09_复向量空间上的算子

1. 多项式的最大公因式引理

引理：

设 $f_1(x), f_2(x), \dots, f_m(x) \in \mathscr{P}(\mathbb{F}) = \mathbb{F}[x]$，若 $d(x)$ 是 $f_1(x), \dots, f_m(x)$ 的最大公因式，则存在多项式 $u_1(x), \dots, u_m(x) \in \mathbb{F}[x]$，使得：

\[ u_1(x)f_1(x) + u_2(x)f_2(x) + \dots + u_m(x)f_m(x) = d(x) \]

证明过程：

若所有 $f_i(x) \equiv 0$，则结论显然成立。
假设至少有一个 $f_i(x) \neq 0$。构造集合：
```
$$
```
A = { g_1(x)f_1(x) + g_2(x)f_2(x) + \dots + g_m(x)f_m(x) \mid g_i(x) \in \mathbb{F}[x] } $$
```
显然 $A \neq \{0\}$。
```

设 $d(x) \in A$ 是 $A$ 中次数最小的首一多项式。对任意 $f_i(x)$，由带余除法：

$$

f_i(x) = d(x)q_i(x) + r_i(x) $$

其中 $r_i(x) = 0$ 或 $\partial(r_i(x)) < \partial(d(x))$。

由于 $r_i(x) = f_i(x) - d(x)q_i(x)$，且 $f_i(x) \in A, d(x) \in A$，故 $r_i(x) \in A$。

如果 $r_i(x) \neq 0$，则其次数严格小于 $d(x)$，这与 $d(x)$ 是 $A$ 中次数最小的多项式矛盾！

因此必有 $r_i(x) = 0$，即 $d(x) \mid f_i(x)$。这说明 $d(x)$ 是一个公因式。

设 $c(x)$ 是任意一个公因式，即对所有 $i$ 有 $c(x) \mid f_i(x)$。

由于 $d(x) = \sum u_i(x)f_i(x)$，必然有 $c(x) \mid d(x)$。

因此，$d(x)$ 就是最大公因式。

2. 算子的零空间（Null Space）性质

定理：零空间的升链性质

对于线性算子 $T \in \mathscr{L}(V)$，其幂次的零空间构成一个升链：

\[ \{0\} \subseteq \text{null } T \subseteq \text{null } T^2 \subseteq \dots \subseteq \text{null } T^k \subseteq \text{null } T^{k+1} \dots \]

证明：若 $v \in \text{null } T^n$，则 $T^n v = 0$。对于任意 $m > n$，$T^m v = T^{m-n}(T^n v) = T^{m-n}(0) = 0$，故 $v \in \text{null } T^m$。

推论/引理：零空间的稳定点

若存在 $m$ 使得 $\text{null } T^m = \text{null } T^{m+1}$，则对任意 $k \ge 0$，都有 $\text{null } T^m = \text{null } T^{m+k}$。

证明（数学归纳法）：

对 $k$ 进行归纳。$k=1$ 时即为条件假设。

假设 $m=k$ 时成立，考察 $m=k+1$ 的情况：

已知 $\text{null } T^{n+k} = \text{null } T^n$。任取 $v \in \text{null } T^{n+k+1}$，则：

\[ 0 = T^{n+k+1}v = T^{n+1}(T^k v) \]

这意味着 $T^k v \in \text{null } T^{n+1}$。由于 $\text{null } T^{n+1} = \text{null } T^n$，故 $T^k v \in \text{null } T^n$。

因此 $T^n(T^k v) = T^{n+k} v = 0$，即 $v \in \text{null } T^{n+k} = \text{null } T^n$。得证。

定理：基于零空间稳定的直和分解

若存在 $k$ 使得 $\text{null } T^k = \text{null } T^{k+1}$，则有空间直和分解：

\[ V = \text{null } T^k \oplus \text{range } T^k \]

