2} \]

证明技巧（二次判别法）：

引入辅助变量 \(\lambda \in \mathbb{R}\)，构造关于 \(\lambda\) 的二次函数：

\[ f(\lambda) = \sum_{i=1}^n (a_i \lambda + b_i)^2 \]

显然 \(\forall \lambda \in \mathbb{R}, f(\lambda) \ge 0\)。将式子展开：

\[ f(\lambda) = \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\lambda^2 + \left(2\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)\lambda + \left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right) \ge 0 \]

既然该二次函数恒非负，其判别式 \(\Delta\) 必须小于等于 \(0\)：

\[ \Delta = \left(2\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2 - 4\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right) \le 0 \]

移项并开平方，即证得 Cauchy-Schwarz 不等式。

三角不等式的推导：

考察两点距离的平方：

\[ (\rho(x,y))^2 = \sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2 = \sum_{i=1}^n ((x_i - z_i) + (z_i - y_i))^2 \]

\[ = \sum_{i=1}^n (x_i - z_i)^2 + \sum_{i=1}^n (z_i - y_i)^2 + 2\sum_{i=1}^n (x_i - z_i)(z_i - y_i) \]

利用 C-S 不等式，对最后一项放缩：

\[ 2\sum_{i=1}^n (x_i - z_i)(z_i - y_i) \le 2 \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - z_i)^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^n (z_i - y_i)^2} \]

代回原式，右端恰好构成完全平方式：

\[ (\rho(x,y))^2 \le (\rho(x,z))^2 + (\rho(z,y))^2 + 2\rho(x,z)\rho(z,y) = (\rho(x,z) + \rho(z,y))^2 \]

开方即得 \(\rho(x,y) \le \rho(x,z) + \rho(z,y)\)。

4. 点集拓扑的基本概念

定义 (邻域)：设 \(x \in \mathbb{R}^n, \delta > 0\)。

• \(\delta\) 邻域：\(U(x, \delta) = \{y \in \mathbb{R}^n : \rho(y, x) < \delta\}\)

• 去心 \(\delta\) 邻域：\(U^\circ(x, \delta) = \{y \in \mathbb{R}^n : 0 < \rho(y, x) < \delta\} = U(x, \delta) \setminus \{x\}\)

点与集合的关系：

给定点 \(x \in \mathbb{R}^n\) 与点集 \(E \subset \mathbb{R}^n\)，点 \(x\) 相对于集合 \(E\) 有且仅有以下几种相互排斥的位置关系或属性：

1. 内点：若 \(\exists \delta > 0\)，使得 \(U(x, \delta) \subset E\)。

   • \(E\) 的全体内点组成的集合称为 \(E\) 的内部，记作 \(E^\circ\) 或 \(int(E)\)。

   • 注：内点必属于 \(E\)。

2. 外点：若 \(\exists \delta > 0\)，使得 \(U(x, \delta) \cap E = \emptyset\)。

   • 注：外点必不属于 \(E\)。

3. 边界点：若 \(\forall \delta > 0\)，既有 \(U(x, \delta) \cap E \neq \emptyset\)，又有 \(U(x, \delta) \cap E^c \neq \emptyset\)（即邻域内同时存在属于 \(E\) 和不属于 \(E\) 的点）。

   • \(E\) 的全体边界点组成的集合称为 \(E\) 的边界，记作 \(\partial E\)。

   • 注：边界点可能属于 \(E\)，也可能不属于 \(E\)。

4. 聚点 / 极限点：若 \(\forall \delta > 0\)，\(U^\circ(x, \delta) \cap E \neq \emptyset\)。

   • 等价定义：\(\forall \delta > 0, U(x, \delta)\) 中含有 \(E\) 中无限多个点。

   • \(E\) 的全体聚点组成的集合称为 \(E\) 的导集，记作 \(E'\)。

5. 孤立点：若 \(x \in E\)，且 \(\exists \delta > 0\) 使得 \(U(x, \delta) \cap E = \{x\}\)。

   • 孤立点必定是边界点；非孤立点的边界点必定是聚点；内点必定是聚点。

闭包：

集合 \(E\) 与其导集 \(E'\) 的并集称为 \(E\) 的闭包，记作 \(\bar{E} = E \cup E'\)。也可以理解为 \(\bar{E} = E \cup \partial E\)。

性质：闭包是包含 \(E\) 的最小闭集。

例：

设在一维空间 \(\mathbb{R}^1\) 中，\(E = [0, 1)\)：

• 内部：\(int(E) = (0, 1)\)

• 边界：\(\partial E = \{0, 1\}\) （注意 \(0 \in E\) 但 \(1 \notin E\)，它们都是边界点）

• 导集：\(E' = [0, 1]\) （区间内和端点附近都有无限个 \(E\) 的点）

• 闭包：\(\bar{E} = [0, 1]\)

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二、 \(\mathbb{R}^n\) 中的开集与闭集

1. 定义：开集与闭集

设 \(E \subset \mathbb{R}^n\)：

• (i) 开集： 称 \(E\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的开集，如果 \(\forall x \in E\)，有 \(x\) 是 \(E\) 的内点，即 \(\text{int} E = E\)。

• (ii) 闭集： 称 \(E\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的闭集，如果 \(E\) 的所有聚点都属于 \(E\)，即 \(E' \subset E\) 或 \(\overline{E} = E\)。

补集：

给定 \(E \subset \mathbb{R}^n\)，定义 \(E^c = \mathbb{R}^n \setminus E\)，称为 \(E\) 在 \(\mathbb{R}^n\) 中的补集（外集）。

定理：开闭集的对偶关系

\[ E \text{ 是 } \mathbb{R}^n \text{ 中的开集} \iff E^c \text{ 是 } \mathbb{R}^n \text{ 中的闭集} \]

2. 邻域的性质

性质： \(\mathbb{R}^n\) 中的任一邻域都是开集。

证明：

设任取 \(x \in \mathbb{R}^n\) 及 \(r > 0\)。我们需要证明：对于 \(\forall y \in U(x, r)\)，有 \(y\) 是 \(U(x, r)\) 的内点。

取定 \(y \in U(x, r)\)，有 \(\rho(x, y) < r\)。

令 \(h = r - \rho(x, y)\)，则 \(h > 0\)。

并且 \(\forall z \in U(y, h)\)，由三角不等式有：

\[\rho(x, z) \le \rho(x, y) + \rho(y, z) < \rho(x, y) + h = r\]

\(\implies z \in U(x, r)\)。

由 \(z\) 的任意性可知，\(U(y, h) \subset U(x, r)\)。

从而 \(y\) 是 \(U(x, r)\) 的内点。证明完毕。

3. 开集与闭集的例子与性质

• 开集的例子： 开区间/开超矩形

  \[ (a_1, b_1) \times (a_2, b_2) \times \dots \times (a_n, b_n) = \{ (x_1, x_2, \dots, x_n) \mid a_i < x_i < b_i, i = 1, 2, \dots, n \} \]

