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已整理 23-24 期末（除证明题倒数第二题）、24-25 期末1~4（复习四的思想方法）

基础/思想方法

  • 线性映射（变换）矩阵化

  • 子空间的三个判定条件：非空（包含零向量）、对加法封闭、对数乘封闭。

  • 直积空间 \(V \times W\) 的维数等于各自维数之和

  • 相似

    • 存在可逆矩阵 \(P\)，使得 \(B = P A P^{-1}\)
    • 可对角化/化为若当标准型的含义
    • 相似矩阵的特征多项式相同（特征值和代数重数完全一致）
    • 相似不改变矩阵的秩
    • 对于可对角化的矩阵，几何重数=代数重数

  • 与向量空间的关系转化为与向量空间的基的关系（如求解正交补空间，与即空间的基正交）

  • 连续小问的关联

  • 将多项式转化为参数的方程

  • 向量的线性无关性证明： 利用“左乘矩阵的特定次幂消去低次项”是证明由同一个向量迭代生成的向量组（Krylov序列）线性无关的标准手法。

  • 矩阵的秩与像空间维数的等价关系： \(r(A) = \dim(\text{Im}(A))\)

  • Jordan 基的几何意义： 将抽象的算子 \(T\) 转化为具体基向量的映射关系（即 \(T\epsilon_i = \epsilon_{i-1}\) 或 \(0\)）。 -- 处理不变子空间

  • 元素全为 \(1\) 的方阵（或秩为 1 的矩阵）的幂次规律： 对于 \(n\) 阶全 1 矩阵 \(J_n\)，存在性质 \(J_n^2 = n J_n\)，进而推导出 \(J_n^k = n^{k-1} J_n\)。

  • 任何一个投影算子（幂等算子） \(P\) 都会自然地诱导出空间的一个直和分解：\(V = \ker(P) \oplus \text{Im}(P)\)。并且有重要性质 \(\text{Im}(P) = \ker(I - P)\)

  • 矩阵乘法的迹性质： \(\text{Tr}(AB) = \text{Tr}(BA)\)，\(\text{Tr}(A^T) = \text{Tr}(A)\)。特别地，\(\text{Tr}(AA^T)\) 是矩阵所有元素平方和

  • \(n\) 阶实对称矩阵空间的维数是 \(\frac{n(n+1)}{2}\)

考点梳理

  • 伴随算子，以及自伴矩阵/正规矩阵等相关矩阵

    • 在单位正交基下，\(T^*\) 的矩阵是 \(T\) 的矩阵的共轭转置（\(C = \bar{A}^T\)）。实空间中即为转置矩阵 \(A^T\)。
    • 自伴算子 \(T = T^*\)，特征值必为实数
    • 正规算子 \(TT^* = T^*T\)，模长保持：\(\lVert Tv \rVert = \lVert T^*v \rVert\)；若 \(Tv = \lambda v\)，则 \(T^*v = \bar{\lambda}v\)。
    • 零空间与值域的正交补关系
      • \(\ker(T^*) = (\text{im } T)^\perp\)，\(\text{im}(T^*) = (\ker T)^\perp\)，\(\ker(T) = (\text{im } T^*)^\perp\)，\(\text{im}(T) = (\ker T^*)^\perp\)
    • 运算性质：思考共轭转置的运算性质
    • 对称矩阵 = 自伴算子 的前提：必须在标准正交基下

  • 特征值与特征方程、特征多项式

    • 利用 \(|\lambda I - A| = 0\) 求解特征多项式2
    • Cayley-Hamilton Theorem -- 算子 \(T\) 满足其自身的特征多项式

  • 复数域内的方程求解

  • 谱定理（算子在标准正交基下可对角化的充要条件（\(\dim V < \infty\)））

空间类型 前提条件 对角化的等价条件
复内积空间 \(T\) 是正规算子 \(V\) 存在一组标准正交基，使 \(T\) 的矩阵为对角矩阵。
实内积空间 \(T\) 是自伴算子 \(V\) 存在一组由 \(T\) 的特征向量组成的标准正交基，使 \(T\) 为对角矩阵。

  • 正交补与正交投影

    • 几何意义（等式 \(\langle f, g \rangle = \langle h, g \rangle\) 对所有 \(g \in V\) 成立，核心几何意义就是“误差向量 \((f-h)\) 与整个子空间 \(V\) 垂直”）
    • 最佳逼近定理（空间的正交分解与正交补、正交投影的计算）
    • 求解正交补空间 -- 与原空间的基正交 2
    • 只有自伴算子（对称阵） 才具备 \(W\) 不变推导 \(W^\perp\) 也不变的优良性质