证明：

要证明直和，需证明 $\text{null } T^k \cap \text{range } T^k = \{0\}$，并利用维数公式。

任取 $v \in \text{range } T^k \cap \text{null } T^k$，由于 $v \in \text{range } T^k$，存在 $w \in V$ 使得 $v = T^k w$。

由于 $v \in \text{null } T^k$，有 $T^k v = T^{2k} w = 0$。

这意味着 $w \in \text{null } T^{2k}$。根据前面的引理，$\text{null } T^{2k} = \text{null } T^k$，故 $w \in \text{null } T^k$。

因此 $T^k w = 0$，即 $v = 0$。交集仅为 $\{0\}$，直和成立。

3. 幂零算子（Nilpotent Operator）

定义：设 $N \in \mathscr{L}(V)$，如果存在正整数 $n$ 使得 $N^n = 0$，则称 $N$ 为幂零算子。

推论：若 $N \in \mathscr{L}(V)$ 是幂零算子，且 $\dim V = k$，则必有 $N^k = 0$。

证明思路：

考察升链 $0 \subseteq \text{null } N \subseteq \text{null } N^2 \subseteq \dots$

由于算子是幂零的，最终零空间会充满整个 $V$。在稳定之前，每一次包含关系必须是严格的，即每次维数至少增加 1。因为总维数为 $k = \dim V$，所以升链最多经过 $k$ 步就会稳定在 $V$。即 $\text{null } N^k = V$，从而 $N^k = 0$。

定理：若 $N \in \mathscr{L}(V)$ 是幂零算子（$N^k=0$），则其所有特征值均为 0。

证明：设 $\lambda$ 是 $N$ 的特征值，对应特征向量 $v \neq 0$。

\[ N v = \lambda v \Rightarrow N^k v = \lambda^k v \]

因为 $N^k = 0$，所以 $\lambda^k v = 0$。由于 $v \neq 0$，必然有 $\lambda^k = 0 \Rightarrow \lambda = 0$。

4. 极小多项式与广义特征空间（Generalized Eigenspace）

极小多项式与特征值的关系

设 $T \in \mathscr{L}(V)$，其极小多项式为 $p(x)$。

性质：$\lambda_1, \dots, \lambda_s$ 是 $T$ 的所有特征值，当且仅当它们是极小多项式 $p(x)$ 的根。

证明选段：

若 $\lambda_1$ 是极小多项式的根，则 $p(x) = (x-\lambda_1)q(x)$，且 $q(T) \neq 0$。

存在 $v \in V$ 使 $q(T)v \neq 0$。$(T-\lambda_1 I)q(T)v = p(T)v = 0$。因此 $\lambda_1$ 是特征值。
反证法：假设 $\lambda_{s+1}$ 也是特征值（对应特征向量 $v \neq 0$），且 $\lambda_{s+1} \neq \lambda_i$。

则多项式 $(x-\lambda_{s+1})$ 与 $p(x)$ 互素。存在 $u(x), v(x)$ 使得：

\[ u(x)(x-\lambda_{s+1}) + v(x)p(x) = 1 \]

两边代入算子 $T$ 并作用于 $v$：

\[ v = I(v) = u(T)(T-\lambda_{s+1}I)v + v(T)p(T)v = 0 + 0 = 0 \]

产生矛盾（特征向量非零）。

广义特征空间的定义

$G(\lambda, T) = \{ v \in V \mid \text{存在 } k \text{ 使得 } (T-\lambda I)^k v = 0 \}$

空间直和分解定理（准素分解）

设算子 $T$ 的极小多项式可分解为 $p(x) = (x-\lambda_1)^{n_1}(x-\lambda_2)^{n_2} \dots (x-\lambda_s)^{n_s}$。

令 $U_i = \text{null}(T-\lambda_i I)^{n_i} = G(\lambda_i, T)$，则全空间可以分解为：

\[ V = U_1 \oplus U_2 \oplus \dots \oplus U_s \]

