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§2.5 随机变量函数的分布（Functions of a Random Variable）

等价事件法（Equivalent Events）

已知 \(X\) 的分布与 \(Y=g(X)\)，求 \(Y\) 的分布：

  1. 根据 \(X\) 的取值区域，确定 \(Y\) 的可能取值。
  2. 将关于 \(Y\) 的事件改写为关于 \(X\) 的等价事件。
  3. 离散型按原像求和；连续情形先求 CDF，再求密度。

变换可合并取值、改变类型：连续 \(X\) 取整可变为离散型，截断等待可变为混合型。

离散型：合并相同输出

\[ P(Y=y)=\sum_{\{x:g(x)=y\}}P(X=x). \]

例如 \(P(X=-1)=0.2,P(X=0)=0.5,P(X=1)=0.3\)，\(Y=X^2\)：

\[ P(Y=0)=0.5,\qquad P(Y=1)=P(X=-1)+P(X=1)=0.5. \]

作业｜习题二 B32：由投球次数映射为得分

题目。每次独立投球，命中率 0.7；最多投五次，累计命中两次后提前结束。投球次数为 \(X\)，\(X=2\) 时得 \(Y=10\) 分，\(X=3\) 时得 8 分，\(X\ge4\) 时得 2 分。求 \(Y\) 的分布。

解析。令 \(p=0.7\)。\(X=2\) 要求前两次均中；\(X=3\) 要求前两次恰中一次且第三次命中：

\[ P(Y=10)=p^2=0.49,\qquad P(Y=8)=\binom21p(1-p)p=0.294. \]

其余均得 2 分：

\(Y\) \(2\) \(8\) \(10\)
概率 \(0.216\) \(0.294\) \(0.49\)

最多五次的限制不影响前两项，第三项取补即可。

分布函数法（CDF Method）

任意变换均可从 CDF 入手：

\[ F_Y(y)=P(g(X)\le y) \]

例如 \(f_X(x)=x/8\)，\(0<x<4\)，\(Y=X^2\)。先有 \(0<Y<16\)（概率为 1）；对 \(0<y<16\)，

\[ F_Y(y)=P(0<X\le\sqrt y) =\int_0^{\sqrt y}\frac x8\,dx=\frac y{16}. \]

故 \(Y\sim U(0,16)\)。范围以外要分别补上 CDF 的 0、1，以及 PDF 的 0。

单调变换（Monotone / One-to-One Transformation）

若 \(g\) 在 \(X\) 的支撑区间连续可微、\(g'\) 恒正或恒负，记反函数（inverse function）\(h=g^{-1}\)：

\[ f_Y(y)=f_X(h(y))\,|h'(y)| \]

有效范围为原支撑经 \(g\) 映出的区间，其他处为零。

  • \(g\) 递增时，\(F_Y(y)=F_X(h(y))\)。
  • \(g\) 递减时，连续型下 \(F_Y(y)=1-F_X(h(y))\)。
  • 递减变换也必须取导数绝对值；只需在支撑区间单调。

其中 \(\lvert h'(y)\rvert\) 是一维的尺度修正因子（Jacobian factor）。线性变换 \(Y=aX+b\)，\(a\ne0\)，给出

\[ f_Y(y)=\frac1{|a|}f_X\left(\frac{y-b}{a}\right). \]

特别地，

\[ X\sim N(\mu,\sigma^2) \implies aX+b\sim N(a\mu+b,a^2\sigma^2). \]

多对一变换（Many-to-One Transformation）

若 \(X\) 有密度，\(Y=|X|\)，则对 \(y>0\)，

\[ F_Y(y)=F_X(y)-F_X(-y),\qquad f_Y(y)=f_X(y)+f_X(-y). \]

对于 \(Z=X^2\)，\(z>0\) 时

\[ F_Z(z)=F_X(\sqrt z)-F_X(-\sqrt z),\qquad f_Z(z)=\frac{f_X(\sqrt z)+f_X(-\sqrt z)}{2\sqrt z}. \]

仅适用于有密度的 \(X\)；若有点概率，CDF 须按端点开闭使用左极限。

对分段单调、每个有效反解均满足 \(g'(x)\ne0\) 的变换，还可以逐分支相加：

\[ f_Y(y)=\sum_{\{x:g(x)=y\}}\frac{f_X(x)}{|g'(x)|}. \]

