§3.3 二维连续分布与条件密度（Continuous Joint Distributions）

联合密度（Joint PDF）

若存在非负函数 \(f(x,y)\)，使联合 CDF 可写为

\[ F(x,y)=\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^y f(u,v)\,dv\,du, \]

则 \((X,Y)\) 为二维连续型，\(f\) 为联合概率密度（joint probability density function），满足

\[ f(x,y)\ge0,\qquad \iint_{\mathbb R^2}f(x,y)\,dx\,dy=1. \]

对平面区域 \(A\)，

\[ P((X,Y)\in A)=\iint_Af(x,y)\,dx\,dy. \]

可微性适当时 \(f(x,y)=\partial^2F(x,y)/(\partial x\,\partial y)\)。积分区域须与支撑相交；支撑外 PDF 为零，CDF 未必为零。

例：第一象限上的指数乘积

设 \(f(x,y)=ce^{-(2x+3y)}\)，\(x,y>0\)，其他为零。归一化：

\[ 1=c\int_0^\infty e^{-2x}\,dx\int_0^\infty e^{-3y}\,dy =\frac c6\implies c=6. \]

故

\[ F(x,y)= \begin{cases} (1-e^{-2x})(1-e^{-3y}),&x>0,y>0,\\ 0,&x\le0\ \text{或}\ y\le0. \end{cases} \]

先画支撑区域，再确定积分限

画出 \(D=\{(x,y):f(x,y)>0\}\)，沿水平／竖直截线（horizontal / vertical slice）确定积分限：

• 求 \(f_X(x)\)：固定 \(x\)，沿竖直线扫描有效 \(y\) 区间。
• 求 \(f_Y(y)\)：固定 \(y\)，沿水平线扫描有效 \(x\) 区间。
• 求事件概率：对 \(A\cap D\) 积分；必要时把交集拆成几块。
• 求 CDF：对 \(D\cap((-\infty,x]\times(-\infty,y])\) 积分，积分变量最好换成 \(u,v\)，避免与上限混淆。

非负联合密度允许换序，但积分限须描述同一区域。

自绘。求边际时，沿另一坐标的有效截线积分。来源与许可。

边际密度（Marginal PDF）

\[ f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,dy,\qquad f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,dx. \]

积分消去另一坐标，结果是一元密度，须注明非零范围。有联合密度则边际均有密度；反之不成立，如 \(X\) 连续、\(Y=X\) 时随机点落在直线上，无平面密度。

例：两条曲线之间的支撑区域

设 \(f(x,y)=15y\)，\(0<x<1,\ x^2<y<x\)，其他为零。

竖截线：\(x\in(0,1)\)，\(x^2<y<x\)；水平截线：\(y\in(0,1)\)，\(y<x<\sqrt y\)。故

\[ f_X(x)=\int_{x^2}^x15y\,dy =\frac{15}{2}(x^2-x^4),\quad0<x<1, \]

\[ f_Y(y)=\int_y^{\sqrt y}15y\,dx =15(y^{3/2}-y^2),\quad0<y<1, \]

其余处为零；任一边际积分为 1，可核验联合归一性。

作业｜习题三 B4：三角区域上的归一化与概率

题目。\(f(x,y)=c(y-x)\)，\(0<x<y<1\)，其余为零。求 \(c\)、\(P(X+Y\le1)\)、\(P(X<0.5)\)。

解析。先对三角形积分：

\[ 1=c\int_0^1\int_0^y(y-x)\,dx\,dy =\frac c6\implies c=6. \]

事件 \(x+y\le1\) 与支撑相交后为 \(0<x<1/2,\ x<y\le1-x\)：

\[ P(X+Y\le1) =\int_0^{1/2}\int_x^{1-x}6(y-x)\,dy\,dx =\int_0^{1/2}3(1-2x)^2\,dx=\frac12. \]

