10_曲面积分

一、空间曲面的参数化与面积积分初步

类似于通过参数方程计算曲线弧长，计算空间曲面面积需要通过参数化并利用偏导数向量的叉乘来确定微元面积。

1. 参数化曲面与面积微元

设曲面 $S$ 由参数方程给出：$x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v)$，其中 $(u,v) \in D$。

向量形式记为 $\vec{r}(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))$。

若坐标函数在有界闭区域 $D$ 内具有连续偏导数，且满足：

雅可比矩阵 $J = \begin{pmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \\ z_u & z_v \end{pmatrix}$ 的秩恒为 2。
映射 $\vec{r}$ 是单射（即曲面自身不相交）。

则称 $S$ 为光滑曲面。

将参数区域 $D$ 分割为微小网格 $\Delta u \Delta v$，在曲面上对应的小块面积 $\Delta S_i$ 可近似为由切向量 $\vec{r}_u$ 和 $\vec{r}_v$ 构成的平行四边形面积：

\[ \Delta S_i \approx |\vec{r}_u(\xi_i, \eta_i) \times \vec{r}_v(\xi_i, \eta_i)| \Delta u \Delta v \]

取黎曼和的极限，得到参数化曲面的面积公式：

\[ \sigma(S) = \iint_D |\vec{r}_u(u,v) \times \vec{r}_v(u,v)| dudv \]

2. 显式方程曲面的面积公式推导

对于最常见的由显式方程 $z = f(x,y), (x,y) \in D$ 给出的曲面，可将其视为参数 $(u,v)$ 就是 $(x,y)$ 的特例。

令 $\vec{r}(x,y) = x\vec{i} + y\vec{j} + f(x,y)\vec{k}$。

计算其偏导数向量：

\[ \vec{r}_x = \vec{i} + f_x\vec{k}, \quad \vec{r}_y = \vec{j} + f_y\vec{k} \]

求叉乘：

\[ \vec{r}_x \times \vec{r}_y = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & f_x \\ 0 & 1 & f_y \end{vmatrix} = -f_x\vec{i} - f_y\vec{j} + \vec{k} \]

其模长为 $|\vec{r}_x \times \vec{r}_y| = \sqrt{f_x^2 + f_y^2 + 1}$。代入一般公式，得到显式曲面的面积计算公式：

\[ \sigma(S) = \iint_D \sqrt{1 + (f_x(x,y))^2 + (f_y(x,y))^2} dxdy \]

3. 计算实例：截断抛物面的面积

求抛物面 $z = x^2+y^2$ 被平面 $z=1$ 割下的有限部分的面积。

解析：

确定投影区域： 曲面 $S$ 在 $xy$ 平面的投影区域 $D$ 为 $x^2+y^2 \le 1$。
计算偏导数： $z_x = 2x, z_y = 2y$。
代入公式并坐标变换：

\[ \sigma(S) = \iint_D \sqrt{1 + (2x)^2 + (2y)^2} dxdy = \iint_D \sqrt{1 + 4(x^2+y^2)} dxdy \]

鉴于积分区域 $D$ 是圆盘，采用极坐标变换：$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$, 范围是 $0 \le r \le 1, 0 \le \theta \le 2\pi$。

积分转化为：

\[ \sigma(S) = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 \sqrt{1+4r^2} r dr \]

(后续可利用凑微分法 $d(1+4r^2) = 8rdr$ 继续计算得出最终数值结果)。

二、旋转曲面的面积

对于由平面曲线绕轴旋转生成的旋转曲面，我们可以利用显式曲面面积公式推导出其特有的面积计算公式。

1. 问题描述与对称性分析

设一元函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上具有连续导数，且 $f(x) \ge 0$。求曲线 $y = f(x)$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成的旋转曲面面积 $A$。

由对称性可知，该旋转曲面的总面积是其在第一卦限（$y \ge 0, z \ge 0$）部分面积的 4 倍。

该部分曲面的显式方程可表示为：

\[ z = \sqrt{f^2(x) - y^2}, \quad (x,y) \in D \]

其中投影区域 $D$ 为：$D = \{(x,y): 0 \le y \le f(x), a \le x \le b\}$。

2. 面积公式推导

计算偏导数：

\[ z_x = \frac{f(x)f'(x)}{\sqrt{f^2(x) - y^2}}, \quad z_y = \frac{-y}{\sqrt{f^2(x) - y^2}} \]

代入面积微元并化简：

\[ 1 + z_x^2 + z_y^2 = 1 + \frac{f^2(x)(f'(x))^2 + y^2}{f^2(x) - y^2} = \frac{f^2(x)[1 + (f'(x))^2]}{f^2(x) - y^2} \]

计算总面积 $\sigma(S)$：

\[ \sigma(S) = 4 \iint_D \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} dxdy = 4 \iint_D \frac{f(x)\sqrt{1 + (f'(x))^2}}{\sqrt{f^2(x) - y^2}} dxdy \]

化为累次积分：

\[ \sigma(S) = 4 \int_a^b dx \int_0^{f(x)} \frac{f(x)\sqrt{1 + (f'(x))^2}}{\sqrt{f^2(x) - y^2}} dy \]