分解定理的证明核心：

令 $p_i(x) = \frac{p(x)}{(x-\lambda_i)^{n_i}}$。

显然 $p_1(x), p_2(x), \dots, p_s(x)$ 最大公因式为 1（互素）。根据最大公因式引理，存在 $u_i(x) \in \mathbb{F}[x]$ 使得：

\[ u_1(x)p_1(x) + \dots + u_s(x)p_s(x) = 1 \]

对任意 $v \in V$：

\[ v = I(v) = u_1(T)p_1(T)v + \dots + u_s(T)p_s(T)v \]

令 $v_i = u_i(T)p_i(T)v$。

考察 $(T-\lambda_i I)^{n_i} v_i = u_i(T) \cdot (T-\lambda_i I)^{n_i} p_i(T) v = u_i(T) p(T) v = 0$。

因此 $v_i \in \text{null}(T-\lambda_i I)^{n_i} = U_i$，这就证明了 $V = U_1 + U_2 + \dots + U_s$。

（直和的唯一性同样可通过多项式作用的方式证得）。

不变子空间 $U_i$ 的性质：

对于分解出的子空间 $U_i = \text{null}(T-\lambda_i I)^{n_i}$：

$U_i$ 是 $T$-不变子空间。对于任意 $v \in U_i$，$(T-\lambda_i I)^{n_i}(Tv) = T(T-\lambda_i I)^{n_i}v = T(0) = 0$，故 $Tv \in U_i$。
限制在 $U_i$ 上的算子 $T|_{U_i}$，其映射 $T - \lambda_i I$ 在 $U_i$ 上是幂零的，即 $((T-\lambda_i I)|_{U_i})^{n_i} = 0$。因此 $n_i \le \dim U_i$。

5. 广义特征空间与不变子空间的进一步性质

定理：广义特征向量的线性无关性

对应于不同特征值的广义特征向量是线性无关的。

表述：若 $\lambda_1, \dots, \lambda_s$ 是互不相同的特征值，对应的广义特征向量为 $v_1, \dots, v_s \in G(\lambda_i, T)$，则 $v_1, \dots, v_s$ 线性无关。

定理：多项式算子的不变性

对于任意多项式 $p(x)$，子空间 $\text{range } p(T)$ 和 $\text{null } p(T)$ 都是 $T$-不变子空间。

证明：

对于像空间：任取 $v \in \text{range } p(T)$，即存在 $w \in V$ 使得 $v = p(T)w$。

考察 $Tv$：$Tv = T(p(T)w) = p(T)(Tw)$。因为 $Tw \in V$，所以 $p(T)(Tw) \in \text{range } p(T)$。因此 $\text{range } p(T)$ 是 $T$-不变的。

对于零空间：任取 $v \in \text{null } p(T)$，即 $p(T)v = 0$。

考察 $Tv$：$p(T)(Tv) = T(p(T)v) = T(0) = 0$。因此 $Tv \in \text{null } p(T)$，$\text{null } p(T)$ 也是 $T$-不变的。

定理：广义特征空间分解结构

广义特征子空间能够完美补齐所有的理论维度。

设空间维数有限（$\dim V < \infty$），$T \in \mathscr{L}(V)$，$\lambda_1, \dots, \lambda_m$ 是 $T$ 的所有互不相同的特征值，则有如下性质：

$V = G(\lambda_1, T) \oplus G(\lambda_2, T) \oplus \dots \oplus G(\lambda_m, T)$。
每个广义特征空间 $G(\lambda_i, T)$ 都是 $T$-不变的。
限制算子 $(T - \lambda_i I)|_{G(\lambda_i, T)}$ 在该子空间上是幂零算子。