• 闭集的例子： 闭区间/闭超矩形

  \[ [a_1, b_1] \times \dots \times [a_n, b_n] = \{ (x_1, \dots, x_n) \mid a_i \le x_i \le b_i, i = 1, \dots, n \} \]

运算性质：

(i) \(\emptyset\) 和 \(\mathbb{R}^n\) 既是 \(\mathbb{R}^n\) 中的开集，也是闭集。

(注：结合德摩根定律：\((\bigcap_{\alpha \in \Lambda} K_\alpha)^c = \bigcup_{\alpha \in \Lambda} (K_\alpha^c)\))

(ii) 任意多个开集的并都是开集；任意多个闭集的交都是闭集。

(iii) 有限多个开集的交都是开集；有限多个闭集的并都是闭集。

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三、 \(\mathbb{R}^n\) 中的有界集

1. 有界集的定义

设 \(E \subset \mathbb{R}^n\)。若 \(\exists r > 0\)，使得 \(E \subset U(0, r)\)，则称 \(E\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的有界点集（其中 \(0 = (0, \dots, 0)\) 是原点）。

2. 有界集的等价条件

性质 1： 设 \(E \subset \mathbb{R}^n\)，则以下三者等价：

1. \(E\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的有界点集。

2. \(\exists x_0 \in \mathbb{R}^n\) 并且 \(\exists r_0 > 0\)，使得 \(E \subset U(x_0, r_0)\)。

3. \(\forall x \in \mathbb{R}^n\)，\(\exists r_x > 0\)，使得 \(E \subset U(x, r_x)\)。

   (证明思路：令 \(r_x = r + \rho(0, x)\)，则 \(\forall y \in E\)，\(\rho(y, x) \le \rho(y, 0) + \rho(0, x) < r + \rho(0, x) = r_x\))

定义（集合的直径）：

设 \(E \subset \mathbb{R}^n\)，定义 \(d(E) = \sup \{ \rho(x, y) : x, y \in E \}\)，称其为 \(E\) 的直径，也记作 \(\text{diam} E\)。

性质 2： \(E \subset \mathbb{R}^n\) 是有界集 \(\iff d(E) < +\infty\)。

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四、 \(\mathbb{R}^n\) 中的序列与极限

1. 序列收敛的定义

设 \(\{x_m\}_{m=1}^\infty\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的一个序列（也称点列），\(x_0 \in \mathbb{R}^n\)。

如果对于 \(\forall \varepsilon > 0\)，\(\exists M \in \mathbb{Z}^+\)，使得当 \(m \ge M\) 时，有：

\[ \rho(x_m, x_0) < \varepsilon \]

则称序列 \(\{x_m\}\) 以 \(x_0\) 为极限，也称 \(\{x_m\}\) 收敛于 \(x_0\)，记作 \(\lim_{m \to \infty} x_m = x_0\)。

(注：如果对于 \(\forall x_0 \in \mathbb{R}^n\)，都不存在 \(\{x_m\}\) 以 \(x_0\) 为极限，则称序列 \(\{x_m\}\) 发散。)

性质（聚点与序列的关系）：

设 \(E \subset \mathbb{R}^n\)，\(x \in \mathbb{R}^n\)。则：

\[ x \in E' \iff \exists \text{ 序列 } \{x_m\}_{m=1}^\infty \subset E \setminus \{x\}, \text{ s.t. } x = \lim_{m \to \infty} x_m \]

2. 序列极限的性质

1. 唯一性： 若极限存在，则极限是唯一的。

2. 线性性质： 设 \(\{x_m\}_{m=1}^\infty\) 与 \(\{y_m\}_{m=1}^\infty\) 分别收敛于 \(x_0\) 与 \(y_0\)。则对于 \(\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}\)，有：

   $$
   

   \lim_{m \to \infty} (\alpha x_m + \beta y_m) = \alpha x_0 + \beta y_0 $$

3. 有界性： 若极限存在，则 \(\{x_m\}\) 是有界序列。

4. 按分量收敛： 设 \(\{x_m\}_{m=1}^\infty\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的序列，其中 \(x_m = (x_1^{(m)}, \dots, x_n^{(m)})\)。设 \(x_0 = (x_1^{(0)}, \dots, x_n^{(0)}) \in \mathbb{R}^n\)。则：

   \[ \lim_{m \to \infty} x_m = x_0 \iff \forall 1 \le i \le n, \ \lim_{m \to \infty} x_i^{(m)} = x_i^{(0)} \quad \cdots (1) \]

按分量收敛的证明：

(\(\implies\)) \(\forall \varepsilon > 0\)，\(\exists M \in \mathbb{Z}^+\)，当 \(m \ge M\) 时，有 \(\rho(x_m, x_0) < \varepsilon\)。

那么 \(\forall 1 \le i \le n\)，当 \(m \ge M\) 时，有：

\[|x_i^{(m)} - x_i^{(0)}| \le \sqrt{\sum_{j=1}^n (x_j^{(m)} - x_j^{(0)})^2} = \rho(x_m, x_0) < \varepsilon\]

故 (1) 式成立。

(\(\impliedby\)) \(\forall \varepsilon > 0\)。由于对 \(\forall 1 \le i \le n\)，(1) 式成立，因此：

\(\exists M \in \mathbb{Z}^+\)，使得当 \(m \ge M\) 时，对所有的 \(1 \le i \le n\)，有 \(|x_i^{(m)} - x_i^{(0)}| < \frac{\varepsilon}{\sqrt{n}}\)。

从而当 \(m \ge M\) 时，有：

\[\rho(x_m, x_0) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i^{(m)} - x_i^{(0)})^2} < \sqrt{\sum_{i=1}^n \left(\frac{\varepsilon}{\sqrt{n}}\right)^2} = \varepsilon\]

证明完毕。

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五、 \(\mathbb{R}^n\) 中的基本定理

1. 柯西 (Cauchy) 序列与柯西收敛准则

定义（柯西序列/基本序列）：

设 \(\{x_m\}_{m=1}^\infty\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的序列。若 \(\forall \varepsilon > 0\)，\(\exists M \in \mathbb{Z}^+\)，使得当 \(m, l \ge M\) 时，有 \(\rho(x_m, x_l) < \varepsilon\)，则称 \(\{x_m\}\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的柯西序列。

定理（柯西收敛准则）：

序列 \(\{x_m\}\) 收敛 \(\iff \{x_m\}\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的柯西序列。