单独计算关于 $y$ 的内层积分（将其视为常数 $a=f(x)$ 形式）：

\[ \int_0^{f(x)} \frac{1}{\sqrt{f^2(x) - y^2}} dy = \arcsin\left(\frac{y}{f(x)}\right) \Bigg|_0^{f(x)} = \arcsin 1 - \arcsin 0 = \frac{\pi}{2} \]

最终得到旋转曲面面积公式：

\[ A = \sigma(S) = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1 + (f'(x))^2} dx \]

三、第一型曲面积分（对面积的曲面积分）

1. 物理背景与定义

设 $\Sigma$ 是空间中的一张光滑曲面，表示一块具有质量的薄片，其在点 $(x,y,z)$ 处的面密度为 $\rho(x,y,z)$。为了求其总质量，我们将曲面分割为 $m$ 个小块 $\Sigma_i$，在每小块上任取一点 $(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)$，则总质量近似为黎曼和 $\sum_{i=1}^m \rho(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \sigma(\Sigma_i)$。

定义： 设 $\Sigma$ 是由参数方程给出的光滑曲面，$f(x,y,z)$ 是定义在 $\Sigma$ 上的函数。若当网格划分的最大对角线长度 $||T|| \to 0$ 时，下列极限存在：

\[ \lim_{||T|| \to 0} \sum_{i=1}^m f(\vec{r}(\xi_i, \eta_i)) \cdot \sigma(\Sigma_i) \]

则称此极限值为函数 $f$ 在 $\Sigma$ 上的第一型曲面积分（或对面积的曲面积分），记作：

\[ \iint_\Sigma f(x,y,z) dS \quad \text{或} \quad \iint_\Sigma f(x,y,z) d\sigma \]

注：当被积函数 $f(x,y,z) \equiv 1$ 时，积分结果即为曲面的面积 $\sigma(\Sigma)$。

2. 计算公式

将曲面面积微元 $dS$ 转化为参数平面上的面积微元：

参数化曲面 $\vec{r}(u,v)$：

\[ \iint_\Sigma f(x,y,z) dS = \iint_D f(\vec{r}(u,v)) |\vec{r}_u(u,v) \times \vec{r}_v(u,v)| dudv \]
显式方程曲面 $z = z(x,y)$：

\[ \iint_\Sigma f(x,y,z) dS = \iint_D f(x,y,z(x,y)) \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} dxdy \]

四、典型例题与对称性应用

在计算第一型曲面积分时，充分利用曲面的对称性和被积函数的奇偶性，可以极大地简化计算。

例 1：利用对称性消去奇函数项

计算积分 $I = \iint_\Sigma (x+y+z) dS$，其中 $\Sigma$ 是上半球面 $x^2+y^2+z^2=a^2, z \ge 0$。

解析：

曲面 $\Sigma$ 关于 $yoz$ 平面（即 $x=0$）对称。若将曲面分为 $x \ge 0$ 和 $x \le 0$ 两部分，由于被积函数 $x$ 是关于 $x$ 的奇函数，故积分相消：

\[ \iint_\Sigma x dS = 0 \]

同理，$\Sigma$ 关于 $xoz$ 平面对称，故 $\iint_\Sigma y dS = 0$。

因此原积分简化为：$I = \iint_\Sigma z dS$。

曲面方程 $z = \sqrt{a^2-x^2-y^2}$，计算其面积微元：

\[ 1 + z_x^2 + z_y^2 = 1 + \frac{x^2+y^2}{a^2-x^2-y^2} = \frac{a^2}{a^2-x^2-y^2} = \frac{a^2}{z^2} \]

故 $dS = \frac{a}{z} dxdy$。代入积分：

\[ I = \iint_D z \cdot \frac{a}{z} dxdy = a \iint_D dxdy = a \cdot \sigma(D) = \pi a^3 \]

（其中投影区域 $D$ 为圆盘 $x^2+y^2 \le a^2$）。

例 2：利用轮换对称性与常数替换

计算积分 $I = \iint_\Sigma x^2 dS$，其中 $\Sigma$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$。

解析：

由于球面方程中 $x,y,z$ 地位等价（轮换对称性），且积分区域完全对称，必有：

\[ I = \iint_\Sigma x^2 dS = \iint_\Sigma y^2 dS = \iint_\Sigma z^2 dS \]

从而：

\[ I = \frac{1}{3} \iint_\Sigma (x^2+y^2+z^2) dS \]

在球面 $\Sigma$ 上，恒有 $x^2+y^2+z^2 = a^2$。将其作为常数提出：

\[ I = \frac{1}{3} \iint_\Sigma a^2 dS = \frac{a^2}{3} \sigma(\Sigma) = \frac{a^2}{3} (4\pi a^2) = \frac{4\pi a^4}{3} \]

例 3：参数化法计算椭球面上的积分

计算积分 $I = \iint_\Sigma \sqrt{\frac{x^2}{a^4} + \frac{y^2}{b^4} + \frac{z^2}{c^4}} dS$，其中 $\Sigma$ 是椭球面 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \quad (a,b,c>0)$。

解析：

利用广义球面坐标给出椭球面的参数方程：

\[ x = a \sin\varphi \cos\theta, \quad y = b \sin\varphi \sin\theta, \quad z = c \cos\varphi \]

