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10_实向量空间上的算子

1. 实向量空间的复化

为了在实向量空间中引入复数域的代数闭包特性，我们需要定义实向量空间的复化 (Complexification)。

定义与基本运算

设 \(V\) 是实数域 \(\mathbb{R}\) 上的向量空间，定义其复化空间 \(V_\mathbb{C} = V \times V = \{u+iv \mid u, v \in V\}\)。

在该空间上定义如下运算：

  • 加法：\((u_1+iv_1) + (u_2+iv_2) = (u_1+u_2) + i(v_1+v_2)\)。

  • 复数标量乘法：\((a+bi)(u+iv) = (au-bv) + i(bu+av)\)。

定理：维数与基的关系

  • 设 \(v_1, \dots, v_n\) 是实空间 \(V_\mathbb{R}\) 的一组基，则这组基同样也是复化空间 \(V_\mathbb{C}\) 在复数域 \(\mathbb{C}\) 上的一组基。

  • 证明其在 \(\mathbb{C}\) 上线性无关：若存在复数 \(a_k + ib_k\) 使得 \(\sum (a_k+ib_k)v_k = 0\)，展开后得到 \((\sum a_k v_k) + i(\sum b_k v_k) = 0\)。由于实部和虚部必须分别为零向量，即 \(\sum a_k v_k = 0\) 且 \(\sum b_k v_k = 0\)，由 \(v_k\) 在实数域上的线性无关性可推出所有 \(a_k = 0\) 且 \(b_k = 0\)。

  • 维数关系：\(\dim_\mathbb{R}(V_\mathbb{R}) = \dim_\mathbb{C}(V_\mathbb{C})\)。同时，如果将 \(V_\mathbb{C}\) 视作实向量空间，其维数为 \(\dim_\mathbb{R}(V_\mathbb{C}) = 2\dim_\mathbb{R} V\)。

2. 实内积空间上的正规算子

实内积空间上的正规算子结构比复数域复杂，因为多项式可能存在不可约的二次因式。

定理：正规算子在不变子空间上的限制

设 \(V\) 是内积空间，\(T \in \mathscr{L}(V)\) 是正规算子（即 \(T^*T = TT^*\)），若 \(U\) 是 \(T\)-不变子空间，则有：

  • (a) 正交补 \(U^\bot\) 在 \(T\) 下是不变的。

  • (b) \(U\) 在伴随算子 \(T^*\) 下也是不变的。

  • (c) 限制算子的伴随等于伴随算子的限制：\((T|_U)^* = T^*|_U\)。证明：对 \(\forall u, v \in U\)，\(\langle T|_U u, v \rangle = \langle u, (T|_U)^* v \rangle\)；同时 \(\langle Tu, v \rangle = \langle u, T^*v \rangle = \langle u, T^*|_U v \rangle\)，对比即得结果。

  • (d) 限制算子 \(T|_U \in \mathscr{L}(U)\) 以及 \(T|_{U^\bot} \in \mathscr{L}(U^\bot)\) 都是正规算子。

  • 核心证明思路：取 \(V = U \oplus U^\bot\) 的标准正交基，在该基下 \(T\) 的矩阵形式为上分块三角阵 \(\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & C \end{pmatrix}\)。由正规性带来的范数等式 \(||T^*e_i|| = ||Te_i||\)，导致对应矩阵乘积中必然有 \(B=0\)。通过计算迹 \(\text{tr}(BB^T) = \sum b_{ij}^2 = 0\)，严格证明了 \(B=0\)，从而 \(A^T A = AA^T\)，得证 (d)。

定理：二维实内积空间上的正规算子

设 \(V\) 是二维实内积空间，\(T \in \mathscr{L}(V)\)。\(T\) 是非平凡正规算子，当且仅当存在一组标准正交基 \((e_1, e_2)\)，使得 \(T\) 的矩阵表示为：

\[ T(e_1, e_2) = (e_1, e_2)\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}, \quad b > 0 \]

  • 若算出的 \(b < 0\)，只需选取基底 \((e_1, -e_2)\) 即可使非对角元符号翻转，满足 \(b > 0\) 的标准形式。

  • 证明中利用了正规条件 \(T^*T = TT^*\) 带来的矩阵方程 \(\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}\)，从而解出 \(a=d\) 且 \(b^2 = c^2\)。

