§3.3–3.4 二维正态与随机变量独立性（Bivariate Normal and Independence）

随机变量独立的统一定义

设 \(F(x,y)\) 为联合 CDF，\(F_X,F_Y\) 为边际 CDF。若对任意 \(x,y\in\mathbb R\)，

\[ F(x,y)=F_X(x)F_Y(y), \]

则称 \(X,Y\) 相互独立（independent random variables）。

等价地，对于任意适当的实数集合 \(A,B\)，

\[ P(X\in A,Y\in B)=P(X\in A)P(Y\in B). \]

须对所有阈值成立，只验证一对事件不够。

离散与连续情形的判别

类型	充要条件
离散型	\(p_{ij}=p_{i\cdot}p_{\cdot j}\) 对所有 \(i,j\) 成立
有联合密度	\(f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\) 几乎处处成立

证明独立须验证全部；否定独立只需一个反例取值对或正概率区域。密度在某连续点不等，则其邻域即可作反例；单个不连续点的差异不够。

例如联合表为

\(X\backslash Y\)	\(0\)	\(1\)	\(P_X\)
\(1\)	\(1/6\)	\(2/6\)	\(1/2\)
\(2\)	\(1/6\)	\(2/6\)	\(1/2\)
\(P_Y\)	\(1/3\)	\(2/3\)	1

每格均等于行和乘列和，所以独立。如果把第二行改为 \(2/6,1/6\)，边际变为 \(P_Y(0)=P_Y(1)=1/2\)；第一格 \(1/6\ne(1/2)(1/2)\)，所以不独立。

因式分解判据（Factorization Criterion）

若联合密度在全平面上几乎处处（almost everywhere）可分解为两个非负单变量函数的乘积

\[ f(x,y)=m(x)n(y) \]

则分离积分并归一化得 \(f_Xf_Y=f\)，故独立。

函数与支撑指示因子都须可分离：

• \(6e^{-2x-3y}\mathbf1_{\{x>0\}}\mathbf1_{\{y>0\}}\) 可分离，独立。
• \(\frac12xy\mathbf1_{\{0<x<y<2\}}\) 的代数部分可分离，但三角支撑不能分成两个单变量范围，不独立。
• \((x+y)\mathbf1_{\{0<x<1,0<y<1\}}\) 的范围是矩形，但函数本身不能分离，仍不独立。

矩形支撑不是充分条件；排除独立时，结合支撑形状和密度正值区域判断。

用已做作业检验独立性

• 习题三 A12：\(P(X=1,Y=0)=0.1\)，而 \(P(X=1)P(Y=0)=0.12\)，不独立。
• 习题三 A18：联合密度 \((2x+y)/4\) 不等于 \((x+1/2)(1+y)/4\)，不独立。
• 习题三 A9：\(Y\ge X\)，例如 \(P(X=6,Y=1)=0\)，但两个边际在对应点均为正，不独立。

仅给边际不能默认联合为边际乘积。

二维正态分布（Bivariate Normal Distribution）

记

\[ (X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;\rho). \]

非退化（nondegenerate）时，\(\sigma_1,\sigma_2>0\)、\(|\rho|<1\)。记标准化坐标

\[ z_1=\frac{x-\mu_1}{\sigma_1},\qquad z_2=\frac{y-\mu_2}{\sigma_2}. \]

联合密度为

\[ f(x,y)=\frac1{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}} \exp\left[-\frac{z_1^2-2\rho z_1z_2+z_2^2}{2(1-\rho^2)}\right]. \]

\(\rho\) 为相关参数（correlation parameter）；\(|\rho|=1\) 时退化（degenerate）到直线，上式不再适用。

自绘。边际不变，\(\rho\) 改变联合等密度线的方向与形状。来源与许可。

边际分布仍为正态

\[ X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),\qquad Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2). \]

边际不含 \(\rho\)，不能单凭边际还原联合。

证明可把指数配方为

\[ \begin{aligned} f(x,y)&= \frac{e^{-(x-\mu_1)^2/(2\sigma_1^2)}}{\sqrt{2\pi}\sigma_1} \\ &\quad\cdot \frac{\exp\left[ -\dfrac{\{y-\mu_2-\rho(\sigma_2/\sigma_1)(x-\mu_1)\}^2} {2\sigma_2^2(1-\rho^2)} \right]} {\sqrt{2\pi}\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}. \end{aligned} \]

固定 \(x\)，第二因子对 \(y\) 积分为 1，余下第一因子即 \(f_X(x)\)。

条件分布仍为正态

由上面的配方或密度比，

\[ Y\mid X=x\sim N\left( \mu_2+\rho\frac{\sigma_2}{\sigma_1}(x-\mu_1), \ \sigma_2^2(1-\rho^2) \right), \]

\[ X\mid Y=y\sim N\left( \mu_1+\rho\frac{\sigma_1}{\sigma_2}(y-\mu_2), \ \sigma_1^2(1-\rho^2) \right). \]

条件中心随给定值变化，尺度乘 \(\sqrt{1-\rho^2}\)；求概率时按条件正态参数标准化。

例如二维标准正态且 \(\rho=1/2\)，则

\[ Y\mid X=1\sim N(1/2,3/4), \]

\[ P(Y\le1\mid X=1) =\Phi\left(\frac{1-1/2}{\sqrt{3/4}}\right) =\Phi(1/\sqrt3). \]

二维正态中：零相关与独立

充分性：若 \(\rho=0\)，交叉项消失，联合密度分成两个边际正态密度的乘积。

必要性：独立给出密度几乎处处相等，连续性使其处处相等。在 \((\mu_1,\mu_2)\) 比较峰值：

\[ \frac1{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}} =\frac1{2\pi\sigma_1\sigma_2} \implies\rho=0. \]

前提是联合二维正态；边际各自正态不够。

例：独立指数寿命的比较

甲、乙寿命 \(X,Y\) 独立，且均有密度 \(\frac12e^{-x/2}\)，\(x>0\)。所以

\[ f(x,y)=\frac14e^{-(x+y)/2},\qquad x,y>0. \]

比较事件 \(X\le2Y\)，固定 \(x>0\) 后，\(y\) 从 \(x/2\) 到无穷：

\[ \begin{aligned} P(X\le2Y) &=\int_0^\infty\int_{x/2}^\infty \frac14e^{-(x+y)/2}\,dy\,dx\\ &=\int_0^\infty\frac12e^{-3x/4}\,dx=\frac23. \end{aligned} \]

独立性用于构造联合密度，事件区域仍须单独确定。

参考资料

主课件第 63–69、72–82 页；课堂识别 lecture-record-24。