其中 $0 \le \varphi \le \pi, \quad 0 \le \theta \le 2\pi$。

计算切向量的叉乘 $\vec{r}_\varphi \times \vec{r}_\theta$：

\[ \vec{r}_\varphi \times \vec{r}_\theta = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a\cos\varphi\cos\theta & b\cos\varphi\sin\theta & -c\sin\varphi \\ -a\sin\varphi\sin\theta & b\sin\varphi\cos\theta & 0 \end{vmatrix} = (bc\sin^2\varphi\cos\theta)\vec{i} + (ac\sin^2\varphi\sin\theta)\vec{j} + (ab\sin\varphi\cos\varphi)\vec{k} \]

求其模长（即面积微元放缩因子）：

\[ |\vec{r}_\varphi \times \vec{r}_\theta| = abc\sin\varphi \sqrt{\frac{\sin^2\varphi\cos^2\theta}{a^2} + \frac{\sin^2\varphi\sin^2\theta}{b^2} + \frac{\cos^2\varphi}{c^2}} \]

（此处提取了 $a^2b^2c^2\sin^2\varphi$ 开方）。

将参数方程代入被积函数：

\[ \sqrt{\frac{x^2}{a^4} + \frac{y^2}{b^4} + \frac{z^2}{c^4}} = \sqrt{\frac{\sin^2\varphi\cos^2\theta}{a^2} + \frac{\sin^2\varphi\sin^2\theta}{b^2} + \frac{\cos^2\varphi}{c^2}} \]

注意被积函数与叉乘模长中的根式部分完全一致。

将 $dS = |\vec{r}_\varphi \times \vec{r}_\theta| d\varphi d\theta$ 代入原积分，根式相乘即去掉根号：

\[ I = \iint_D abc\sin\varphi \left( \frac{\sin^2\varphi\cos^2\theta}{a^2} + \frac{\sin^2\varphi\sin^2\theta}{b^2} + \frac{\cos^2\varphi}{c^2} \right) d\varphi d\theta \]

展开并在矩形区域 $[0, \pi] \times [0, 2\pi]$ 上进行计算，最终得到：

\[ I = \frac{4}{3}abc\pi \left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}\right) \]

五、空间曲面的侧与有向曲面

在引入第二型曲面积分前，需要明确曲面方向性的数学描述。

1. 曲面的单侧与双侧性

设 $\Sigma$ 是一张具有参数方程 $\vec{r} = \vec{r}(u,v), (u,v) \in D$ 的光滑曲面。在其上任意一点 $P$，都存在确定的切平面，从而可以在该点垂直于切平面的方向上选取单位法向量 $\vec{n}(P)$（有两种相反的取法）。

双侧曲面（可定向曲面）： 如果映射 $P \mapsto \vec{n}(P)$ 是从 $\Sigma$ 到 $\mathbb{R}^3$ 的连续映射，即在曲面上能找到一个连续变动的单位法向量场，则称 $\Sigma$ 为双侧曲面或可定向曲面。
单侧曲面（不可定向曲面）： 如果不存在这样的连续法向量场（例如莫比乌斯带，法向量绕行一周后方向反转），则称 $\Sigma$ 为单侧曲面。

2. 有向曲面与拼接曲面

有向曲面： 对于一个双侧曲面，一旦选定了其中一个连续的单位法向量场 $\vec{n}$，就称该法向量指向的一侧为正侧，反方向指向的一侧为负侧。指定了正侧的曲面即称为有向曲面。
拼接曲面的定向： 若 $\Sigma$ 是一张由若干光滑小曲面片构成的分片光滑曲面（任意两块至多相交于一条边界曲线，任意三块至多相交于一个边界点）。如果在各个小曲面片上都能确定方向，且使得任意两块有公共边界的曲面片在该边界上的定向是协调的，则称该拼接曲面是可定向的。

六、第二型曲面积分（对坐标的曲面积分）

1. 物理背景与定义

第二型曲面积分的直观物理意义是计算通量（Flux）。例如，求单位时间内流体从有向曲面 $\Sigma$ 的负侧穿过到达正侧的总流量。设流体的流速场为 $\vec{F}(x,y,z)$。将曲面分割取微元 $\Sigma_i$，在每小块上取一点计算流速在法线方向的投影 $\vec{F} \cdot \vec{n}$，乘以面积元 $\sigma(\Sigma_i)$ 即为该小块的近似流量。

定义： 设 $\Sigma$ 为给定的光滑有向曲面，$\vec{n}(x,y,z)$ 为其正侧的连续单位法向量场。$\vec{F}$ 是定义在 $\Sigma$ 上的向量值函数。若当网格划分的最大对角线长度 $||T|| \to 0$ 时，下列黎曼和的极限存在：

\[ \lim_{||T|| \to 0} \sum_{i=1}^m \left( \vec{F}(\vec{r}(\xi_i,\eta_i)) \cdot \vec{n}(\vec{r}(\xi_i,\eta_i)) \right) \cdot \sigma(\Sigma_i) \]

则称此极限为向量场 $\vec{F}$ 在有向曲面 $\Sigma$ 上的第二型曲面积分，记作：

\[ \iint_\Sigma \vec{F} \cdot d\vec{S} \quad \text{或} \quad \iint_\Sigma (\vec{F} \cdot \vec{n}) dS \]

2. 分量形式与标准记法

设单位法向量的坐标为方向余弦 $\vec{n} = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)$，向量场 $\vec{F} = (P, Q, R)$。

通过向量点积展开：

\[ \iint_\Sigma (\vec{F} \cdot \vec{n}) dS = \iint_\Sigma (P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma) dS \]