只计原支撑内的反解；反解数改变处需分段。

非对称支撑在绝对值变换下的两个分支，以及余弦变换有效反解数的变化

自绘。只计原支撑内的有效反解。来源与许可。

作业｜习题二 B33：非对称支撑下的绝对值

题目。\(f_X(x)=c(4-x^2)\)，\(-1<x<2\)，其余为零。求 \(c\)；\(Y=3X\) 的密度；\(Z=|X|\) 的 CDF 和密度。

解析。先归一化：

\[ 1=c\int_{-1}^2(4-x^2)\,dx=9c \implies c=\frac19. \]

线性变换给出

\[ f_Y(y)= \begin{cases} \dfrac{36-y^2}{243},&-3<y<6,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases} \]

\(|X|\) 的密度在 \((0,2)\) 非零：\(0<z<1\) 有 \(z,-z\) 两个有效反解；\(1<z<2\) 只有 \(z\)。故

\[ f_Z(z)= \begin{cases} (8-2z^2)/9,&0<z<1,\\ (4-z^2)/9,&1<z<2,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases} \]

由 \(P(|X|\le z)=P(-z\le X\le z)\)，得到

\[ F_Z(z)= \begin{cases} 0,&z<0,\\ (24z-2z^3)/27,&0\le z<1,\\ (12z-z^3+11)/27,&1\le z<2,\\ 1,&z\ge2. \end{cases} \]

在 \(z=1\) 两段均为 \(22/27\)，可检验 CDF 连续；在 2 处累计为 1。

作业｜习题二 B36：余弦变换

题目。\(X\sim U(0,3\pi/2)\)，\(Y=\cos X\)，求 CDF。

解析。\(Y\in[-1,1]\)。令 \(\alpha=\arccos y\)：

  • \(-1<y<0\) 时，\(\alpha\in(\pi/2,\pi)\)，等价事件为 \(\alpha\le X\le2\pi-\alpha\)。
  • \(0\le y<1\) 时，右侧反解已超出原始范围，事件变为 \(\alpha\le X<3\pi/2\)。

按长度比例，

\[ F_Y(y)= \begin{cases} 0,&y\le-1,\\ \dfrac43-\dfrac4{3\pi}\arccos y,&-1<y<0,\\ 1-\dfrac2{3\pi}\arccos y,&0\le y<1,\\ 1,&y\ge1. \end{cases} \]

\(F_Y(0)=2/3\)，对应 \(\cos x\le0\) 的输入长度 \(\pi\)；零点两侧反解数不同，密度也不同。

作业｜习题二 B39：指数与对数变换

题目。\(X\sim N(0,1)\)，求 \(Y=e^X\) 和 \(Z=\ln|X|\) 的密度。

解析。令 \(\varphi,\Phi\) 为标准正态密度及 CDF。\(y>0\) 时

\[ F_Y(y)=\Phi(\ln y) \implies f_Y(y)=\frac{\varphi(\ln y)}y =\frac1{\sqrt{2\pi}y}e^{-(\ln y)^2/2}. \]

\(y\le0\) 时密度为零；这称为对数正态分布（lognormal distribution）。

对任意 \(z\in\mathbb R\)，

\[ F_Z(z)=P(-e^z\le X\le e^z)=2\Phi(e^z)-1, \]
\[ f_Z(z)=2e^z\varphi(e^z) =\sqrt{\frac2\pi}\,e^z e^{-e^{2z}/2}. \]

\(P(X=0)=0\)，在该点任意补定义 \(Z\) 不影响分布。

例：标准正态的平方

若 \(X\sim N(0,1)\)，则

\[ f_{X^2}(z)= \begin{cases} \dfrac1{\sqrt{2\pi z}}e^{-z/2},&z>0,\\ 0,&z\le0. \end{cases} \]

即自由度为 1 的卡方分布（chi-square distribution）。

概率积分变换（Probability Integral Transform）

若 \(X\) 的 CDF \(F_X\) 连续，则

\[ F_X(X)\sim U(0,1). \]

当 \(F_X\) 在有效范围上严格递增时，可直接写

\[ P(F_X(X)\le u)=P(X\le F_X^{-1}(u))=u,\quad0<u<1. \]

连续 CDF 有平台时结论仍成立，证明改用广义分位数。

例如 \(X\sim\operatorname{Exp}(\lambda)\)，

\[ Y=1-e^{-\lambda X} \implies P(Y\le u) =P\left(X\le-\frac{\ln(1-u)}{\lambda}\right)=u. \]

离散型的 CDF 有跳跃，\(F_X(X)\) 一般不服从连续均匀分布。

参考资料

主课件第 86–108 页；课堂识别 lecture-record-23；教材习题二 B32、B33、B36、B39。