04_对偶空间与对偶映射

一、 线性泛函与对偶空间

• 线性泛函：从线性空间 \(V\) 映射到其底层数域 \(\mathbb{F}\) 的线性映射，即 \(T \in \mathcal{L}(V, \mathbb{F})\)。

• 对偶空间：线性空间 \(V\) 上所有线性泛函构成的集合，本身也构成线性空间，记作 \(V' := \mathcal{L}(V, \mathbb{F})\)。

• 对偶空间维数定理：若 \(V\) 为有限维空间，则 \(\dim V' = \dim V\)。

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二、 对偶基

• 对偶基定义：设 \(v_1, \dots, v_n\) 是有限维空间 \(V\) 的一组基，其对偶基 \(\varphi_1, \dots, \varphi_n \in V'\) 满足 Kronecker Delta 属性：（坐标提取）

  \[ \varphi_i(v_j) = \delta_{ij} = \begin{cases} 1, & i=j \\ 0, & i \neq j \end{cases} \]

• 基本定理：在有限维条件下，\(\varphi_1, \dots, \varphi_n\) 必然构成对偶空间 \(V'\) 的一组基。

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三、 对偶映射及其代数性质

• 对偶映射定义：对任意 \(T \in \mathcal{L}(V, W)\)，其诱导出的对偶映射 \(T': W' \to V'\) 的作用法则定义为 \(T'(\varphi) \triangleq \varphi \circ T\)。

• 代数性质：映射 \(S \mapsto S'\) 满足以下规律：

  • 加法保持：\((S + T)' = S' + T'\)。

  • 数乘保持：\((\lambda S)' = \lambda S'\)。

  • 复合逆序律：\((S \circ T)' = T' \circ S'\)。

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四、 零化子 Annihilator

• 零化子定义：对于子集 \(U \subseteq V\)，其零化子 \(U^0\) 包含对偶空间中所有将 \(U\) 映射为零的泛函：

  \[ U^0 = \{\varphi \in V' \mid \varphi(u) = 0, \forall u \in U\} \]

• 子空间性质：无论 \(U\) 是否为子空间，\(U^0\) 必定是对偶空间 \(V'\) 的子空间（\(U^0 \le V'\)）。

• 维数公式：若 \(\dim V < \infty\) 且 \(U \le V\)，则有核心公式 \(\dim V = \dim U + \dim U^0\)。

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五、 原映射与对偶映射的核心关系

设 \(V, W\) 为有限维线性空间，\(T \in \mathcal{L}(V, W)\)。

• 空间联系：

  • \(T'\) 的零空间：\(\text{null } T' = (\text{range } T)^0\)。

  • \(T'\) 的值域：\(\text{range } T' = (\text{null } T)^0\)。

• 维数关系：

  • 秩守恒：\(\dim(\text{range } T') = \dim(\text{range } T)\)。

  • 核维数公式：\(\dim(\text{null } T') = \dim(\text{null } T) + \dim W - \dim V\)。

• 单满射的对偶等价性：

  • \(T\) 是满射 \(\iff T'\) 是单射。

  • \(T\) 是单射 \(\iff T'\) 是满射。

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六、 矩阵表示与转置的实质

• 在有限维空间对应基下，原线性映射矩阵 \(A\) 与其对偶映射矩阵 \(A'\) 互为转置，即 \(A' = A^T\)。

• 转置乘法法则：对偶映射的复合逆序律在矩阵语言中表现为 \((AC)^T = C^T A^T\)。