在几何上，面积微元在各个坐标面上的有向投影可以表示为：

$dy \wedge dz = \cos\alpha dS$ （在 $yz$ 平面上的投影）
$dz \wedge dx = \cos\beta dS$ （在 $zx$ 平面上的投影）
$dx \wedge dy = \cos\gamma dS$ （在 $xy$ 平面上的投影。若 $\cos\gamma > 0$ 取正，若 $< 0$ 取负）

通常省略外积符号 $\wedge$，将第二型曲面积分写作：

\[ \iint_\Sigma P dydz + Q dzdx + R dxdy \]

3. 基本性质：方向性

由于法向量 $\vec{n}$ 决定了曲面的侧，第二型曲面积分具有明确的方向性。记 $-\Sigma$ 为与 $\Sigma$ 取相反侧的有向曲面，则积分变号：

\[ \iint_{-\Sigma} \vec{F} \cdot \vec{n} dS = - \iint_\Sigma \vec{F} \cdot \vec{n} dS \]

七、第二型曲面积分的计算方法

计算第二型曲面积分的核心思想是将其转化为参数平面或投影面上的二重积分。

1. 参数化曲面的计算公式

设曲面 $\Sigma$ 由参数方程 $\vec{r} = \vec{r}(u,v)$ 给出，$(u,v) \in D$。

该处的法向量为两个切向量的叉乘 $\vec{r}_u \times \vec{r}_v$，单位法向量为：

\[ \vec{n}(\vec{r}(u,v)) = \pm \frac{\vec{r}_u(u,v) \times \vec{r}_v(u,v)}{|\vec{r}_u(u,v) \times \vec{r}_v(u,v)|} \]

其中符号 $\pm$ 由指定的曲面定向决定。

结合第一型面积微元公式 $dS = |\vec{r}_u \times \vec{r}_v| dudv$，微元项化简为：

\[ (\vec{F} \cdot \vec{n}) dS = \vec{F} \cdot \left( \pm \frac{\vec{r}_u \times \vec{r}_v}{|\vec{r}_u \times \vec{r}_v|} \right) |\vec{r}_u \times \vec{r}_v| dudv = \pm \vec{F} \cdot (\vec{r}_u \times \vec{r}_v) dudv \]

利用向量混合积的行列式表示，得到一般参数曲面的计算公式：

\[ \iint_\Sigma P dydz + Q dzdx + R dxdy = \pm \iint_D \begin{vmatrix} P & Q & R \\ x_u & y_u & z_u \\ x_v & y_v & z_v \end{vmatrix} dudv \]

2. 显式方程曲面的计算公式

对于由显式方程 $z = z(x,y), (x,y) \in D$ 给出的曲面 $\Sigma$，将其视为参数方程 $\vec{r}(x,y) = (x, y, z(x,y))$。

计算偏导数：$x_x = 1, y_x = 0, z_x = z_x$ 且 $x_y = 0, y_y = 1, z_y = z_y$。

代入上述行列式展开，得到显式曲面的计算公式：

\[ \iint_\Sigma P dydz + Q dzdx + R dxdy = \pm \iint_D \begin{vmatrix} P & Q & R \\ 1 & 0 & z_x \\ 0 & 1 & z_y \end{vmatrix} dxdy = \pm \iint_D \left[ -P \frac{\partial z}{\partial x} - Q \frac{\partial z}{\partial y} + R(x,y,z(x,y)) \right] dxdy \]

符号选择判定（正负号规则）：

当曲面 $\Sigma$ 取上侧（即法向量与 $z$ 轴正向夹角为锐角）时，公式前取 "$+$" 号。
当曲面 $\Sigma$ 取下侧时，公式前取 "$-$" 号。

特例（仅向一个坐标面投影）：

当向量场仅有 $R$ 分量时，公式极大简化，只需将 $z$ 替换为 $z(x,y)$，然后直接计算在 $D$ 上的二重积分，附上由曲面侧决定的正负号：

\[ \iint_\Sigma R dxdy = \pm \iint_D R(x, y, z(x,y)) dxdy \]

八、第二型曲面积分的计算与技巧

在实际计算中，第二型曲面积分通常需要结合曲面的几何特征（如封闭曲面、对称性）以及投影面的选择来简化运算。以下结合具体实例展示常用的计算方法与技巧。

1. 分片光滑封闭曲面的计算

对于由多个光滑曲面拼接而成的封闭立体表面，需将其拆分为若干小曲面分别计算。特别注意，封闭曲面通常默认取外侧，因此在计算各小曲面时，必须准确判断其对应的法向量方向（上侧/下侧，或前侧/后侧等）。

实例：四面体表面的积分

计算 $I = \iint_\Sigma (x+1)dydz + (y+1)dzdx + (z+1)dxdy$，其中 $\Sigma$ 为平面 $x+y+z=1$ 与坐标面 $x=0, y=0, z=0$ 所围成的四面体表面，方向取外侧。

解析：

将 $\Sigma$ 分解为四个面：$\Sigma_1$ ($z=0$), $\Sigma_2$ ($x=0$), $\Sigma_3$ ($y=0$) 以及 $\Sigma_4$ ($x+y+z=1$)。

