极限例题

证明 \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\) 收敛

证明序列 \(x_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\) 收敛。核心是先证明其有界，再证明其单调递增。

\[ \begin{aligned} 0 < x_n &= 1 + 1 + \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{n}\right) + \frac{1}{3!}\left(1 - \frac{1}{n}\right)\left(1 - \frac{2}{n}\right) + \cdots \\ &\leq 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{1}{n!} \\ &\leq 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{2^{n-1}} < 3. \end{aligned} \]

因此 \((x_n)\) 有界。比较 \(x_{n+1}\) 与 \(x_n\) 的二项展开式可知，\(x_{n+1}\) 的前 \(n+1\) 项均不小于 \(x_n\) 的对应项，且多出一个正项，所以 \(x_n < x_{n+1}\)。由单调有界定理，\((x_n)\) 收敛，其极限记为 \(e\)。

证明调和部分和无界

证明 \(x_n = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}\) 无界。

取 \(n = 2^{2N}\)，将和式按 \(1,2,4,\dots\) 项分组：

\[ \begin{aligned} x_n &= 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{2^{2N-1}+1} + \cdots + \frac{1}{2^{2N}}\right) \\ &> \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2} = N. \end{aligned} \]

\(N\) 可以任意大，故 \((x_n)\) 无界。等价地，也可用柯西收敛准则：

\[ \left|x_{2n} - x_n\right| = \frac{1}{n+1} + \cdots + \frac{1}{2n} > n \cdot \frac{1}{2n} = \frac{1}{2}, \]

所以该序列不是柯西序列，因而不收敛。

证明 \(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}\) 收敛

设 \(x_n = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}\)。当 \(p \geq 1\) 时，

\[ \begin{aligned} \left|x_{n+p} - x_n\right| &= \frac{1}{(n+1)^2} + \cdots + \frac{1}{(n+p)^2} \\ &\leq \frac{1}{n(n+1)} + \cdots + \frac{1}{(n+p-1)(n+p)} \\ &= \frac{1}{n} - \frac{1}{n+p} < \frac{1}{n}. \end{aligned} \]

对任意 \(\varepsilon > 0\)，取 \(N = \lfloor 1/\varepsilon \rfloor + 1\)。当 \(n > N\) 时，上式小于 \(\varepsilon\)，故 \((x_n)\) 为柯西序列，从而收敛。