证明要点：

(\(\implies\)) 利用三角不等式 \(\rho(x_m, x_l) \le \rho(x_m, x_0) + \rho(x_l, x_0)\) 易证。

(\(\impliedby\)) 记 \(x_m = (x_1^{(m)}, \dots, x_n^{(m)})\)。由 \(|x_i^{(m)} - x_i^{(l)}| \le \rho(x_m, x_l)\)，对所有正整数 \(m, l \ge M\) 成立。

因为 \(\{x_m\}\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的柯西序列，可知分量序列 \(\{x_i^{(m)}\}_{m=1}^\infty\) 是 \(\mathbb{R}\) 中的柯西序列。

由实数的柯西收敛准则，序列收敛，设其极限为 \(x_i^{(0)}\)。

令 \(x_0 = (x_1^{(0)}, \dots, x_n^{(0)})\)，由前述性质(4)按分量收敛即得 \(\lim_{m \to \infty} x_m = x_0\)。

2. 闭集套定理

定理： 设 \(\{E_m\}_{m=1}^\infty\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的一列非空闭集，并且满足以下两个条件：

1. 嵌套性： \(E_{m+1} \subset E_m\), \(\forall m \ge 1\)

2. 直径趋于零： \(\lim_{m \to \infty} d(E_m) = 0\)

   则存在唯一的 \(x \in \mathbb{R}^n\)，使得 \(x \in \bigcap_{m=1}^\infty E_m\)。

证明过程：

唯一性： 显然成立（若存在两个不同的点，其距离大于0，与直径趋于0矛盾）。下证存在性。

存在性： \(\forall m \ge 1\)，由 \(E_m\) 非空，可任取一个 \(x_m \in E_m\)。

任意固定 \(m \in \mathbb{Z}^+\)，\(\forall p \in \mathbb{Z}^+\)，有：

\[x_{m+p} \in E_{m+p} \subset E_m\]

从而 \(\rho(x_m, x_{m+p}) \le d(E_m) \to 0 \ (m \to \infty)\)。

即 \(\{x_m\}\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的柯西序列，从而收敛。设其极限为 \(x_0\)。

下证 \(x_0 \in \bigcap_{m=1}^\infty E_m\)：

任意固定 \(m \in \mathbb{Z}^+\)。令 \(S\) 是由所有 \(x_k \ (k \ge m)\) 组成的集合。

情形 1： 若 \(S\) 是有限集。则 \(\exists M \ge m\)，使得 \(x_M \in S\)，及严格单调递增的正整数列 \(\{k_i\}\)，使得 \(x_{k_i} = x_M\), \(\forall i=1,2,\dots\)。从而 \(x_0 = \lim_{i \to \infty} x_{k_i} = x_M \in E_M \subset E_m\)。

情形 2： 若 \(S\) 是无限集。此时 \(x_0\) 是 \(E_m\) 的一个聚点，即 \(x_0 \in E_m'\)。又 \(E_m\) 是闭集，从而 \(E_m' \subset E_m\)。故 \(x_0 \in E_m\)。

综上，对 \(\forall m \ge 1\)，有 \(x_0 \in E_m\)。从而 \(x_0 \in \bigcap_{m=1}^\infty E_m\)。证明完毕。

3. 波尔查诺-魏尔斯特拉斯 (Bolzano-Weierstrass) 定理

定理 1（序列形式）： \(\mathbb{R}^n\) 中的有界点列必有收敛子列。

证明（以 \(n=2\) 为例解释）：

设 \(\{(x_1^{(m)}, x_2^{(m)})\}\) 是 \(\mathbb{R}^2\) 中的有界点列。

则其第一分量列 \(\{x_1^{(m)}\}\) 是 \(\mathbb{R}\) 中的有界点列，从而存在收敛子列 \(\{x_1^{(m_k)}\}_{k=1}^\infty\)。

接下来考察对应的第二分量列 \(\{x_2^{(m_k)}\}_{k=1}^\infty\)，它依然是 \(\mathbb{R}\) 中的有界点列。

从而它也存在收敛子列 \(\{x_2^{(m_{k_l})}\}_{l=1}^\infty\)。

那么组合起来的点列 \(\{(x_1^{(m_{k_l})}, x_2^{(m_{k_l})})\}\) 便是原序列在 \(\mathbb{R}^2\) 中的收敛子列。证明思路可自然推广至 \(n\) 维。

定理 2（集合形式）： \(\mathbb{R}^n\) 的任意一个有界无限点集都有聚点。

证明过程：

设 \(E\) 为有界无限点集。任取定 \(x_1 \in E\)。

由 \(E\) 是无限集，故可取 \(x_2 \in E \setminus \{x_1\}\)。

继续取 \(x_3 \in E \setminus \{x_1, x_2\}\)……

不断继续该过程，可得点列 \(\{x_m\}\)，使得 \(x_m \in E, \forall m \ge 1\)，且对于 \(\forall m \neq l\) 有 \(x_m \neq x_l\)。

由于 \(\{x_m\} \subset E\) 且 \(E\) 有界，根据定理 1，存在 \(\{x_m\}\) 的收敛子列 \(\{x_{m_k}\}\)。设其极限为 \(x_0\)。

由于 \(\{x_{m_k}\}\) 中的点两两不同，故无限趋近时有 \(x_0 = \lim_{k \to \infty} x_{m_k} \in E'\)（即 \(x_0\) 为 \(E\) 的聚点）。证明完毕。

4. 紧集与海涅-博雷尔 (Heine-Borel) 定理

定义（开覆盖与紧集）：

设 \(E \subset \mathbb{R}^n\)。设 \(\{V_\alpha : \alpha \in \Lambda\}\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的一族开集：

• 开覆盖：如果 \(E \subset \bigcup_{\alpha \in \Lambda} V_\alpha\)，则称 \(\{V_\alpha : \alpha \in \Lambda\}\) 是 \(E\) 的一个开覆盖。

• 紧集：如果 \(E\) 的每一个开覆盖 \(\{V_\alpha : \alpha \in \Lambda\}\) 都存在有限子覆盖（即存在 \(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_k \in \Lambda\)，使得 \(E \subset \bigcup_{i=1}^k V_{\alpha_i}\)），则称 \(E\) 是紧集。

定理（紧集的等价刻画 / 欧氏空间中的基本定理）：

设 \(E \subset \mathbb{R}^n\)，则以下命题等价：

1. \(E\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的有界闭集。

2. \(E\) 是紧集。

3. 序列紧致性：任取包含于 \(E\) 的序列 \(\{x_m\}\)，都有收敛子列 \(\{x_{m_k}\}\)，并且其极限属于 \(E\)。

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六、 多元函数的基本概念与极限

1. 多元函数的基本定义

定义： 设 \(D \subset \mathbb{R}^n\)，设 \(f\) 是从 \(D\) 到 \(\mathbb{R}\) 的一个映射，则称 \(f\) 是一个 \(n\) 元函数，记作：

\[ y = f(x), \quad x \in D \]