对于底面 $\Sigma_1$： 其方程为 $z=0$，区域 $D_{xy}$ 为 $0 \le y \le 1-x, 0 \le x \le 1$。取外侧意味着法向量向下，即取下侧。

在该面上 $z=0$，且 $dz=0$（或视法向量为 $(0,0,-1)$，无 $x, y$ 分量），故只有 $dxdy$ 项非零。

\[ \iint_{\Sigma_1} (z+1)dxdy = - \iint_{D_{xy}} (0+1) dxdy = - \sigma(D_{xy}) = -\frac{1}{2} \]
对于侧面 $\Sigma_2, \Sigma_3$： 同理利用对称性可得：

\[ \iint_{\Sigma_2} (x+1)dydz = -\frac{1}{2}, \quad \iint_{\Sigma_3} (y+1)dzdx = -\frac{1}{2} \]
对于斜面 $\Sigma_4$： 其显式方程为 $z = 1-x-y$，取外侧意味着取上侧（正号）。

计算偏导数：$z_x = -1, z_y = -1$。

代入显式积分公式 $\iint_D (-P z_x - Q z_y + R) dxdy$：

\[ \iint_{\Sigma_4} = \iint_{D_{xy}} [-(x+1)(-1) - (y+1)(-1) + (1-x-y+1)] dxdy \]

\[ = \iint_{D_{xy}} (x+1+y+1+2-x-y) dxdy = \iint_{D_{xy}} 4 dxdy = 4 \times \frac{1}{2} = 2 \]
总和： $I = 3 \times \left(-\frac{1}{2}\right) + 2 = \frac{1}{2}$。

2. 利用平行坐标面简化计算

当积分曲面包含平行于坐标面的部分时，某些微元投影的面积为零，可极大简化积分。

实例：正方体表面的积分

计算 $\iint_S (x+y)dydz + (y+z)dzdx + (z+x)dxdy$，其中 $S$ 是以原点为中心、边长为 2 的立方体表面（$x,y,z \in [-1, 1]$），取外侧。

解析：

可成对考虑相互平行的面。例如，考虑顶面 $S_1$ ($z=1$) 和底面 $S_2$ ($z=-1$)。

在这两个面上，法向量均平行于 $z$ 轴，因此 $dz=0$，仅保留 $dxdy$ 项。

$S_1$ 取外侧即为上侧（前乘 $+$），$S_2$ 取外侧即为下侧（前乘 $-$）。投影区域 $D$ 均为边长为 2 的正方形（面积为 4）。

\[ \iint_{S_1 \cup S_2} (z+x)dxdy = \iint_{S_1} (1+x)dxdy + \iint_{S_2} (-1+x)dxdy \]

\[ = +\iint_D (1+x)dxdy - \iint_D (-1+x)dxdy = \iint_D [(1+x) - (-1+x)] dxdy = \iint_D 2 dxdy = 2 \times 4 = 8 \]
由轮换对称性，另外两对面上的积分结果同样均为 8。总积分值为 24。

3. 对称性与曲面侧向的结合

在仅含单一投影微元（如 $dxdy$）的情况下，若被积函数具备奇偶性，且曲面也具对称性，需特别小心曲面侧向对积分符号的影响。

实例：跨越不同卦限的球面积分

计算 $\iint_\Sigma xyz dxdy$，其中 $\Sigma$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 在 $x \ge 0, y \ge 0$ 的部分，取外侧。

解析：

将 $\Sigma$ 按 $xy$ 平面分为上下两部分：

上半球面 $\Sigma_1$：$z = \sqrt{1-x^2-y^2}$，取外侧即上侧（正号）。
下半球面 $\Sigma_2$：$z = -\sqrt{1-x^2-y^2}$，取外侧即下侧（负号）。

两者在 $xy$ 平面的投影区域 $D$ 相同（第一象限的四分之一圆）。

\[ \iint_\Sigma xyz dxdy = \iint_{\Sigma_1} xyz dxdy + \iint_{\Sigma_2} xyz dxdy \]

\[ = +\iint_D xy(\sqrt{1-x^2-y^2}) dxdy - \iint_D xy(-\sqrt{1-x^2-y^2}) dxdy \]

注意 $\Sigma_2$ 处的 $z$ 本身为负值，叠加下侧带来的负号后，两项不仅没有抵消，反而相加：

\[ = 2 \iint_D xy\sqrt{1-x^2-y^2} dxdy \]

（后续采用极坐标 $x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$ 即可完成二重积分计算）。

4. 混合微元项转化为同一投影面

当向量场包含多个分量时，可以统一向某一个坐标面（通常为 $xy$ 平面）投影以化简为标准二重积分。

实例：向下投影的应用

计算 $\iint_\Sigma (z^2+x)dydz + \sqrt{z} dxdy$，其中 $\Sigma$ 为抛物面 $z = \frac{1}{2}(x^2+y^2)$ 在 $z=0$ 到 $z=2$ 之间的部分，方向取下侧。

解析：

投影区域 $D$ 为 $x^2+y^2 \le 4$。

计算偏导数：$z_x = x, z_y = y$。

被积函数分量：$P = z^2+x, Q = 0, R = \sqrt{z}$。

已知显式曲面的法向量为 $\vec{n} = \pm (-z_x, -z_y, 1) / \dots$。因为取下侧，法向量的 $z$ 分量必为负，故实际法向放缩倍率为 $(z_x, z_y, -1)$。