先求边际：

\[ f_X(x)=\int_x^16(y-x)\,dy=3(1-x)^2,\quad0<x<1. \]

因此

\[ P(X<0.5)=\int_0^{1/2}3(1-x)^2\,dx=\frac78. \]

条件密度（Conditional PDF）

对满足 \(f_Y(y)>0\) 的给定值 \(y\)，

\[ f_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}. \]

类似地，\(f_X(x)>0\) 时

\[ f_{Y\mid X}(y\mid x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}. \]

固定条件后，以该截线的边际密度归一化：

\[ \int_{-\infty}^{+\infty}f_{X\mid Y}(x\mid y)\,dx=1, \]

\[ P(a<X<b\mid Y=y)=\int_a^bf_{X\mid Y}(x\mid y)\,dx. \]

分母是密度 \(f_Y(y)\)，不是零概率 \(P(Y=y)\)；原理见邻域极限。

作业｜习题三 A18：矩形支撑上的条件密度

题目。

\[ f(x,y)= \begin{cases} (2x+y)/4,&0<x<1,\ 0<y<2,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases} \]

求两个边际、两个条件密度，以及 \(P(X\le0.5\mid Y=0.5)\)、\(P(Y\le0.5\mid X=0.5)\)。

解析。直接积分：

\[ f_X(x)=x+\frac12\quad(0<x<1),\qquad f_Y(y)=\frac{1+y}{4}\quad(0<y<2), \]

对应区间以外为零。固定 \(0<y<2\) 与 \(0<x<1\) 后分别有

\[ f_{X\mid Y}(x\mid y)= \begin{cases} (2x+y)/(1+y),&0<x<1,\\ 0,&\text{其他}, \end{cases} \]

\[ f_{Y\mid X}(y\mid x)= \begin{cases} (2x+y)/(4x+2),&0<y<2,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases} \]

于是

\[ P(X\le1/2\mid Y=1/2) =\int_0^{1/2}\frac{2x+1/2}{3/2}\,dx=\frac13, \]

\[ P(Y\le1/2\mid X=1/2) =\int_0^{1/2}\frac{1+y}{4}\,dy=\frac5{32}. \]

互换条件会改变研究对象与归一化分母。

作业｜习题三 A20：抛物线支撑与水平切片

题目。\(f(x,y)=5x/4\)，\(y^2<x<1\)，其余为零。求 \(f_Y(y)\)、\(f_{X\mid Y}(x\mid y)\)，以及 \(P(X>1/2\mid Y=1/2)\)。

解析。\(y^2<x<1\) 意味着 \(-1<y<1\)；固定 \(y\) 后，\(x\) 从 \(y^2\) 到 1。

\[ f_Y(y)= \begin{cases} \displaystyle\int_{y^2}^1\frac54x\,dx=\frac58(1-y^4),&-1<y<1,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases} \]

因此对 \(-1<y<1\)，

\[ f_{X\mid Y}(x\mid y)= \begin{cases} 2x/(1-y^4),&y^2<x<1,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases} \]

给定 \(Y=1/2\) 后，\(X\) 的有效范围为 \((1/4,1)\)，所以

\[ P(X>1/2\mid Y=1/2) =\int_{1/2}^1\frac{2x}{1-1/16}\,dx =\frac45. \]

自绘。阴影为积分区域，线段为固定条件后的截线。来源与许可。

从边际与条件密度构造联合密度

\[ f(x,y)=f_X(x)f_{Y\mid X}(y\mid x) =f_Y(y)f_{X\mid Y}(x\mid y) \]

在条件密度有定义处使用；先交取值范围确定联合支撑，再积分求另一边际。

例：先均匀选点，再在剩余区间均匀选点

\[ X\sim U(0,1),\qquad Y\mid X=x\sim U(x,1). \]

所以

\[ f(x,y)=\frac1{1-x},\quad0<x<y<1, \]

其他为零；\(0<y<1\) 时

\[ f_Y(y)=\int_0^y\frac1{1-x}\,dx=-\ln(1-y). \]