或记为坐标形式：

\[ y = f(x_1, \dots, x_n), \quad (x_1, \dots, x_n) \in D \]

• 定义域：此时 \(D\) 称为 \(f\) 的定义域。

• 变量：\(y\) 称为因变量，\(x\)（或 \(x_1, \dots, x_n\)）称为自变量。

• 值域：\(f(D) = \{f(x) \mid x \in D\}\) 称为 \(f\) 的值域。若 \(f(D)\) 有界，则称 \(f\) 为有界函数；不然，称为无界函数。

定义（图像）： 函数 \(f\) 的图像定义为集合：

\[ \Gamma(f) = \{(x, f(x)) \mid x \in D\} = \{(x_1, \dots, x_n, x_{n+1}) \mid x_{n+1} = f(x_1, \dots, x_n), (x_1, \dots, x_n) \in D\} \]

注：

1. 在二元函数或三元函数中，常把自变量 \((x_1, x_2)\) 或 \((x_1, x_2, x_3)\) 写成 \((x, y)\) 或 \((x, y, z)\)。

2. 当 \(f\) 用公式法表示时，若不特别指出，\(f\) 的定义域就是 \(f\) 的存在域（即自然定义域）。

2. 多元函数的极限

定义（多元函数极限的 \(\varepsilon-\delta\) 语言）：

设 \(D \subset \mathbb{R}^n\)，\(x_0 \in D'\)（\(x_0\) 是 \(D\) 的聚点），\(f: D \to \mathbb{R}\)，\(a \in \mathbb{R}\)。

如果对于 \(\forall \varepsilon > 0\)，\(\exists \delta > 0\)，当 \(x \in U^\circ(x_0, \delta) \cap D\) 时，有：

\[ |f(x) - a| < \varepsilon \]

则称 \(f\) 在 \(D\) 上当 \(x \to x_0\) 时，以 \(a\) 为极限，记作：

\[ \lim_{\substack{x \to x_0 \\ x \in D}} f(x) = a \quad (1) \]

注（记法的简化与变体）：

1. 在对于 \(x \in D\) 不致于产生误解时，(1) 式也可简记作：\(\lim_{x \to x_0} f(x) = a \quad (1')\)

2. 当 \(x\) 与 \(x_0\) 分别用 \((x_1, \dots, x_n)\) 与 \((x_1^{(0)}, \dots, x_n^{(0)})\) 表示时，也可写为：

   \[\lim_{(x_1, \dots, x_n) \to (x_1^{(0)}, \dots, x_n^{(0)})} f(x_1, \dots, x_n) = a \quad (1'')\]

3. 在上述定义中，去心球形邻域可以用去心方形邻域替代，即使用以下条件替换距离条件：

   \(\{(x_1, \dots, x_n) \mid |x_1 - x_1^{(0)}| < \delta, \dots, |x_n - x_n^{(0)}| < \delta, \text{ 并且 } (x_1, \dots, x_n) \neq (x_1^{(0)}, \dots, x_n^{(0)}) \}\)

3. 多元函数极限的证明方法实例

例 2： 设 \(f(x, y) = \begin{cases} xy \cdot \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}, & (x, y) \neq (0,0) \\ 0, & (x, y) = (0,0) \end{cases}\)。

证明：\(\lim_{(x, y) \to (0,0)} f(x, y) = 0\)。

方法一：直接放缩法

分析： 由于当 \((x, y) \neq (0,0)\) 时，\(\left| \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} \right| \le 1\)。

从而 \(|f(x, y)| \le |xy| \le \frac{x^2 + y^2}{2}\) （利用基本不等式）。

证明： \(\forall \varepsilon > 0\)，取 \(\delta = \sqrt{2\varepsilon}\)。

则当 \((x, y) \in U^\circ((0,0), \delta)\) 时，有：

\[|f(x, y) - 0| \le \frac{x^2 + y^2}{2} < \frac{\delta^2}{2} = \varepsilon\]

结论成立。

方法二：极坐标变换法

极坐标极限定理基础：

对于二元函数 \(f(x, y)\)，若希望证明 \(\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = a\)。

可令 \(\begin{cases} x = x_0 + r \cos \theta \\ y = y_0 + r \sin \theta \end{cases}\)

此时 \((x, y) \in U^\circ((x_0, y_0), \delta) \iff 0 < r < \delta\)。

于是证明原式等价于证明：\(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0\)，当 \(0 < r < \delta\) 时，对于 \(\forall \theta \in [0, 2\pi)\)，均有：

\[|f(x_0 + r \cos \theta, y_0 + r \sin \theta) - a| < \varepsilon\]

用极坐标法证明本例：

代入 \(x = r\cos\theta, y=r\sin\theta\) 且 \(r \neq 0\)：

\[|f(r \cos \theta, r \sin \theta) - 0| \le |xy| = |r^2 \cos \theta \sin \theta| \le r^2\]

于是 \(\forall \varepsilon > 0\)，取 \(\delta = \sqrt{\varepsilon}\)。

则当 \(0 < r < \delta\) 时，对于 \(\forall \theta \in [0, 2\pi)\)，有：

\[|f| \le r^2 < \delta^2 = \varepsilon\]

结论同样成立。

4. 多元函数极限与子集（路径）的关系

多元函数的极限不仅要求点以任意方式趋近时函数值趋于同一个常数，还可以通过考察其在特定子集（路径）上的极限来进行判断。

定理（极限存在的充要条件）：

\(\lim_{\substack{P \to P_0 \\ P \in D}} f(P) = A\) 的充要条件是：对于 \(D\) 的任一子集 \(E\)，只要 \(P_0\) 是 \(E\) 的聚点，就有 \(\lim_{\substack{P \to P_0 \\ P \in E}} f(P) = A\)。

由此可引出三个非常实用的推论：

• 推论 1： 设 \(E_1 \subset D\)，\(P_0\) 是 \(E_1\) 的聚点。若沿子集 \(E_1\) 的极限 \(\lim_{\substack{P \to P_0 \\ P \in E_1}} f(P)\) 不存在，则原极限 \(\lim_{\substack{P \to P_0 \\ P \in D}} f(P)\) 也不存在。

• 推论 2（判断极限不存在的常用工具）： 设 \(E_1, E_2 \subset D\)，\(P_0\) 是它们的聚点。若沿这两个子集存在极限：

  \[ \lim_{\substack{P \to P_0 \\ P \in E_1}} f(P) = A_1, \quad \lim_{\substack{P \to P_0 \\ P \in E_2}} f(P) = A_2 \]