等价于使用公式 $\iint_D (-P z_x - Q z_y + R)dxdy$ 并在整体前加负号：

\[ I = -\iint_D [P \cdot (-z_x) + R] dxdy \]

\[ I = -\iint_D \left[ \left(\frac{1}{4}(x^2+y^2)^2 + x\right) \cdot (-x) + \sqrt{\frac{1}{2}(x^2+y^2)} \right] dxdy \]

将上式展开后，利用极坐标系即可计算最终的定积分。这展示了如何处理不在同一投影面上给出的微元项（如 $dydz$ 与 $dxdy$），将其统一转换为对 $dxdy$ 的积分。同样的方法也适用于仅含有单一侧面微元的情况（如 $\iint_S yz dzdx$ 转化为 $dxdy$ 投影计算）。

九、高斯公式 (Gauss's Theorem) 与空间闭区域的积分

高斯公式建立了空间闭区域上的三重积分与其边界闭曲面上的第二型曲面积分之间的深刻联系，是格林公式在三维空间的自然推广。

1. 高斯公式的定理叙述

设 $\Omega$ 是由分片光滑的闭曲面所围成的空间有界闭区域，其边界闭曲面记为 $\partial \Omega$。如果函数 $P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)$ 及其一阶偏导数 $\frac{\partial P}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial y}, \frac{\partial R}{\partial z}$ 在 $\Omega$ 上连续，则有高斯公式：

\[ \iint_{\partial \Omega} P dydz + Q dzdx + R dxdy = \iiint_\Omega \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dxdydz \]

注意： 公式左侧的曲面积分必须取闭曲面 $\partial \Omega$ 的外侧。

2. 公式的推导思想（以 $R$ 分量为例）

设 $\Omega$ 既是 $x$-型、$y$-型，也是 $z$-型的简单区域。例如，在 $z$ 方向上，$\Omega$ 可表示为：

\[ \Omega = \{(x,y,z) \mid \varphi(x,y) \le z \le \psi(x,y), (x,y) \in D_{xy}\} \]

边界 $\partial \Omega$ 由顶面 $\Sigma_2$ ($z=\psi(x,y)$, 取上侧)、底面 $\Sigma_1$ ($z=\varphi(x,y)$, 取下侧) 和侧面 $\Sigma_3$ (母线平行于 $z$ 轴，法向量的 $z$ 分量为 0，即 $\cos\gamma=0$) 组成。

计算关于 $R$ 的曲面积分：

在侧面 $\Sigma_3$ 上，由于 $\cos\gamma = 0$，故 $\iint_{\Sigma_3} R dxdy = 0$。
在顶面 $\Sigma_2$ (取上侧) 和底面 $\Sigma_1$ (取下侧) 上投影到 $xy$ 面：

\[ \iint_{\partial \Omega} R dxdy = \iint_{\Sigma_2} R dxdy + \iint_{\Sigma_1} R dxdy = \iint_{D_{xy}} R(x,y,\psi(x,y)) dxdy - \iint_{D_{xy}} R(x,y,\varphi(x,y)) dxdy \]

\[ = \iint_{D_{xy}} \left[ R(x,y,\psi(x,y)) - R(x,y,\varphi(x,y)) \right] dxdy \]

利用微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式），将括号内的差值写成积分：

\[ = \iint_{D_{xy}} \left[ \int_{\varphi(x,y)}^{\psi(x,y)} \frac{\partial R}{\partial z}(x,y,z) dz \right] dxdy = \iiint_\Omega \frac{\partial R}{\partial z} dxdydz \]

同理可证 $P$ 和 $Q$ 的对应关系，三者相加即得高斯公式。

3. 利用高斯公式求空间区域体积

由于 $V = \iiint_\Omega 1 dxdydz$，若令 $P=x, Q=y, R=z$，则 $\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = 3$。利用高斯公式可得体积的曲面积分表达式：

\[ V = \iiint_\Omega dxdydz = \frac{1}{3} \iint_{\partial \Omega} x dydz + y dzdx + z dxdy \]

十、高斯公式的应用：补面法与奇点处理

当所求积分的曲面不封闭时，不能直接使用高斯公式。常用的技巧是“补面法”：添加一个或多个简单的辅助曲面使其封闭，在整个闭曲面上应用高斯公式，最后减去辅助曲面上的积分。

计算实例：旋转曲面上的积分

计算 $I = \iint_\Sigma 4xz dydz - 2yz dzdx + (1-z^2) dxdy$，其中 $\Sigma$ 是曲线 $z=e^y \ (0 \le y \le a)$ 绕 $z$ 轴旋转一周生成的旋转曲面，方向取下侧。

解析：

分析曲面与补面： $\Sigma$ 的方程为 $z = e^{\sqrt{x^2+y^2}}$，其在 $xy$ 面的投影区域 $D$ 为 $x^2+y^2 \le a^2$。它是一个开口向上的“碗状”曲面。

为了构成封闭曲面，添加顶面 $\Sigma_1: z=e^a \ (x^2+y^2 \le a^2)$，方向取上侧。

此时，组合曲面 $\Sigma \cup \Sigma_1$ 构成了一个封闭区域 $\Omega$ 的边界 $\partial \Omega$，且整体取的是外侧。
应用高斯公式： 令 $P = 4xz, Q = -2yz, R = 1-z^2$。

