07_隐函数定理及其应用

一、一元隐函数定理

隐函数概念：若方程 \(F(x,y) = 0\) 在局部存在唯一对应的 \(y = f(x)\) 使得 \(F(x, f(x)) \equiv 0\)，则称该方程确定了隐函数。
定理 1（存在唯一性与连续性）：
- 三大条件：1. 初始条件 \(F(x_0, y_0) = 0\)；2. \(F\) 及 \(F_y\) 在邻域内连续；3. 偏导数非零 \(F_y(x_0, y_0) \neq 0\)。
- 结论：在局部存在唯一的隐函数 \(y=f(x)\)，且该隐函数连续。
定理 2（可微性与求导公式）：
- 附加条件：函数 \(F\) 存在连续的偏导数 \(F_x(x,y)\)。
- 结论：隐函数连续可导，一阶导数公式为 \(f'(x) = -\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}\)。
高阶导数求法（求 \(y''\)）：
- 方法一（公式法）：直接对 \(-\frac{F_x}{F_y}\) 关于 \(x\) 求导，注意 \(y\) 也是 \(x\) 的函数，必须使用复合函数求导法则。
- 方法二（隐式求导法）：对恒等式 \(F_x + F_y \cdot y' = 0\) 两边再次关于 \(x\) 求导，解出 \(y''\)。

定理内容：将一元推广至 \(n\) 元方程 \(F(x_1, \dots, x_n, y) = 0\)。
条件：初始点处 \(F=0\)、所有一阶偏导数连续，且对因变量的偏导数 \(F_y \neq 0\)。
结论与公式：局部存在唯一连续可微的隐函数 \(y = f(x_1, \dots, x_n)\)。其偏导数公式为：\(f_{x_i} = -\frac{F_{x_i}}{F_y}\)。

雅可比行列式定义：\(m\) 个函数 \(F_1, \dots, F_m\) 对 \(m\) 个变量 \(y_1, \dots, y_m\) 的偏导数构成的行列式，记作 \(J = \frac{\partial(F_1, \dots, F_m)}{\partial(y_1, \dots, y_m)}\)。
存在与可微条件：方程组初始值为0，各函数的所有偏导数连续，且关于待求因变量的雅可比行列式在初始点不为零（\(J \neq 0\)）。
结论：局部唯一确定 \(m\) 个连续可微的隐函数组 \(y_k = f_k(x_1, \dots, x_n)\)。
隐函数组偏导数求解（矩阵法 / 克莱姆法则）：
- 对恒等式组两边同时对 \(x_j\) 求导，得到线性方程组。
- 矩阵形式：\(J_y(F) \cdot J_x(y) = -J_x(F)\)。
- 两方程系统（求 \(u_x, v_x\)）：利用克莱姆法则，\(u_x = -\frac{\frac{\partial(F, G)}{\partial(x, v)}}{\frac{\partial(F, G)}{\partial(u, v)}}\)， \(v_x = -\frac{\frac{\partial(F, G)}{\partial(u, x)}}{\frac{\partial(F, G)}{\partial(u, v)}}\)。

适用场景：已知映射 \(u = \varphi(x,y), v = \psi(x,y)\)，求逆映射 \(x=x(u,v), y=y(u,v)\)。
存在条件：映射具有连续一阶偏导数，且雅可比行列式 \(J = \frac{\partial(\varphi, \psi)}{\partial(x, y)} \neq 0\)。
逆映射偏导数公式：\(x_u = \frac{\psi_y}{J}, y_u = -\frac{\psi_x}{J}, x_v = -\frac{\varphi_y}{J}, y_v = \frac{\varphi_x}{J}\)。

1. 曲线的切线与法平面/法线

平面曲线 \(F(x,y)=0\)：法向量为 \(\vec{n} = (F_x, F_y)\)。
- 切线：\(F_x(P_0)(x - x_0) + F_y(P_0)(y - y_0) = 0\)。
- 法线：\(\frac{x-x_0}{F_x(P_0)} = \frac{y-y_0}{F_y(P_0)}\)。
空间曲线（参数方程 \(x(t), y(t), z(t)\)）：切向量为 \(\vec{T} = (x', y', z')\)。
空间曲线（两曲面交线 \(F=0, G=0\)）：切向量是两曲面法向量的叉乘，即 \(\vec{l} = \vec{n}_F \times \vec{n}_G = \left( \frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}, \frac{\partial(F,G)}{\partial(z,x)}, \frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)} \right)\)。
- 切线方程：\(\frac{x-x_0}{\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}} = \frac{y-y_0}{\frac{\partial(F,G)}{\partial(z,x)}} = \frac{z-z_0}{\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)}}\)。
- 法平面方程：点法式展开 \(\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}(P_0)(x-x_0) + \frac{\partial(F,G)}{\partial(z,x)}(P_0)(y-y_0) + \frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)}(P_0)(z-z_0) = 0\)。

2. 曲面的切平面与法线

隐式曲面 \(F(x,y,z)=0\)：法向量为梯度 \(\vec{n} = (F_x, F_y, F_z)\)。
- 切平面：\(F_x(P_0)(x - x_0) + F_y(P_0)(y - y_0) + F_z(P_0)(z - z_0) = 0\)。
- 法线：\(\frac{x - x_0}{F_x(P_0)} = \frac{y - y_0}{F_y(P_0)} = \frac{z - z_0}{F_z(P_0)}\)。
显式曲面 \(z=f(x,y)\)：法向量转化为隐式得 \(\vec{n} = (f_x, f_y, -1)\)。
参数曲面 \(x(u,v), y(u,v), z(u,v)\)：法向量为两条参数曲线切向量的叉积 \(\vec{n} = \vec{T}_u \times \vec{T}_v\)。

问题形式：在 \(m\) 个约束条件 \(\varphi_k(x_1, \dots, x_n) = 0\) 之下求目标函数 \(f(x_1, \dots, x_n)\) 的极值。
拉格朗日函数构造：\(L = f + \sum_{k=1}^m \lambda_k \varphi_k\)（\(\lambda_k\) 为乘子）。
必要条件（求驻点）：前提是约束条件的雅可比矩阵满秩。联立方程组求驻点：
- 各变量偏导为零：\(L_{x_i} = 0 \quad (1 \le i \le n)\)。
- 各乘子偏导为零（即原约束）：\(\varphi_j = 0 \quad (1 \le j \le m)\)。
充分条件判定：通过考察拉格朗日函数 \(L\) 关于自变量构成的海森矩阵（Hessian Matrix）的正负定性，来判定是极大值还是极小值。