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10_曲面积分

一、 第一型曲面积分（对面积）

1. 物理意义

求面密度为 \(\rho(x,y,z)\) 的弯曲薄片的总质量。当 \(\rho \equiv 1\) 时，积分值等于曲面面积。

2. 面积微元 \(dS\) 计算公式

  • 参数方程化法： \(\vec{r}(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))\)

    \[ dS = |\vec{r}_u \times \vec{r}_v| dudv \]

  • 显式方程化法（最常用）： \(z = z(x,y)\)

    \[ dS = \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} dxdy \]

3. 计算方法：化为二重积分

\[ \iint_\Sigma f(x,y,z) dS = \iint_D f(x,y,z(x,y)) \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} dxdy \]

4. 旋转曲面面积公式（特例）

平面曲线 \(y=f(x)\) 绕 \(x\) 轴旋转一周的面积：

\[ A = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1 + (f'(x))^2} dx \]

5. 核心解题技巧

  • 对称性消项： 若曲面关于 \(x=0\) 对称，且被积函数关于 \(x\) 为奇函数，则该项积分为 0。

  • 轮换对称性： 在球面 \(x^2+y^2+z^2=a^2\) 上，若积分区域对称，则 \(\iint_\Sigma x^2 dS = \frac{1}{3} \iint_\Sigma (x^2+y^2+z^2) dS = \frac{a^2}{3} \sigma(\Sigma)\)。

二、 空间曲面的侧与方向

  • 双侧曲面（可定向）： 存在连续变化的单位法向量场的曲面（如普通球面、平面）。

  • 单侧曲面（不可定向）： 无法定义统一法向的曲面（如莫比乌斯带）。

  • 有向曲面： 指定了“正侧”（如外侧、上侧）的双侧曲面。

三、 第二型曲面积分（对坐标）

1. 物理意义

计算流体穿过有向曲面 \(\Sigma\) 的通量。改变曲面方向，积分值变号：\(\iint_{-\Sigma} = - \iint_\Sigma\)。

2. 记法与投影关系

\[ \iint_\Sigma (\vec{F} \cdot \vec{n}) dS = \iint_\Sigma P dydz + Q dzdx + R dxdy \]

(注：\(dydz\) 对应 \(yz\) 面投影，附带法向方向余弦 \(\cos\alpha\)，依此类推)

3. 计算方法：化为二重积分（投影法）

将各个微元向对应坐标面投影（以向 \(xy\) 面投影求 \(R\) 为例）：

\[ \iint_\Sigma R(x,y,z) dxdy = \pm \iint_{D_{xy}} R(x,y,z(x,y)) dxdy \]
  • 符号规则： 若曲面 \(\Sigma\) 取上侧（法向量与 \(z\) 轴夹角为锐角），取 \(+\)；取下侧，取 \(-\)。

4. 综合化简公式（显式曲面 \(z=z(x,y)\)）

统一投影至 \(xy\) 平面：

\[ \iint_\Sigma P dydz + Q dzdx + R dxdy = \pm \iint_{D_{xy}} \left( -P z_x - Q z_y + R \right) dxdy \]

四、 高斯公式 (Gauss's Theorem)

将闭曲面上的第二型曲面积分转化为封闭区域内的三重积分。

1. 定理公式

设 \(\Omega\) 为空间闭区域，边界 \(\partial\Omega\) 取外侧：

\[ \iint_{\partial \Omega} P dydz + Q dzdx + R dxdy = \iiint_\Omega \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dxdydz \]

2. 高斯公式求体积

\[ V = \frac{1}{3} \iint_{\partial \Omega} x dydz + y dzdx + z dxdy \]

3. 核心解题技巧：补面法

当曲面 \(\Sigma\) 不封闭时，添加辅助曲面 \(\Sigma_1\) 构成闭区域 \(\Omega\)，整体应用高斯公式，再减去辅助面上的积分：\(\iint_\Sigma = \iiint_\Omega - \iint_{\Sigma_1}\)。注意辅助面需取与原曲面相协调的外侧方向。

五、 斯托克斯公式 (Stokes' Theorem)

将闭曲线上的第二型曲线积分转化为以该曲线为边界的曲面上的第二型曲面积分。

1. 定向协调（右手定则）

右手大拇指指向曲面正法向量，四指弯曲方向即为边界曲线的正向。

2. 定理公式（行列式记忆法）

\[ \oint_{\partial \Sigma} P dx + Q dy + R dz = \iint_\Sigma \begin{vmatrix} dydz & dzdx & dxdy \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} \]

展开后为：

\[ = \iint_\Sigma \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}\right) dydz + \left(\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}\right) dzdx + \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dxdy \]

六、 空间曲线积分与路径无关性

在曲线单连通区域 \(\Omega\)（即区域内任一闭曲线都能连续收缩为一点，无贯穿孔洞）内，以下四个命题等价：

  1. 沿区域内任意闭曲线积分 \(\oint_L Pdx + Qdy + Rdz = 0\)。

  2. 曲线积分 \(\int_L Pdx + Qdy + Rdz\) 与路径无关。

  3. 被积表达式是某函数 \(u(x,y,z)\) 的全微分。

  4. 无旋条件（旋度为 0） 处处成立：

    \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}, \quad \frac{\partial Q}{\partial z} = \frac{\partial R}{\partial y}, \quad \frac{\partial R}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial z} \]