定理：广义特征空间的维数与代数重数

若 $V$ 具有由 $T$ 的广义特征向量组成的基（在复数域上恒成立），则广义特征空间的维数等于该特征值的代数重数。

\[ \dim G(\lambda_i, T) = \dim \text{null}(T - \lambda_i I)^{\dim V} = \text{特征值 } \lambda_i \text{ 的代数重数} \]

在复数域（$\mathbb{C}$）上，任何多项式都可以完全分解。因此，算子 $T$ 的所有特征值的代数重数之和，必然严格等于全空间的维数 $\dim V$。

既然这个定理保证了每个广义特征子空间的维数 = 它自己的代数重数，那么当把所有特征值对应的广义特征子空间加在一起时，它们的维数总和刚好就是全空间的维数。

这意味着：无论算子 $T$ 的性质有多么糟糕（哪怕完全无法对角化），它的广义特征子空间也能严丝合缝地把整个大空间拆解成若干个互不重叠的独立区块（直和）。这是推导矩阵“若尔当标准型”（Jordan Canonical Form）的最底层基石，保证了任何复矩阵都必定存在若尔当标准型。

6. 算子的上三角化与分块对角矩阵表示

算子在广义特征空间上的矩阵表示

对于算子 $T$ 限制在 $G(\lambda_i, T)$ 上，可以拆分为数量乘法与幂零算子之和：

\[ T|_{G(\lambda_i, T)} = \lambda_i I|_{G(\lambda_i, T)} + (T - \lambda_i I)|_{G(\lambda_i, T)} \]

其中 $(T - \lambda_i I)$ 在 $G(\lambda_i, T)$ 上是幂零的（记为 $N_i$）。

因此，在适当的基下，该限制算子可以表示为一个上三角矩阵，且其主对角线上的元素全为特征值 $\lambda_i$：

\[ \begin{pmatrix} \lambda_i & * & * \\ 0 & \ddots & * \\ 0 & 0 & \lambda_i \end{pmatrix} \]

定理：空间总维数等于各广义特征空间维数之和：

\[ \dim V = \sum_{i=1}^m \dim G(\lambda_i, T) \]

定理：分块对角矩阵表示

由于 $V = G(\lambda_1, T) \oplus \dots \oplus G(\lambda_m, T)$，我们可以将各个 $G(\lambda_i, T)$ 的基合并构成 $V$ 的一组基。在这组基下，算子 $T$ 的矩阵表示为分块对角矩阵 (Block Diagonal Matrix)：

\[ A = \begin{pmatrix} A_1 & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & A_m \end{pmatrix} \]

其中每个对角块 $A_i$ 对应于不变子空间 $G(\lambda_i, T)$ 上的作用。

7. 幂零算子的结构与 Jordan 标准型初步

要理解 Jordan 标准型，核心在于透彻理解幂零算子（Nilpotent Operator）的局部代数结构。我们将证明过程拆解为四个严密的逻辑层次：

7.1 核心概念：Jordan 链（循环子空间）

设 $N \in \mathscr{L}(V)$ 是一个幂零算子。这意味着存在某个正整数 $k$，使得 $N^k = \mathbf{0}$。

对于空间中的某个非零向量 $v$，由于 $N$ 是幂零的，我们不断用 $N$ 作用于它，最终必然会得到零向量。假设 $m$ 是使得 $N^{m+1}v = 0$ 成立的最小整数（此时 $N^m v \neq 0$）。

我们将这系列迭代生成的非零向量倒序排列，构成一个向量序列：

\[ B_v = \{N^m v, N^{m-1}v, \dots, Nv, v\} \]

线性无关性： 可以严格证明，这个序列中的 $(m+1)$ 个向量是线性无关的。
不变子空间： 由这组基张成的子空间 $W = \text{span}(B_v)$ 被称为由 $v$ 生成的 $N$-循环子空间（Cyclic Subspace）。显然，它是一个 $N$-不变子空间。
Jordan 链： 这个序列 $B_v$ 在代数上被称为一条长度为 $m+1$ 的 Jordan 链。其链条顶端是 $v$，链条底端是被映射为零的 $N^m v$。