条件均匀不保证边际均匀。

将区间上限换为 30 分钟，接力总时间模型为

\[ f(x,y)=\frac1{30(30-x)},\quad0<x<y<30. \]

对 \(0<y<30\)，

\[ f_Y(y)=\frac1{30}\ln\frac{30}{30-y},\qquad f_{X\mid Y}(x\mid y)= \frac1{(30-x)\ln[30/(30-y)]},\quad0<x<y. \]

故 \(P(X\le10\mid Y=25)=\ln(3/2)/\ln6\approx0.2263\)。

作业｜习题三 B5：已知接力工作总时间的条件密度

题目。甲先工作 \(X\) 小时，再由乙完成，总时间 \(Y\) 不超过 4 小时；\(X\sim U(1,2)\)，且给定 \(X=x\)，

\[ f_{Y\mid X}(y\mid x)= \begin{cases} \dfrac{2(4-y)}{(3-x)^2},&x+1<y<4,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases} \]

求联合密度、\(P(Y<3)\)、\(Y\) 的边际密度，以及 \(P(X\le1.5\mid Y=3)\)。

解析。由于 \(f_X(x)=1\)，联合密度为

\[ f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{2(4-y)}{(3-x)^2},&1<x<2,\ x+1<y<4,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases} \]

对事件 \(Y<3\) 先按 \(x\) 固定：

\[ \begin{aligned} P(Y<3) &=\int_1^2\int_{x+1}^3\frac{2(4-y)}{(3-x)^2}\,dy\,dx\\ &=\int_1^2\left[1-\frac1{(3-x)^2}\right]dx=\frac12. \end{aligned} \]

求 \(f_Y\) 水平扫描：\(1<x<\min(2,y-1)\)，在 \(y=3\) 分段。

\[ f_Y(y)= \begin{cases} \displaystyle\int_1^{y-1}\frac{2(4-y)}{(3-x)^2}\,dx=y-2,&2<y\le3,\\ \displaystyle\int_1^2\frac{2(4-y)}{(3-x)^2}\,dx=4-y,&3<y<4,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases} \]

取上述连续版本 \(f_Y(3)=1\)，则

\[ P(X\le1.5\mid Y=3) =\int_1^{3/2}\frac{f(x,3)}{f_Y(3)}\,dx =\int_1^{3/2}\frac2{(3-x)^2}\,dx=\frac13. \]

二维均匀分布（Bivariate Uniform Distribution）

在有限正面积区域 \(D\) 上均匀取点：

\[ f(x,y)=\frac1{\operatorname{Area}(D)}\mathbf1_D(x,y), \]

\[ P((X,Y)\in A)= \frac{\operatorname{Area}(A\cap D)}{\operatorname{Area}(D)}. \]

边际密度与该坐标处的截线长度成正比，一般不均匀。

例：三角形内的单值条件与范围条件

\(D=\{(x,y):|y|<x<1\}\) 的面积为 1，联合密度为 1。对 \(-1<y<1\)，

\[ f_Y(y)=1-|y|,\qquad X\mid Y=y\sim U(|y|,1). \]

因此

\[ P(X>2/3\mid Y=1/2)=\frac{1-2/3}{1-1/2}=\frac23. \]

条件改为 \(Y>1/2\) 时，对正面积区域求条件概率：

\[ P(Y>1/2)=\int_{1/2}^1(1-y)\,dy=\frac18, \]

\[ P(X>2/3,Y>1/2)=\int_{2/3}^1\int_{1/2}^x1\,dy\,dx=\frac19, \]

\[ P(X>2/3\mid Y>1/2)=\frac{1/9}{1/8}=\frac89. \]

单值条件取截线，范围条件取区域。

参考资料

主课件第 38–62、70–71 页；课堂识别 lecture-record-24；教材习题三 A18、A20、B4、B5。