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§3.2 联合分布函数（Joint Distribution Function）

定义与几何含义

任意二维随机变量 \((X,Y)\) 的联合分布函数（joint cumulative distribution function, joint CDF）为

\[ F(x,y)=P(X\le x,Y\le y). \]

即随机点落入右上角为 \((x,y)\) 的左下矩形（lower-left rectangle） \((-\infty,x]\times(-\infty,y]\) 的概率。

\(F(x,y)=1\) 仅表示该左下矩形含全部概率。\(F\) 有两个自变量；固定一坐标的切片未必是 CDF，其右端极限可能不足 1。

基本性质：特别注意矩形增量

  1. \(0\le F(x,y)\le1\)，分别关于每个坐标单调不减。
  2. \(F(-\infty,y)=F(x,-\infty)=0\)，\(F(+\infty,+\infty)=1\)。
  3. 分别关于每个坐标右连续。
  4. 对 \(x_1<x_2,y_1<y_2\)，矩形增量（rectangle increment）非负：
\[ \begin{aligned} &F(x_2,y_2)-F(x_1,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)\\ &\qquad=P(x_1<X\le x_2,\ y_1<Y\le y_2)\ge0. \end{aligned} \]

矩形增量非负不能由分别单调代替；右闭矩形概率用上述“四角公式”。

联合 PMF 与联合 CDF 的互推

离散型时，

\[ F(x,y)=\sum_{x_i\le x,\ y_j\le y}p_{ij}. \]

对阈值左下方各格求和；反向取双向跳跃量：

\[ p_{ij}=F(x_i,y_j)-F(x_i-,y_j) -F(x_i,y_j-)+F(x_i-,y_j-). \]

例如支持点是 \((1,2),(1,3),(2,2),(2,3)\)，相应概率为 \(1/2,1/3,1/12,1/12\)，则

\[ F(x,y)= \begin{cases} 0,&x<1\ \text{或}\ y<2,\\ 1/2,&1\le x<2,\ 2\le y<3,\\ 5/6,&1\le x<2,\ y\ge3,\\ 7/12,&x\ge2,\ 2\le y<3,\\ 1,&x\ge2,\ y\ge3. \end{cases} \]

分段区域须不重不漏地覆盖全平面。

边际分布函数（Marginal CDF）

\[ F_X(x)=\lim_{y\to+\infty}F(x,y)=F(x,+\infty), \]
\[ F_Y(y)=\lim_{x\to+\infty}F(x,y)=F(+\infty,y). \]

求边际令另一坐标趋于 \(+\infty\)，不是取 0。

条件分布函数（Conditional CDF）

若 \(P(Y=y)>0\)，则

\[ F_{X\mid Y}(x\mid y)=P(X\le x\mid Y=y) =\frac{P(X\le x,Y=y)}{P(Y=y)}. \]

固定给定值 \(y\) 后，它是关于 \(x\) 的一元 CDF。

作业｜习题三 A12：边际 CDF 的跳跃与条件 CDF

题目。已知

\[ F_X(x)= \begin{cases} 0,&x<1,\\ 0.3,&1\le x<2,\\ 1,&x\ge2, \end{cases} \qquad F_Y(y)= \begin{cases} 0,&y<0,\\ 0.4,&0\le y<1,\\ 1,&y\ge1. \end{cases} \]

且 \(P(X=1,Y=0)=0.1\)。求联合 PMF 及给定 \(Y=0\) 时 \(X\) 的 CDF。

解析。由跳跃量得 \(P_X(1)=0.3,P_X(2)=0.7\)，\(P_Y(0)=0.4,P_Y(1)=0.6\)。结合已知一格，用行列和补全：

\(X\backslash Y\) \(0\) \(1\) \(P_X\)
\(1\) \(0.1\) \(0.2\) \(0.3\)
\(2\) \(0.3\) \(0.4\) \(0.7\)
\(P_Y\) \(0.4\) \(0.6\) \(1\)

指定 \(Y=0\) 后重新归一化：

\[ P(X=1\mid Y=0)=\frac14,\qquad P(X=2\mid Y=0)=\frac34, \]
\[ F_{X\mid Y}(x\mid0)= \begin{cases} 0,&x<1,\\ 1/4,&1\le x<2,\\ 1,&x\ge2. \end{cases} \]

不能直接将边际相乘：\(0.1\ne0.3(0.4)\)，本题 \(X,Y\) 不独立。

连续条件取值：不能直接除以零概率

\(Y\) 连续时 \(P(Y=y)=0\)，改用邻域条件概率的极限：

\[ F_{X\mid Y}(x\mid y) =\lim_{\varepsilon\downarrow0} \frac{P(X\le x,\ y<Y\le y+\varepsilon)} {P(y<Y\le y+\varepsilon)}, \]

要求邻域概率为正且极限存在；适当正则条件下可用对称邻域。分母是归一化项，不能省略。

若存在连续联合密度且 \(f_Y(y)>0\)，该极限导向

\[ F_{X\mid Y}(x\mid y) =\int_{-\infty}^x\frac{f(u,y)}{f_Y(y)}\,du. \]

条件分布仅在边际分布几乎处处意义下确定；光滑密度题采用密度比版本。

混合分布的联合 CDF

CDF 能同时记录点质量和连续质量；若只取混合分布的二阶导数，通常会漏掉点质量。

作业｜习题三 B3：两个原子与一个均匀区域

题目。随机点只能落在 \((0,0)\)、\((1,1)\) 和开正方形 \(D=(0,1)^2\)。两点的概率均为 0.1；\(D\) 内小区域的概率与面积成正比。求联合 CDF。

解析。正方形面积为 1、总概率 0.8，连续密度为 0.8；再加两处点质量：

\[ F(x,y)= \begin{cases} 0,&x<0\ \text{或}\ y<0,\\ 0.1+0.8xy,&0\le x<1,\ 0\le y<1,\\ 0.1+0.8y,&x\ge1,\ 0\le y<1,\\ 0.1+0.8x,&0\le x<1,\ y\ge1,\\ 1,&x\ge1,\ y\ge1. \end{cases} \]

例如 \(F(0,0)=0.1\)，\(F(1,1)=1\)。也可统一写为

\[ F(x,y)=0.1\mathbf1_{\{x\ge0,y\ge0\}} +0.8c(x)c(y)+0.1\mathbf1_{\{x\ge1,y\ge1\}}, \]

\(c(t)=\min(1,\max(0,t))\)；指示函数（indicator function）在条件成立时为 1，否则为 0。

参考资料

主课件第 31–37 页；课堂识别 lecture-record-24（分母勘误：33:58–37:32）；教材习题三 A12、B3。