前置复习：布尔代数与浮点表示
1. 布尔代数：先区分逻辑符号与算术
本节 \(+\) 表示 OR，相乘表示 AND，上横线表示 NOT；它们不是普通整数加法/乘法。例如 \(X+X=X\)。在 ALU 算术和性能公式中，\(+\) 仍表示普通加法。
| 名称 | 恒等式 |
|---|---|
| 单位元 / 零元 | \(X+0=X\)，\(X\cdot1=X\)，\(X+1=1\)，\(X\cdot0=0\) |
| 幂等律（idempotence） | \(X+X=X\)，\(XX=X\) |
| 互补律（complement） | \(X+\overline X=1\)，\(X\overline X=0\) |
| 吸收律（absorption） | \(X+XY=X\)，\(X(X+Y)=X\) |
| 分配律（distributivity） | \(X(Y+Z)=XY+XZ\)，\(X+YZ=(X+Y)(X+Z)\) |
| De Morgan 定律 | \(\overline{XY}=\overline X+\overline Y\)，\(\overline{X+Y}=\overline X\,\overline Y\) |
手稿中的吸收变形
不要漏掉 \(\overline X\) 的反相记号；若写成 \(X+XY\)，结果是 X，而不是 X+Y。
共识定理（Consensus Theorem）
证明只需展开冗余项：
其中 ABC 被 AB 吸收，\(\overline A BC\) 被 \(\overline A C\) 吸收。因此 BC 不改变真值表；逻辑等价不保证门电路的瞬态毛刺完全相同，时序问题需另行分析。
补齐变量与 Shannon 展开
手稿的
可用于把项展开为含指定变量的积之和（sum of products, SOP）。更一般地，对任意布尔函数：
这正是二选一 MUX：Y 选择两个余因子（cofactors）。化简可减少门和控制译码逻辑，展开则便于真值表、最小项或 MUX 实现，方向取决于题目要求。
2. IEEE 754 的三个字段
二进制浮点数由符号（sign）、存储指数（biased exponent）和小数字段（fraction）组成：
binary32：sign[31] | exponent[30:23] | fraction[22:0]
binary64：sign[63] | exponent[62:52] | fraction[51:0]
| 格式 | 总位数 | 符号 s | 指数 E | fraction 位数 p | bias | 正规数有效精度 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 单精度（single precision / binary32） | 32 | 1 | 8 | 23 | 127 | 24 bit |
| 双精度（double precision / binary64） | 64 | 1 | 11 | 52 | 1023 | 53 bit |
设 F 为 fraction 字段表示的无符号整数，\(f=F/2^p\)，则 \(0\le f<1\)。fraction 字段的 p 位与有效数（significand）的精度不是同一个数：正规数还含一个不实际存储的首位 1（implicit leading one）。格式与特殊值核对见 Oracle Numerical Computation Guide：IEEE Arithmetic。
3. 正规数、非正规数与特殊值
| 存储指数 E | fraction F | 类型与数值 |
|---|---|---|
| 既非全 0，也非全 1 | 任意 | 正规数（normal）：\((-1)^s(1+f)2^{E-\mathrm{bias}}\) |
| 全 0 | 非 0 | 非正规数/次正规数（subnormal）：\((-1)^s f\,2^{1-\mathrm{bias}}\) |
| 全 0 | 0 | 有符号零：+0 / −0 |
| 全 1 | 0 | 有符号无穷：+∞ / −∞ |
| 全 1 | 非 0 | NaN（not a number），不能当作普通数值解码 |
subnormal 也常称 denormalized number：没有隐含的 1，指数使用 \(1-\mathrm{bias}\)，不是 \(0-\mathrm{bias}\)。这样可以在最小正规数以下逐渐减小有效精度，即渐进下溢（gradual underflow）。
| 格式 | 正规数的实际指数范围 | 最小正正规数 | 最小正 subnormal |
|---|---|---|---|
| binary32 | −126…127 | \(2^{-126}\) | \(2^{-149}\) |
| binary64 | −1022…1023 | \(2^{-1022}\) | \(2^{-1074}\) |
“指数全 1”不一定是无穷，还需检查 fraction 是否为零。NaN 与自身做普通相等比较也为假；+0 与 −0 的编码不同，但普通数值相等比较认为它们相等。
4. 编码例题：13.25 的 binary32
- 转二进制：\(13.25=1101.01_2\)。
- 规格化：\(1101.01_2=1.10101_2\times2^3\)。
- 符号 s=0；存储指数 E=3+127=130，即
10000010。 - 去掉隐含首位 1，fraction 为
10101000000000000000000。
本课程小端内存中，从低地址起存为 00 00 54 41；符号位仍然是整个 32 位编码的 bit 31，不会因小端而改变。
反向解码先分字段、判断 E 是否特殊，再代入对应公式。若二进制小数不能用有限的 fraction 位精确表示，就需要舍入（rounding）；不能把“直接截断”当作所有浮点运算的默认规则。