计算散度：$\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = 4z - 2z - 2z = 0$。

由高斯公式，$\iint_{\Sigma \cup \Sigma_1} = \iiint_\Omega 0 dxdydz = 0$。

因此，原积分可转化为：$I = \iint_\Sigma = -\iint_{\Sigma_1}$。
计算辅助面上的积分： 在 $\Sigma_1$ 上，法向量为 $(0,0,1)$，故 $dydz = 0, dzdx = 0$。且 $z=e^a$ 为常数。

\[ I = -\iint_{\Sigma_1} (1-z^2) dxdy = -\iint_D (1-e^{2a}) dxdy = (e^{2a}-1) \cdot \sigma(D) = (e^{2a}-1)\pi a^2 \]

注（奇点处理）： 若在闭区域 $\Omega$ 内存在使得偏导数不连续或分母为零的“奇点”，则不能直接在整个 $\Omega$ 上用高斯公式。此时可以通过以奇点为中心，挖去一个足够小的球面，在剩余的区域（拥有内外两个边界）上应用高斯公式。

十一、斯托克斯公式 (Stokes' Theorem)

斯托克斯公式将空间有向曲面上的第二型曲面积分与其边界曲线上的第二型曲线积分联系起来，是格林公式在三维空间的直接推广。

1. 空间曲面与边界的定向（右手定则）

设 $\Sigma$ 是带有边界 $\partial \Sigma$ 的分片光滑有向曲面。$\Sigma$ 的法向量方向与边界曲线 $\partial \Sigma$ 的绕行方向必须满足右手定则：

将右手大拇指指向曲面 $\Sigma$ 的法向量 $\vec{n}$ 的方向，则其余四指的弯曲方向即为边界曲线 $\partial \Sigma$ 的正向。

（或者描述为：当观察者沿着边界 $\partial \Sigma$ 的正向行走，且身体方向与 $\vec{n}$ 一致时，曲面 $\Sigma$ 始终位于其左侧）。

2. 斯托克斯公式定理

设 $\Sigma$ 及其边界 $\partial \Sigma$ 满足上述条件，且向量场函数 $P, Q, R$ 在 $\Sigma$ 上具有连续的一阶偏导数，则有：

\[ \oint_{\partial \Sigma} P dx + Q dy + R dz = \iint_\Sigma \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}\right) dydz + \left(\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}\right) dzdx + \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dxdy \]

为了便于记忆，通常将其写成三阶行列式的形式（结合第一型曲面积分的法向量方向余弦 $\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma$）：

\[ \oint_{\partial \Sigma} P dx + Q dy + R dz = \iint_\Sigma \begin{vmatrix} \cos\alpha & \cos\beta & \cos\gamma \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} dS \]

(或将第一行换成 $dydz, dzdx, dxdy$ 对应展开)

3. 推导思路简述（由格林公式引入）

证明的核心思想是将空间曲线积分通过曲面的参数化（或显式方程 $z=z(x,y)$）投影到二维平面 $D_{xy}$ 上。

例如，单独考虑 $\oint_{\partial \Sigma} P dx$ 这一项。将其转化为参数平面上的线积分后，应用平面的格林公式（Green's Theorem），再利用复合函数的链式求导法则（如 $\frac{\partial}{\partial y}[P(x,y,z(x,y))] = \frac{\partial P}{\partial y} + \frac{\partial P}{\partial z} \cdot z_y$）进行整理，最终将平面二重积分还原为空间曲面积分 $\iint_\Sigma \left( \frac{\partial P}{\partial z} dzdx - \frac{\partial P}{\partial y} dxdy \right)$。同理处理 $Q$ 和 $R$ 项即可证得完整公式。

十二、斯托克斯公式的计算与投影技巧

斯托克斯公式将封闭曲线积分转化为曲面积分，在计算时，合理选择以该曲线为边界的曲面 $\Sigma$（通常选择最简单的平面或球面部分），并灵活利用对称性，是解题的关键。

例 1：利用平面截面简化计算

计算 $I = \oint_L (y^2-z^2)dx + (z^2-x^2)dy + (x^2-y^2)dz$。

其中 $L$ 为平面 $x+y+z=1$ 被三个坐标面所截成的三角形边界。若从 $x$ 轴正向看去，沿 $L$ 为逆时针方向。

解析：

确定曲面与方向： 选择该三角形平面区域作为曲面 $\Sigma$。根据右手定则，边界逆时针绕行对应曲面法向量指向上侧（指向第一卦限），即单位法向量为 $\vec{n} = \left(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)$。
应用斯托克斯公式：

\[ I = \iint_\Sigma \begin{vmatrix} \cos\alpha & \cos\beta & \cos\gamma \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ y^2-z^2 & z^2-x^2 & x^2-y^2 \end{vmatrix} dS \]

展开行列式并代入方向余弦 $\cos\alpha = \cos\beta = \cos\gamma = \frac{\sqrt{3}}{3}$：

\[ I = -2 \iint_\Sigma [(y+z)\cos\alpha + (x+z)\cos\beta + (x+y)\cos\gamma] dS \]

\[ I = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \iint_\Sigma (2x+2y+2z) dS \]
代入曲面方程： 在曲面 $\Sigma$ 上恒有 $x+y+z=1$，因此：

\[ I = -\frac{4\sqrt{3}}{3} \iint_\Sigma 1 dS = -\frac{4\sqrt{3}}{3} \sigma(\Sigma) \]