7.2 空间分解定理（寻找全局基底）

对于任意幂零算子 $N$，有限维全空间 $V$ 必然可以分解为若干个这样的独立循环子空间的直和。

即存在一组特定的“生成元”向量 $v_1, v_2, \dots, v_k$，以及它们对应的零化指数 $m_1, m_2, \dots, m_k$（即 $N^{m_i+1}v_i = 0$），使得全空间 $V$ 的一组基完全由它们的 Jordan 链拼接而成：

\[ B = \{ \underbrace{N^{m_1}v_1, \dots, v_1}_{\text{第 1 条链}}; \quad \underbrace{N^{m_2}v_2, \dots, v_2}_{\text{第 2 条链}}; \quad \dots \quad; \underbrace{N^{m_k}v_k, \dots, v_k}_{\text{第 } k \text{ 条链}} \} \]

这组基就是所谓的 Jordan 基。

7.3 Jordan 块的代数推导

我们取上述直和分解中的任意一条链（对应一个循环子空间）来观察。假设某条链的基底为 $e_1, e_2, \dots, e_r$，按照我们之前的倒序定义，它们满足严格的迭代映射关系：

$e_1 = N^{r-1}v$
$e_2 = N^{r-2}v$
$\dots$
$e_r = v$

现在，我们将算子 $N$ 依次作用于这组基底上，观察其输出结果的坐标表示：

$N(e_1) = N(N^{r-1}v) = N^r v = \mathbf{0}$
$N(e_2) = N(N^{r-2}v) = N^{r-1}v = \mathbf{e_1}$
$N(e_3) = N(N^{r-3}v) = N^{r-2}v = \mathbf{e_2}$
$\dots$
$N(e_r) = N(v) = \mathbf{e_{r-1}}$

根据线性映射求矩阵表示的规则，我们将上述结果写成列向量，即可得到算子 $N$ 在该循环子空间上的矩阵表示（记为 $J_N$）：

\[ J_N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \end{pmatrix} \]

推导结论： 正是因为我们采用了 “先映射深层的向量，后映射浅层的向量” 这种倒序排布基底的方式，算子 $N$ 会将第 $i$ 个基向量映射为第 $i-1$ 个基向量。这在矩阵上完美对应了主对角线全为 0，而主对角线上方相邻的超对角线全为 1 的结构。这就是一个标准的幂零 Jordan 块。

7.4 从幂零走向一般：Jordan 标准型的最终确立

在上一节的“准素分解定理”中我们已知，对于一般算子 $T$，全空间可以分解为广义特征子空间的直和。

在每个广义特征子空间 $U_i$ 内部，算子可以分解为：

\[ T|_{U_i} = \lambda_i I + N_i \]

其中 $\lambda_i I$ 是纯量算子（主对角线全为 $\lambda_i$），$N_i = T - \lambda_i I$ 已经被证明为幂零算子。

现在，我们为这个幂零算子 $N_i$ 寻找上述的 Jordan 基。在这个 Jordan 基下：

幂零算子 $N_i$ 的矩阵变成了超对角线为 1、对角线为 0 的 Jordan 块。
纯量算子 $\lambda_i I$ 在任何基底下的矩阵依然是对角线全为 $\lambda_i$ 的对角阵。

将两者相加，算子 $T|_{U_i}$ 的矩阵表示 $J_i$ 就变成了：

\[ J_i = \begin{pmatrix} \lambda_i & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_i & 1 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_i & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & \lambda_i \end{pmatrix} \]