  但 \(A_1 \neq A_2\)，则原极限 \(\lim_{\substack{P \to P_0 \\ P \in D}} f(P)\) 不存在。（即：沿不同路径趋近，极限值不同，则重极限不存在）。

• 推论 3（海涅定理/归结原则）： 极限 \(\lim_{\substack{P \to P_0 \\ P \in D}} f(P)\) 存在的充要条件是：对于 \(D\) 中任一满足条件 \(P_n \neq P_0\) 且 \(\lim_{n \to \infty} P_n = P_0\) 的点列 \(\{P_n\}\)，它所对应的函数值数列 \(\{f(P_n)\}\) 都收敛。

应用举例（利用推论 2 证明极限不存在）：

讨论 \(\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{x^2+y^2}\) 是否存在？

分析： 令点 \((x,y)\) 沿着直线路径 \(y = kx\) 趋于 \((0,0)\)。

则有：\(\lim_{\substack{(x,y) \to (0,0) \\ y=kx}} f(x,y) = \frac{x(kx)}{x^2+(kx)^2} = \frac{k}{1+k^2}\)。

由于当 \(k\) 取不同实数值时（即沿不同斜率的直线趋近），极限值 \(\frac{k}{1+k^2}\) 不同，因此该极限不存在。

趋于无穷的极限定义： 若 \(\lim_{\substack{(x,y) \to (0, +\infty) \\ (x,y) \in D}} f(x,y) = a\) (\(a \in \mathbb{R}\))，意指 \(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0\) 及 \(\exists G > 0\)，当 \((x,y) \in D\) 且 \(x \in U^\circ(0,\delta)\) 且 \(y > G\) 时，有 \(|f(x,y) - a| < \varepsilon\)。

5. 重极限与累次极限

重极限指的是 \(\lim_{(x,y) \to (x_0, y_0)} f(x,y)\)（点在空间中以任意方式趋近）。为了便于计算，引入先对一个变量求极限，再对另一个变量求极限的过程，称为累次极限。

定义（累次极限）：

设 \(D \subset \mathbb{R}^2, (x_0, y_0) \in \text{int} D\)。设 \(f\) 在 \(D \setminus \{(x_0, y_0)\}\) 上有定义。

若 \(\exists \delta > 0\)，使得 \(\forall y \in U^\circ(y_0, \delta)\)，极限 \(\lim_{x \to x_0} f(x,y)\) 存在，记其为 \(\varphi(y)\)。

如果外层极限 \(\lim_{y \to y_0} \varphi(y)\) 也存在，则称该极限为 \(f(x,y)\) 先关于 \(x \to x_0\)，再关于 \(y \to y_0\) 的累次极限，记作：

\[ \lim_{y \to y_0} \lim_{x \to x_0} f(x,y) \]

类似地，可定义另一个顺序的累次极限 \(\lim_{x \to x_0} \lim_{y \to y_0} f(x,y)\)。

重极限与累次极限的相互关系：

1. 两个累次极限都存在（且相等） \(\nRightarrow\) 重极限存在。

   (例：\(f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}\) 在 \((0,0)\) 处。\(\lim_x \lim_y = 0\)，\(\lim_y \lim_x = 0\)，但重极限不存在。)

   (例：\(f(x,y) = \frac{x^3+y^3}{x^2+y}\)。两个累次极限均为 0，但若沿特殊路径 \(y = -x^2+x^3\) 趋近时极限为 1，故重极限不存在。)

2. 重极限存在 \(\nRightarrow\) 两个累次极限都存在。

   (例：\(f(x,y) = x \sin\frac{1}{y} + y \sin\frac{1}{x}\)。由 \(|f| \le |x|+|y|\) 可夹逼出重极限为 0。但因为 \(\lim_{x \to 0} y\sin\frac{1}{x}\) 不存在，导致两个累次极限均不存在。)

3. 重极限存在，且其中一个累次极限存在 \(\nRightarrow\) 另一个累次极限存在。

   (例：\(f(x,y) = x \sin\frac{1}{y}\)。重极限为 0。\(\lim_{y \to 0} \lim_{x \to 0} f(x,y) = 0\) 存在。但 \(\lim_{x \to 0} \lim_{y \to 0} f(x,y)\) 因内层极限不存在而整体不存在。)

定理（重极限与累次极限的联系）：

如果重极限 \(\lim_{(x,y) \to (x_0, y_0)} f(x,y)\) 与累次极限 \(\lim_{y \to y_0} \lim_{x \to x_0} f(x,y)\) 都存在，则它们必然相等。

证明：

设重极限为 \(A = \lim_{(x,y) \to (x_0, y_0)} f(x,y)\)。

则 \(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0\)，当 \((x,y) \in U^\circ((x_0, y_0), \delta)\) 时，有 \(|f(x,y) - A| < \varepsilon \quad (1)\)

由累次极限内层存在的定义，\(\exists \delta' \in (0, \delta)\)，使得 \(\forall y \in U^\circ(y_0, \delta')\)，极限 \(\lim_{x \to x_0} f(x,y)\) 存在，记作 \(\varphi(y)\)。

于是，\(\forall y \in U^\circ(y_0, \delta')\)，在不等式 (1) 中令 \(x \to x_0\)（取极限保号性），可得：

\(|\varphi(y) - A| \le \varepsilon\)

这意味着 \(\lim_{y \to y_0} \varphi(y) = A\)。即 \(\lim_{y \to y_0} \lim_{x \to x_0} f(x,y) = A = \lim_{(x,y) \to (x_0, y_0)} f(x,y)\)。

推论：

1. 若两个累次极限以及重极限都存在，则它们三者全部相等。

2. 若两个累次极限都存在但不相等，则重极限必定不存在。

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七、 多元函数的连续性

1. 连续的定义

定义（一点处的连续）：

设 \(D \subset \mathbb{R}^n\)，\(x_0 \in D\)。\(f: D \to \mathbb{R}\) 为 \(n\) 元函数。

如果 \(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0\)，使得当 \(x \in U(x_0, \delta) \cap D\) 时，有：

\[ |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon \]

则称 \(f\) 在点 \(x_0\) 处连续。

分析 \(x_0\) 的位置情形：

• 情形 1： \(x_0\) 是 \(D\) 的孤立点。由定义可知，此时存在足够小的 \(\delta\) 使得邻域内只有 \(x_0\) 自己，不等式 \(|f(x_0) - f(x_0)| = 0 < \varepsilon\) 恒成立。因此 \(f\) 在孤立点处必定连续。

• 情形 2： \(x_0 \in D \cap D'\)（即 \(x_0\) 既是 \(D\) 的点，也是 \(D\) 的聚点）。此时 \(f\) 在 \(x_0\) 处连续等价于极限值等于函数值：

  \[ \lim_{\substack{x \to x_0 \\ x \in D}} f(x) = f(x_0) \]