定理：实内积空间正规算子的分块对角结构

设 \(V\) 是实内积空间，\(T \in \mathscr{L}(V)\)。以下条件等价：

  • (a) \(T\) 是正规算子。

  • (b) \(V\) 存在一组标准正交基，使得 \(T\) 在该基下的矩阵 \(A\) 为分块对角矩阵，其主对角线上的块为 \(1 \times 1\) 的实数 \(\lambda_i \in \mathbb{R}\)，或 \(2 \times 2\) 的矩阵块 \(A_i = \begin{pmatrix} a_i & -b_i \\ b_i & a_i \end{pmatrix}\) （其中 \(b_i > 0\)）。

  • 该定理的证明通过对空间维数 \(\dim V\) 进行数学归纳法完成，当 \(\dim V = k+1\) 时，分离出 1 维或 2 维的 \(T\)-不变子空间 \(U\)，然后利用定理 9.30 将问题降阶到正交补 \(U^\bot\) 上。

3. 实内积空间上的等距同构 (Isometries)

定理：等距算子的结构

设 \(V\) 是实内积空间，\(S \in \mathscr{L}(V)\)。以下条件等价：

  • (a) \(S\) 是等距算子 (Isometry)。

  • (b) 存在一组标准正交基，使得 \(S\) 的矩阵表示为分块对角阵，其中的 \(1 \times 1\) 块只能是 \(\lambda_i = \pm 1\)，而 \(2 \times 2\) 块具有旋转矩阵的形式 \(A_i = \begin{pmatrix} \cos\theta_i & -\sin\theta_i \\ \sin\theta_i & \cos\theta_i \end{pmatrix}\)。

  • 证明核心：因为等距算子满足 \(SS^* = S^*S = I\)（即 \(S^{-1} = S^*\)），所以 \(S\) 必定是正规算子，可直接应用定理 9.34 分块对角化。

    • 对于 \(1 \times 1\) 的特征值块，因其保范数必有 \(\lambda_i^2 = 1 \Rightarrow \lambda_i = \pm 1\)。

    • 对于 \(2 \times 2\) 块，等式 \(A A^T = I\) 给出 \(a_i^2 + b_i^2 = 1\)。利用三角换元，令 \(a_i = \cos\theta_i\) 且 \(b_i = \sin\theta_i\)，即得到旋转矩阵的标准形式。

4. 实向量空间与算子的复化 (Complexification)

为了在实向量空间中充分利用代数基本定理（特征值必然存在），需要对实空间和实算子进行复化。

实向量空间的复化 \(V_{\mathbb{C}}\)

设 \(V_{\mathbb{R}}\) 是实数域上的向量空间，其复化空间定义为 \(V_{\mathbb{C}} = V \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C} = V \oplus iV = \{u+iv \mid u, v \in V\}\)。

  • 若 \(v_1, \dots, v_n\) 是 \(V_{\mathbb{R}}\) 的一组基，则它同样也是复化空间 \(V_{\mathbb{C}}\) 作为复向量空间的一组基。

算子的复化 \(T_{\mathbb{C}}\)

对于实算子 \(T \in \mathscr{L}(V_{\mathbb{R}})\)，定义其复化算子 \(T_{\mathbb{C}} \in \mathscr{L}(V_{\mathbb{C}})\) 为：

\[ T_{\mathbb{C}}(u+iv) = Tu + iTv \]
  • 重要性质 (9.7)：在同一组实基下，实算子 \(T\) 和其复化算子 \(T_{\mathbb{C}}\) 对应的矩阵表示是完全相同的。

定理：不变子空间的存在性

对于任意实空间上的算子 \(T \in \mathscr{L}(V_{\mathbb{R}})\)，全空间 \(V\) 中必定存在一个 \(1\) 维或 \(2\) 维的 \(T\)-不变子空间。

  • 证明核心：\(T_{\mathbb{C}}\) 必定有复特征值 \(a+bi\) 和特征向量 \(u+iv\)。由 \(T_{\mathbb{C}}(u+iv) = (a+ib)(u+iv)\) 展开并对比实部与虚部可得：\(Tu = au-bv\) 且 \(Tv = av+bu\)。因此，子空间 \(\text{Span}(u, v)\) 在 \(T\) 的作用下封闭，且维数不超过 2，即为所求的不变子空间。

5. 复化算子的特征值与共轭性质

多项式的作用

若 \(p(x) \in \mathbb{R}[x]\) 是实系数多项式，则 \(p(T_{\mathbb{C}})(u+iv) = p(T)u + ip(T)v\)。因此，\(p(T_{\mathbb{C}}) = 0\) 当且仅当 \(p(T) = 0\)。