已知该等边三角形的边长为 $\sqrt{2}$，其面积 $\sigma(\Sigma) = \frac{\sqrt{3}}{2}$，最终计算可得数值结果。

例 2：利用曲面交线与对称性

计算 $I = \oint_L (y^2+z^2)dx + (z^2+x^2)dy + (x^2+y^2)dz$。

其中 $L$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=2Rx \ (z \ge 0)$ 与柱面 $x^2+y^2=2rx \ (R > r > 0)$ 的交线。从 $z$ 轴正向看去，方向为逆时针。

解析：

选择曲面： 取边界 $L$ 所围成的球面顶部作为 $\Sigma$，方程为 $F(x,y,z) = (x-R)^2+y^2+z^2-R^2=0$。根据方向，取上侧。

计算单位法向量：$\vec{n} = \frac{\nabla F}{|\nabla F|} = \left(\frac{x-R}{R}, \frac{y}{R}, \frac{z}{R}\right)$。
计算旋度并积分：

\[ I = 2 \iint_\Sigma [(y-z)\cos\alpha + (z-x)\cos\beta + (x-y)\cos\gamma] dS \]

将方向余弦代入并化简点乘项，交叉项抵消后得到：

\[ I = 2 \iint_\Sigma \frac{R(z-y)}{R} dS = 2 \iint_\Sigma (z-y) dS \]
利用对称性与投影： 由于曲面 $\Sigma$ 关于 $xz$ 平面对称，且被积函数 $y$ 是奇函数，故 $\iint_\Sigma y dS = 0$。

积分简化为 $2 \iint_\Sigma z dS$。

将第一型曲面积分投影至 $xy$ 平面：$dS = \frac{1}{\cos\gamma} dxdy = \frac{R}{z} dxdy$。

\[ I = 2 \iint_{D_{xy}} z \cdot \frac{R}{z} dxdy = 2R \iint_{D_{xy}} dxdy = 2R \cdot \sigma(D_{xy}) \]

投影区域 $D_{xy}$ 为圆 $x^2+y^2 \le 2rx$，面积为 $\pi r^2$。最终结果为 $2\pi r^2 R$。

十三、空间曲线积分与路径无关性

与平面中的格林公式类似，三维空间中的斯托克斯公式引出了空间曲线积分与路径无关的等价条件，这需要依赖“单连通区域”的几何性质。

1. 空间连通区域的概念

曲线单连通区域： 设区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$，如果 $\Omega$ 内的任一闭曲线都可以不经过 $\Omega$ 以外的点而连续收缩为 $\Omega$ 内的一点，则称 $\Omega$ 为曲线单连通区域。反之，称为多连通区域。
曲面单连通区域： 会于 $\Omega$ 内的任一封闭曲面，都可以不经过 $\Omega$ 外的点连续收缩为一点。

2. 曲线积分与路径无关的等价条件

设 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ 为空间曲线单连通区域。若函数 $P, Q, R$ 在 $\Omega$ 上连续，且具有一阶连续偏导数，则以下四个条件是完全等价的：

环路积分为零： 对于 $\Omega$ 内任一按段光滑的封闭曲线 $L$，有
```
$$
```
\oint_L Pdx + Qdy + Rdz = 0 $$
路径无关： 对于 $\Omega$ 内任一按段光滑的曲线 $L$，曲线积分
```
$$
```
\int_L Pdx + Qdy + Rdz $$
```
的值仅取决于起点和终点，与积分路径无关。
```
全微分存在： 表达式 $Pdx + Qdy + Rdz$ 是 $\Omega$ 内某一函数 $u$ 的全微分，即
```
$$
```
du = Pdx + Qdy + Rdz $$
无旋条件： 在 $\Omega$ 内处处成立交叉偏导数相等（即旋度为零）：

\[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}, \quad \frac{\partial Q}{\partial z} = \frac{\partial R}{\partial y}, \quad \frac{\partial R}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial z} \]

10_曲面积分

一、 空间曲面的参数化与面积积分初步

二、 旋转曲面的面积

三、 第一型曲面积分（对面积的曲面积分）

四、 典型例题与对称性应用

五、 空间曲面的侧与有向曲面

六、 第二型曲面积分（对坐标的曲面积分）

七、 第二型曲面积分的计算方法

八、 第二型曲面积分的计算与技巧

九、 高斯公式 (Gauss's Theorem) 与空间闭区域的积分

十、 高斯公式的应用：补面法与奇点处理

十一、 斯托克斯公式 (Stokes' Theorem)

十二、 斯托克斯公式的计算与投影技巧

十三、 空间曲线积分与路径无关性

一、空间曲面的参数化与面积积分初步

二、旋转曲面的面积

三、第一型曲面积分（对面积的曲面积分）

四、典型例题与对称性应用

五、空间曲面的侧与有向曲面

六、第二型曲面积分（对坐标的曲面积分）

七、第二型曲面积分的计算方法

八、第二型曲面积分的计算与技巧

九、高斯公式 (Gauss's Theorem) 与空间闭区域的积分

十、高斯公式的应用：补面法与奇点处理

十一、斯托克斯公式 (Stokes' Theorem)

十二、斯托克斯公式的计算与投影技巧

十三、空间曲线积分与路径无关性