定义（区域上的连续）：

若 \(f\) 在 \(D\) 上的每一点都连续，则称 \(f\) 在 \(D\) 上连续。

2. 间断点

可给出 \(x^*\) 是 \(f\) 的间断点（即不连续点）的定义。要求 \(x^* \in D'\) 并且满足以下条件之一：

1. \(x^* \notin D\)（即函数在该点未定义）。

2. \(x^* \in D\)，但是 \(\lim_{\substack{x \to x^* \\ x \in D}} f(x) = f(x^*)\) 不成立。这又分为两种子情况：

   • 2.1: \(f\) 在 \(x^*\) 处的极限不存在。

   • 2.2: \(f\) 在 \(x^*\) 处的极限存在，但不等于 \(f(x^*)\)。

3. 连续性证明实例

例： 证明 \(f(x,y) = \sin\sqrt{x^2+y^2}\) 在 \(\mathbb{R}^2\) 上连续。

分析与证明：

任取固定点 \((x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2\)。对于任意的 \((x,y) \in \mathbb{R}^2\)，考察函数值之差：

\[|f(x,y) - f(x_0, y_0)| = |\sin\sqrt{x^2+y^2} - \sin\sqrt{x_0^2+y_0^2}|\]

利用正弦函数的不等式性质 \(|\sin u - \sin v| \le |u - v|\)，可得：

\[\le |\sqrt{x^2+y^2} - \sqrt{x_0^2+y_0^2}|\]

再利用范数的反三角不等式 \(|\|z\| - \|z_0\|| \le \|z - z_0\|\)（即两点到原点距离之差的绝对值小于等于两点间的距离），进一步放缩：

\[\le \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} = \rho((x,y), (x_0,y_0))\]

因此，\(\forall \varepsilon > 0\)，只需取 \(\delta = \varepsilon\)。

当 \((x,y) \in U((x_0, y_0), \delta)\) 时，必然有：

\[|f(x,y) - f(x_0, y_0)| \le \rho((x,y), (x_0,y_0)) < \delta = \varepsilon\]

从而 \(f\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处连续。

由于 \((x_0, y_0)\) 的任意性，故证明 \(f\) 在整个 \(\mathbb{R}^2\) 上连续。

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八、 向量值函数

在 \(\mathbb{R}^n\) 空间的基础上，我们进一步研究定义在其子集上的映射。

定义：

设 \(D \subset \mathbb{R}^n\)，\(f\) 是从 \(D\) 到 \(\mathbb{R}^m\) 的一个映射，则称 \(f\) 是一个向量值函数。

设 \(\vec{e}_i = (0, \dots, 0, 1, 0, \dots, 0)\) 为 \(\mathbb{R}^m\) 空间中的第 \(i\) 个标准基向量（仅第 \(i\) 个分量为 \(1\)，其余为 \(0\)）。

定义：

\[ f_i(x) = f(x) \cdot \vec{e}_i, \quad x \in D \]

则有：

\[ f(x) = (f_1(x), f_2(x), \dots, f_m(x)), \quad x \in D \]

其中，每个 \(f_i(x)\) 称为 \(f\) 的分量函数。向量值函数也可写作：

\[ f(x) = \sum_{i=1}^m f_i(x)\vec{e}_i \]

• \(D\) 称为 \(f\) 的定义域。

• \(f(D) = \{f(x) : x \in D\}\) 称为 \(f\) 的值域。

例：空间曲面的参数表示

1. 上半圆锥面： 设 \(f: [0, +\infty) \times [0, 2\pi] \to \mathbb{R}^3\)，定义为 \((r, \theta) \mapsto (x, y, z)\)，其中：

   $$
   

   \begin{cases} x = r \cos\theta & (0 \le r < +\infty) \ y = r \sin\theta & (0 \le \theta \le 2\pi) \ z = r & \end{cases} $$

   此向量值函数定义了三维空间中的上半圆锥面 $x^2 + y^2 = z^2 \; (z \ge 0)$。
   

2. 一般曲面： 设 \(D = (a, b) \times (c, d) = \{(u, v) \mid a < u < b, c < v < d\}\)。设 \(f: D \to \mathbb{R}^3\) 的分量形式为：

   \[ \begin{cases} x = x(u, v) \\ y = y(u, v) \\ z = z(u, v) \end{cases}, \quad (u, v) \in D \]

   若 \(x(u, v), y(u, v), z(u, v)\) 都在 \(D\) 上连续，这通常可看作是三维空间中曲面的一般参数表示。

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九、 向量值函数的极限与连续

1. 函数的极限

设 \(D \subset \mathbb{R}^n\)，\(f: D \to \mathbb{R}^m\)，\(x_0 \in D'\) （\(x_0\) 为 \(D\) 的聚点），\(a \in \mathbb{R}^m\)。

若式 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = a\) 成立，其严格定义为：

\(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0\)，当 \(x \in \mathring{U}(x_0, \delta) \cap D\) 时，有

\[ |f(x) - a| < \varepsilon \]

（即当 \(x\) 趋于 \(x_0\) 时，\(f(x)\) 以 \(a\) 为极限。）

2. 函数的连续性

定义： 设 \(D \subset \mathbb{R}^n\)，\(f: D \to \mathbb{R}^m\)，\(x_0 \in D\)。称 \(f\) 在点 \(x_0\) 连续，若：

\(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0\)，当 \(x \in U(x_0, \delta) \cap D\) 时，有

\[ |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon \]

性质（分量函数的连续性）： 设 \(D \subset \mathbb{R}^n\)，\(f: D \to \mathbb{R}^m\)，\(x_0 \in D\)。

则 \(f\) 在点 \(x_0\) 连续 当且仅当 \(f\) 的所有分量函数 \(f_i\) (\(1 \le i \le m\)) 都在点 \(x_0\) 连续。

证明：

对于 \(\forall 1 \le i \le m\)，根据范数的基本性质，有以下不等式关系：

\[ |f_i(x) - f_i(x_0)| \le |f(x) - f(x_0)| = \sqrt{\sum_{j=1}^m (f_j(x) - f_j(x_0))^2} \le \sum_{j=1}^m |f_j(x) - f_j(x_0)| \]

由夹逼定理和绝对值不等式的传递性易证，整体范数 \(|f(x) - f(x_0)| \to 0\) 与所有分量绝对值 \(|f_i(x) - f_i(x_0)| \to 0\) 是等价的。

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十、 复合函数的连续性

复合函数的定义：

设 \(D \subset \mathbb{R}^n, \Omega \subset \mathbb{R}^k\)，\(g: D \to \mathbb{R}^k, f: \Omega \to \mathbb{R}^m\)。