定理：共轭特征值与极小多项式

  • 共轭运算对复化算子具有可交换性：\(\overline{T_{\mathbb{C}}(u+iv)} = T_{\mathbb{C}}(u-iv)\)。

  • 若 \(\lambda\) 是 \(T_{\mathbb{C}}\) 的复特征值（对应特征向量 \(u+iv\)），两边取共轭可知，\(\overline{\lambda}\) 必然也是 \(T_{\mathbb{C}}\) 的特征值（对应特征向量 \(u-iv\)）。

  • 共轭特征值不仅成对出现，其对应的广义特征空间的维数也完全相同，即 \(\dim G(\lambda, T_{\mathbb{C}}) = \dim G(\overline{\lambda}, T_{\mathbb{C}})\)。

  • 定理：实算子 \(T\) 的极小多项式一定是实系数多项式。

定理：奇数维空间的实特征值

设 \(T \in \mathscr{L}(V_{\mathbb{R}})\)，若空间维数 \(\dim V_{\mathbb{R}} = 2k+1\)（奇数维），则 \(T\) 至少存在一个实特征值。

  • 原因：全空间维数等于各广义特征空间维数之和。由于非实特征值的广义特征空间维数成对相等（必定提供偶数维贡献 \(2\dim G(\lambda, T_{\mathbb{C}})\)），剩余的维数必为奇数，因此必定存在对应实特征值的子空间。

6. 实算子的特征多项式与 Cayley-Hamilton 定理

定理：特征多项式的实数域性质

  • 实算子 \(T\) 的特征多项式定义为其复化算子 \(T_{\mathbb{C}}\) 的特征多项式，由于复根成对出现，\((z-\lambda)(z-\overline{\lambda}) = z^2 - (\lambda+\overline{\lambda})z + \lambda\overline{\lambda}\) 生成实系数，因此 \(T\) 的特征多项式是实系数多项式。

  • 特征多项式的次数严格等于全空间的实维数 \(\dim V_{\mathbb{R}}\)。

  • 算子 \(T\) 的所有实特征值，恰好是其特征多项式的全部实零点。

定理：Cayley-Hamilton 定理的实数版

  • 设 \(f(z)\) 是 \(T \in \mathscr{L}(V_{\mathbb{R}})\) 的特征多项式，则必然有 \(f(T) = 0\)。

  • 算子 \(T\) 的极小多项式 \(p(x)\) 必然整除其特征多项式 \(f(x)\)。

7. 实空间不变子空间分解与分块矩阵求法 (实例)

三维实空间分解示例

设算子 \(T \in \mathscr{L}(\mathbb{R}^3)\) 对应矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & -2 \\ 1 & 2 & -3 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}\)。

  1. 求特征值：通过 \(|\lambda E - A| = (\lambda-1)(\lambda^2 - 4\lambda + 13)\)，求得特征值为 \(\lambda_1=1\) 及共轭复根 \(\lambda_{2,3} = 2 \pm 3i\)。

  2. 求实不变子空间 \(V_1, V_2\)：

    • 对应 \(\lambda_1 = 1\)，可解得实特征向量，构成 1 维不变子空间 \(V_1 = \text{span}\left( (1, 0, 1)^T \right)\)（由于书写模糊，示意取对应特征向量）。

    • 对应 \(\lambda = 2+3i\)，代入复矩阵方程求解，得到复特征向量 \(u+iv = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + i\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\)。

    • 分离实部和虚部，张成 2 维实不变子空间 \(V_2 = \text{span}\left( \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \right)\)。全空间直和分解为 \(V = V_1 \oplus V_2\)。

  3. 标准分块矩阵形式：在该新基下，\(T\) 的矩阵化为分块对角阵 \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & 2 \end{pmatrix}\)，其中 \(2\times 2\) 块即反映了复特征值 \(2 \pm 3i\) 的结构。

8. 利用初等变换求矩阵极小多项式 (Smith 标准型法)

除了利用定义和多项式因式分解外，可以通过多项式矩阵的初等变换精确求出矩阵 \(A\) 的极小多项式。

  1. 构造特征矩阵：写出多项式矩阵 \(\lambda E - A\)。

  2. 多项式初等变换：在多项式环 \(\mathbb{F}[\lambda]\) 上，对该矩阵进行行列初等变换。

  3. 化为对角型 (Smith Normal Form)：将其化为对角矩阵形式 \(\text{diag}(1, \dots, 1, d_1(\lambda), d_2(\lambda), \dots, d_r(\lambda))\)，其中后一个多项式必须被前一个整除（即 \(d_i(\lambda) \mid d_{i+1}(\lambda)\)）。

  4. 确定极小多项式：化简得到的最后一个（次数最高）的不变因子 \(d_r(\lambda)\)，就是原矩阵 \(A\) 的极小多项式。