06_本征值、本征向量与不变子空间

基本设定：数域 \(\mathbb{F} = \mathbb{R}\) 或 \(\mathbb{C}\)；有限维向量空间 \(V\)；线性算子 \(T \in \mathscr{L}(V)\)。

一、不变子空间与衍生算子

1. 不变子空间

定义：若子空间 \(W \le V\) 满足 \(\forall v \in W, Tv \in W\)，则称 \(W\) 为 \(T\)-不变子空间。
平凡不变子空间：\(\{0\}\)、全空间 \(V\)、零空间 \(\text{null } T\)、值域 \(\text{range } T\)。
交换算子性质：若算子 \(S\) 与 \(T\) 可交换（\(ST = TS\)），则 \(\text{range } S\) 是 \(T\)-不变子空间。
注意：不变子空间不一定存在不变的直和补空间。

2. 衍生算子

若 \(W\) 是 \(T\)-不变子空间，可定义两个新算子：

限制算子 \(T|_W : W \to W\)
商算子 \(T/W : V/W \to V/W\)，定义为 \((T/W)(v+W) = Tv + W\)。（具备良定义性与线性）

二、本征值与本征子空间

1. 基本概念

定义：若存在标量 \(\lambda \in \mathbb{F}\) 及非零向量 \(v \in V\)，使得 \(Tv = \lambda v\)，则 \(\lambda\) 为本征值，\(v\) 为对应的本征向量。
本征子空间：\(E(\lambda, T) = \text{null}(T - \lambda I)\)。由零向量和属于 \(\lambda\) 的所有本征向量组成，是 \(T\)-不变子空间。

2. 核心定理与性质

等价刻画：\(\lambda\) 是 \(T\) 的本征值 \(\iff T - \lambda I\) 不是单射 \(\iff T - \lambda I\) 不是满射 \(\iff T - \lambda I\) 不可逆。
存在性定理：复数域 \(\mathbb{C}\) 上的有限维线性算子必定存在至少一个本征值。
线性无关性：属于互异本征值的本征向量必定线性无关。
直和性质：互异本征值对应的本征子空间之和为直和，即 \(E(\lambda_1, T) \oplus \dots \oplus E(\lambda_m, T)\)。
数量限制：互异本征值的个数 \(m \le \dim V\)。

三、多项式算子与空间分解

1. 极小多项式

算子多项式：\(p(T) = a_0 I + a_1 T + \dots + a_m T^m\)。多项式算子满足交换律（\(p(T)q(T) = q(T)p(T)\)）。
定义：使 \(q(T) = \mathbf{0}\) 的次数最低的首一多项式称为 \(T\) 的极小多项式。
性质：极小多项式是唯一的，且必整除任何使算子为零的多项式。

2. 准素分解（空间分解）定理

若 \(f(T) = \mathbf{0}\)，且 \(f(x)\) 具有互素因子分解 \(f(x) = p_1(x)^{e_1} \dots p_r(x)^{e_r}\)（\(p_i(x)\) 为不可约多项式）。
结论：全空间可分解为不变子空间的直和：\(V = V_1 \oplus V_2 \oplus \dots \oplus V_r\)。其中 \(V_i = \text{null } p_i(T)^{e_i}\)，且均为 \(T\)-不变子空间。

四、矩阵的上三角化（复数域）

1. 存在性与等价条件

定理：在复数域 \(\mathbb{C}\) 上，必定存在 \(V\) 的一组基，使得算子 \(T\) 的矩阵为上三角矩阵。
等价刻画：设存在基 \(v_1, \dots, v_n\)，以下三者等价：
1. \(\mathcal{M}(T)\) 为上三角矩阵。
2. \(\forall j \in \{1, \dots, n\}\)，\(T v_j \in \text{span}(v_1, \dots, v_j)\)。
3. \(\forall j \in \{1, \dots, n\}\)，\(\text{span}(v_1, \dots, v_j)\) 是 \(T\)-不变子空间。

2. 上三角矩阵的性质

若 \(T\) 的矩阵为上三角矩阵：

本征值分布：主对角线上的所有元素恰好是 \(T\) 的全体本征值。
可逆性判定：\(T\) 可逆 \(\iff\) 主对角线上的元素全部不为 0。

五、算子可对角化的判定

对于 \(\dim V = n\) 的空间与算子 \(T \in \mathscr{L}(V)\)，设其互不相同的本征值为 \(\lambda_1, \dots, \lambda_m\)。

1. 充要条件（等价刻画族）

以下命题完全等价（判断可对角化的核心依据）：

定义：\(T\) 是可对角化的。
基条件：\(V\) 中存在一组由 \(T\) 的本征向量构成的基。
分解条件1：存在 \(n\) 个一维的 \(T\)-不变子空间 \(U_i\)，使得 \(V = U_1 \oplus \dots \oplus U_n\)。
分解条件2：全空间是所有本征子空间的直和：\(V = E(\lambda_1, T) \oplus \dots \oplus E(\lambda_m, T)\)。
维数条件：全空间维数等于各本征子空间维数之和：\(\dim V = \sum_{i=1}^m \dim E(\lambda_i, T)\)。

2. 极小多项式准则

定理：\(T\) 可对角化 \(\iff\) \(T\) 的极小多项式没有重根（即由互不相同的线性因式相乘构成）。

3. 极简充分条件

定理：若算子 \(T\) 拥有 \(n\) 个互不相同的本征值（即互异本征值个数等于空间维数），则 \(T\) 必定可对角化。