若 \(g(D) \subset \Omega\)，则可定义一个从 \(D \to \mathbb{R}^m\) 的映射：\(x \mapsto f(g(x))\)。

将该映射记作 \(f \circ g\)，称为 \(f\) 与 \(g\) 的复合函数。即：

\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)), \quad x \in D \]

定理（复合函数的连续性）：

设复合函数 \(f \circ g\) 如上定义，设 \(x_0 \in D, y_0 = g(x_0)\)。

若 \(g\) 在点 \(x_0\) 连续，且 \(f\) 在点 \(y_0\) 连续，则 \(f \circ g\) 在点 \(x_0\) 连续。

证明：

\(\forall \varepsilon > 0\)，由 \(f\) 在点 \(y_0\) 处连续，可知存在 \(\eta > 0\)，当 \(y \in U(y_0, \eta) \cap \Omega\) 时，有

\[ |f(y) - f(y_0)| < \varepsilon \]

由 \(g\) 在点 \(x_0\) 连续，对上述取定的 \(\eta > 0\)，存在 \(\delta > 0\)，当 \(x \in U(x_0, \delta) \cap D\) 时，有

\[ |g(x) - g(x_0)| < \eta \]

因为 \(y_0 = g(x_0)\)，所以当 \(x \in U(x_0, \delta) \cap D\) 时，必有 \(g(x) \in U(y_0, \eta)\)。

又已知 \(g(D) \subset \Omega\)，所以当 \(x \in U(x_0, \delta) \cap D\) 时，有

\[ g(x) \in U(y_0, \eta) \cap \Omega \]

从而可得：

\[ |f(g(x)) - f(y_0)| < \varepsilon \]

即：

\[ |f(g(x)) - f(g(x_0))| < \varepsilon \]

根据定义，这证明了 \(f \circ g\) 在点 \(x_0\) 连续。

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十一、 多元函数极限与连续性的计算与辨析

1. 极限计算实例

• 例 1（利用连续性与四则运算）： 计算极限 \(\lim_{(x,y) \to (1,0)} \frac{\ln(x+e^y)}{\sqrt{x^2+y^2}}\)

  解： 由初等函数的连续性及函数极限的四则运算法则，直接代入极限点即可得：

  \[ \text{原式} = \frac{\lim_{(x,y) \to (1,0)} \ln(x+e^y)}{\lim_{(x,y) \to (1,0)} \sqrt{x^2+y^2}} = \frac{\ln(1+e^0)}{\sqrt{1^2+0^2}} = \ln 2 \]

• 例 2（利用一元重要极限）： 计算极限 \(\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sin[(y+1)\sqrt{x^2+y^2}]}{\sqrt{x^2+y^2}}\)

  解： 利用一元函数的重要极限 \(\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1\)，将原式恒等变形：

  \[ \text{原式} = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \left[ \frac{\sin[(y+1)\sqrt{x^2+y^2}]}{(y+1)\sqrt{x^2+y^2}} \cdot (y+1) \right] \]

  令 \(t = (y+1)\sqrt{x^2+y^2}\)，当 \((x,y) \to (0,0)\) 时，\(t \to 0\)。因此第一部分极限为 \(1\)，第二部分极限为 \(0+1=1\)。

  \[ \text{原式} = 1 \cdot 1 = 1 \]

2. 偏连续与联合连续的辨析

设 \(f: D \to \mathbb{R}\)，令 \(\varphi(x) = f(x, y_0)\)，\(\psi(y) = f(x_0, y)\)（称为 \(f\) 的偏函数）。

• 若二元函数 \(f(x,y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 连续（联合连续），则必然推导出偏函数 \(\varphi\) 在点 \(x_0\) 连续，且 \(\psi\) 在点 \(y_0\) 连续。

• 反之不成立！ 即使函数在某点关于各个变量单独（偏）连续，该函数在该点也未必连续。

反例： 考虑函数

\[ f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}, & x^2+y^2 \neq 0 \\ 0, & x^2+y^2 = 0 \end{cases} \]

在 \((0,0)\) 处，沿坐标轴的极限：

\(\lim_{x \to 0} f(x,0) = \lim_{x \to 0} 0 = 0 = f(0,0)\)，且 \(\lim_{y \to 0} f(0,y) = 0 = f(0,0)\)，说明它在原点关于 \(x\) 和关于 \(y\) 都是偏连续的。

但若沿直线 \(y=kx\) 趋近于原点，极限为 \(\lim_{x \to 0} \frac{kx^2}{x^2+k^2x^2} = \frac{k}{1+k^2}\)，该极限值随 \(k\) 而变，故二重极限不存在，从而 \(f(x,y)\) 在 \((0,0)\) 处不连续。

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十二、 有界闭集上连续函数的性质

1. 有界性与最大、最小值定理

定理： 设 \(D \subset \mathbb{R}^n\) 为有界闭集，\(f: D \to \mathbb{R}\) 连续，则 \(f\) 在 \(D\) 上有界，且能够取到最大值与最小值。

证明：

(1) 先证有界性（反证法）：

假设 \(f\) 在 \(D\) 上无界，则 \(\forall k \in \mathbb{Z}^+\)，\(\exists x_k \in D\)，使得 \(|f(x_k)| > k\)。

由序列 \(\{x_k\} \subset D\) 且 \(D\) 有界，可知 \(\{x_k\}\) 必存在收敛子列 \(\{x_{k_l}\}\)。设 \(\lim_{l \to \infty} x_{k_l} = x_0\)。

因为 \(D\) 是闭集，所以 \(x_0 \in D\)。又因为 \(f\) 在点 \(x_0\) 连续，故 \(\lim_{l \to \infty} f(x_{k_l}) = f(x_0)\)（收敛必然有界）。

但另一方面，由于 \(|f(x_{k_l})| > k_l \ge l\)，当 \(l \to \infty\) 时，\(|f(x_{k_l})| \to \infty\)。

产生矛盾！因此 \(f\) 在 \(D\) 上有界。

(2) 再证可取到最大值（反证法）：

令 \(M = \sup_{x \in D} f(x)\)。假设 \(f\) 在 \(D\) 上取不到最大值，即 \(\forall x \in D\)，均有 \(f(x) < M\)。

构造辅助函数 \(g(x) = \frac{1}{M - f(x)}\)，\(x \in D\)。

由于 \(f\) 连续且分母不为 \(0\)，\(g\) 在 \(D\) 上连续且严格大于 \(0\)。由前述结论可知，\(g\) 在 \(D\) 上有界。

设 \(G = \sup_{x \in D} g(x)\)，则 \(0 < G < +\infty\)。

从而 \(\forall x \in D\)，有 \(g(x) \le G \implies \frac{1}{M-f(x)} \le G \implies M - f(x) \ge \frac{1}{G}\)。