  • （标准）正交基

    • 利用内积是否两两为 0 检验（基的）正交性
    • 施密特正交化（注意单位化的时机减小计算量）

  • 幂零矩阵/变换

    • 识别矩阵的高次幂，\(B^8X = O\)，则 \(B\) 是幂零矩阵
    • 存在某个正整数 \(k\)，使得 \(B^k = O\)
    • 幂零指数不超过空间维数
    • 与特征值全为 0等价3
    • 矩阵 \(B\) 的特征多项式为 \(f(\lambda) = \lambda^n\)
    • 幂零若当块 -- 超对角线上全部为1，其他全0
    • 循环子空间与基的构造： 利用一个向量 \(X\) 被矩阵连续左乘产生的序列 \(\{X, AX, A^2X, \dots \}\) 来构造线性无关的向量组。

  • 极小多项式与 Jordan 标准型

    • 极小多项式相应特征值项的次数决定了最大 Jordan 块的大小
    • 某特征值的代数重数决定对角线上它的数量
    • 几何重数决定了该特征值被分成的 Jordan 块的数量
    • Jordan 块的标准形式： 对角线上全部为特征值，超对角线上全部为1，其他全0
    • 极小多项式整除所有零化多项式，是次数最低的首一零化多项式
    • 对于任意一个 \(k\) 阶的特征值为 0的 Jordan 块 \(J_k(0)\)，它的秩为 \(k-1\)。
    • 如果 \(A = \text{diag}(A_1, A_2, \dots, A_k)\) 是分块对角阵，那么 \(A\) 的极小多项式是各个子块 \(A_i\) 极小多项式的最小公倍式。
    • 极小多项式中 \((\lambda - \lambda_i)^{m_i}\) 的最高次幂 \(m_i\)，刚好等于对应特征值 \(\lambda_i\) 的最大若尔当块的阶数。
    • 只有当矩阵可对角化时，最小多项式才没有重根
    • 证明极小多项式： 首一性、化零性、以及最小性（或整除性）

  • 对偶映射的定义/矩阵表示和计算

    • 对任意 \(T \in \mathcal{L}(V, W)\)，其诱导出的对偶映射 \(T': W' \to V'\) 的作用法则定义为 \(T'(\varphi) \triangleq \varphi \circ T\)
    • 有限维空间对应基下，原线性映射矩阵 \(A\) 与其对偶映射矩阵 \(A'\) 互为转置，即 \(A' = A^T\)

  • 奇异值的定义与求解 2

    • 算子 \(T\) 的奇异值是正算子 \(\sqrt{T^*T}\) 的所有特征值（必为非负实数）
      • 实际计算可以先求 \(T^*T\) 的特征值再对特征值开根

  • 空间平面与直线

    • 平面束方程（代入直线外一点确定平面方程）
    • 直线的方向向量是确定它的两个平面的法向量的外积（一般方程化为点向式）3
    • 空间中点到直线距离的向量公式 \(d = \frac{|\vec{M_0 P} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}\)（向量法）3
    • 点到平面距离公式

  • 内积空间

    • 识别连续函数空间（多项式空间）上标准内积的形式 \(\int f(x)g(x)\mathrm{d}x\) 3
    • 内积的性质 -- 正定性、第一/二位置加性、第一位置齐次性、第二位置共轭齐次性、共轭对称性
    • 里斯表示定理
    • 在有限维内积空间 \(V\) 中，对任意线性泛函 \(\varphi \in V'\)，存在唯一的向量 \(u \in V\)，使得对 \(\forall v \in V\)，成立：\(\varphi(v) = \langle v, u \rangle\)，\(u\) 的构造式（基于规范正交基 \(e_i\)）：\(u = \sum_{i=1}^n \overline{\varphi(e_i)} e_i\)。
    • 内积的公理化定义（证明内积）： 准确写出证明内积所需的四个条件（对称性、双线性、正定性），缺一不可

  • 商空间

    • 商空间 \(X / Y\) 的维数公式为 \(\dim(X / Y) = \dim X - \dim Y\)
    • 求商空间基的核心本质是求原空间的直和补空间的基

  • 正算子与等距算子

    • 正算子是自伴算子，且所有特征值非负
    • 等距算子保范数（\(\|Sv\| = \|v\|\)）、保内积（\(\langle Su, Sv \rangle = \langle u, v \rangle\)）、将任意标准正交基映射为标准正交基、\(S^* S = SS^* = I\) （正规算子，\(S^* = S^{-1}\)）、伴随算子 \(S^*\) 也是等距算子