即得 \(f(x) \le M - \frac{1}{G}\)。

这与 \(M\) 是 \(f(x)\) 的上确界（最小上界）矛盾！故 \(f\) 必能取到最大值（最小值同理可证）。

2. 一致连续性定理 (Cantor 定理)

定理： 设 \(D \subset \mathbb{R}^n\) 为有界闭集，\(f: D \to \mathbb{R}\) 连续，则 \(f\) 在 \(D\) 上一致连续。

证明（利用有限覆盖定理）：

\(\forall \varepsilon > 0\)，由于 \(f\) 在每一点 \(x \in D\) 处连续，\(\forall x \in D, \exists \delta_x > 0\)，使得当 \(x' \in U(x, \delta_x) \cap D\) 时，有 \(|f(x') - f(x)| < \frac{\varepsilon}{2}\)。

构造开覆盖：\(H = \{ U(x, \frac{\delta_x}{2}) : x \in D \}\) 是闭集 \(D\) 的一个开覆盖。

由 \(D\) 为有界闭集（Heine-Borel定理），必定存在有限子覆盖。即 \(\exists x_1, x_2, \dots, x_k \in D\)，使得 \(D \subset \bigcup_{i=1}^k U(x_i, \frac{\delta_{x_i}}{2})\)。

令 \(\delta = \min_{1 \le i \le k} \{ \frac{\delta_{x_i}}{2} \}\)，显然 \(\delta > 0\)。

任取 \(x', x'' \in D\) 且满足 \(|x' - x''| < \delta\)：

由有限覆盖知，\(\exists i \in \{1, \dots, k\}\)，使得 \(x' \in U(x_i, \frac{\delta_{x_i}}{2})\)。

此时考察 \(x''\) 到 \(x_i\) 的距离：

\[ |x'' - x_i| \le |x'' - x'| + |x' - x_i| < \delta + \frac{\delta_{x_i}}{2} \le \frac{\delta_{x_i}}{2} + \frac{\delta_{x_i}}{2} = \delta_{x_i} \]

故 \(x'' \in U(x_i, \delta_{x_i})\)。

由 \(\delta_{x_i}\) 的选取条件，有 \(|f(x'') - f(x_i)| < \frac{\varepsilon}{2}\)，同时 \(|f(x') - f(x_i)| < \frac{\varepsilon}{2}\)。

由三角不等式得：

\[ |f(x') - f(x'')| \le |f(x') - f(x_i)| + |f(x_i) - f(x'')| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \]

证毕。

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十三、 空间拓扑基础：连通性与区域

为了将一元函数区间上的性质（如介值定理）推广到多元函数，需要引入“区域”的概念。

1. 连通性定义

• 隔离集： 设 \(A, B \subset \mathbb{R}^n\)。如果 \(\bar{A} \cap B = A \cap \bar{B} = \emptyset\)（即一方的闭包与另一方无交集），则称 \(A\) 与 \(B\) 是隔离的。

• 不连通与连通： 若集合 \(E \subset \mathbb{R}^n\) 能够表示为两个非空隔离集 \(A, B\) 的并集（即存在 \(A, B\) s.t. \(E = A \cup B\)），则称 \(E\) 是不连通的；反之，若不能如此分解，则称 \(E\) 是连通的。

• 折线连通： 设 \(E \subset \mathbb{R}^n\)，如果集合 \(E\) 中的任意两点，都可以用一条完全包含于 \(E\) 的有限折线（由有限条线段首尾相接构成）相连接，则称 \(E\) 是折线连通的。

性质：

折线连通 \(\implies\) 连通。

特别地，对于开集，两者等价：\(E \subset \mathbb{R}^n\) 是连通的开集 \(\iff\) \(E \subset \mathbb{R}^n\) 是折线连通的开集。

2. 区域的概念

基于折线连通性，定义以下重要拓扑概念：

• 开区域： 若 \(E \subset \mathbb{R}^n\) 既是开集又是折线连通的，则称 \(E\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的一个开区域。

• 闭区域： 开区域的闭包（即包含所有边界点）称为闭区域。

• 区域： 开区域及其部分或全部边界点组成的集合，统称为区域。

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十四、 介值性定理

定理： 设函数 \(f\) 在区域 \(D \subset \mathbb{R}^n\) 上连续。若 \(x_1, x_2 \in D\) 满足 \(f(x_1) < f(x_2)\)，则对于 \(\forall \mu \in (f(x_1), f(x_2))\)，存在 \(x_0 \in D\)，使得 \(f(x_0) = \mu\)。

证明概要：

1. 构造辅助函数： 令 \(F(x) = f(x) - \mu\)，\(x \in D\)。定理转化为证明存在 \(x_0\) 使 \(F(x_0) = 0\)。已知 \(F(x_1) < 0 < F(x_2)\)。

2. 化归为开区域内部： 由于 \(D\) 是区域，存在开区域 \(D_1 \subset \mathbb{R}^n\) 使得 \(D_1 \subset D \subset D_1 \cup \partial D_1\)。

   若 \(x_1 \in \partial D_1\)，利用函数极限的保号性及连续性，必定能在 \(D_1\) 内部找到一点 \(x_1'\) 使得 \(F(x_1') < 0\)。同理可在 \(D_1\) 内找到 \(x_2'\) 使得 \(F(x_2') > 0\)。故不妨直接假定 \(x_1, x_2 \in D_1\)。

3. 利用折线连通性： 因为 \(D_1\) 是开区域，必然存在一条完全包含于 \(D_1\) 的有限折线连接 \(x_1\) 和 \(x_2\)。若 \(F\) 在折线某顶点处为 \(0\)，定理已证；否则，折线必存在某一条线段，使得 \(F\) 在该线段的两个端点（设为 \(x'\) 和 \(x''\)）处异号。不妨设 \(F(x') < 0, F(x'') > 0\)。

4. 降维转化为一元连续函数： 参数化该线段。令 \(G(t) = F((1-t)x' + t x'')\)，其中 \(t \in [0,1]\)。

   由复合函数的连续性，\(G(t)\) 在 \([0,1]\) 上连续。

   又 \(G(0) = F(x') < 0\)，\(G(1) = F(x'') > 0\)。

   根据一元连续函数的零点定理，\(\exists t_0 \in (0,1)\)，使得 \(G(t_0) = 0\)。

   令 \(x_0 = (1-t_0)x' + t_0x''\)，则 \(x_0\) 在该线段上，从而 \(x_0 \in D_1 \subset D\)。

   且 \(F(x_0) = 0\)，即 \(f(x_0) = \mu\)。证毕。