将所有广义特征子空间的这些块沿着对角线拼接起来，全空间上的算子 $T$ 即可彻底化为 Jordan 标准型 (Jordan Canonical Form)。

8. 实数域 $\mathbb{R}$ 上的算子分解与矩阵表示

在实数域 $\mathbb{R}$ 上，多项式的不可约分解可能包含二次因式。设算子 $T \in \mathscr{L}(V)$ 的极小多项式/特征多项式包含如下因子：

\[ p(x) = (x-\lambda_1)^{n_1}\dots(x-\lambda_r)^{n_r} \cdot (x^2+b_1x+c_1)^{m_1}\dots(x^2+b_sx+c_s)^{m_s} \]

（其中 $b_k^2 < 4c_k$ 保证二次式在实数域上不可约）。

实空间的直和分解：

全空间 $V$ 分解为一次多项式零空间与二次多项式零空间的直和：

\[ V = U_1 \oplus \dots \oplus U_r \oplus W_1 \oplus \dots \oplus W_s \]

其中：

$U_i = \text{null}(T-\lambda_i I)^{n_i}$
$W_j = \text{null}(T^2+b_jT+c_j I)^{m_j}$

在矩阵表示上，对应于不可约二次因式 $W_j$ 的不变子空间，其对角块不再是单一特征值，而是包含类似于 $\begin{pmatrix} 0 & -c \\ 1 & -b \end{pmatrix}$ 或 $\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$ 的 $2 \times 2$ 基础矩阵块。

9. 算子的平方根展开 (泰勒级数应用)

对于特定形式的算子，可通过多项式/级数展开定义其平方根等运算。

考虑算子 $A = I + N$（或矩阵 $A = E + N$），其中 $I$ 是恒等算子，$N$ 是幂零算子。

利用实函数 $f(x) = \sqrt{1+x}$ 的泰勒展开式（在 $x=0$ 处）：

\[ f(x) = (1+x)^{1/2} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \dots + \frac{(-1)^{n-1}(2n-3)!!}{2^n n!}x^n + \dots \]

将其推广到算子上，代入幂零算子 $N$：

\[ \sqrt{I+N} = I + \frac{1}{2}N - \frac{1}{8}N^2 + \dots \]

由于 $N$ 是幂零算子，存在整数 $k$ 使 $N^k = 0$，因此上述级数必然在有限项后截断变为有限和。这使得形如 $I+N$ 的算子，其平方根可以直接被严格构造为一个多项式算子。

10. 算子的平方根与幂零展开进一步应用

正算子的平方根

对于复内积空间上的正算子（即满足伴随算子 $T = T^*$ 且对任意 $v$ 有 $\langle Tv, v \rangle \ge 0$），存在唯一的正半定算子作为其平方根，记为 $\sqrt{T}$。

在广义特征空间分解下，若 $T|_{G(\lambda_i, T)} = \lambda_i I + N$（其中 $N$ 为幂零算子且 $N^k=0$），当 $\lambda_i \neq 0$ 时，其平方根可以通过级数严格展开计算：

\[ (\lambda_i I + N)^{1/2} = \sqrt{\lambda_i} \left(I + \frac{1}{\lambda_i}N\right)^{1/2} \]

结合泰勒展开式：

\[ (I+N)^{1/2} = I + \frac{1}{2}N - \frac{1}{8}N^2 + \dots + \frac{(-1)^{k-2} \cdot 1 \cdot 3 \dots (2k-3)}{(k-1)! 2^{k-1}}N^{k-1} \]

由于 $N$ 幂零，该展开在有限项后截断，严格成立。

11. 特征多项式与 Cayley-Hamilton 定理

特征多项式的定义

设 $T \in \mathscr{L}(V)$，$\lambda_1, \dots, \lambda_s$ 为 $T$ 的所有互异特征值，$n_i = \dim G(\lambda_i, T)$ 为对应广义特征空间的维数（即代数重数），则 $T$ 的特征多项式 (Characteristic Polynomial) 定义为：

\[ q(z) = (z-\lambda_1)^{n_1}(z-\lambda_2)^{n_2}\dots(z-\lambda_s)^{n_s} \]

性质：$T$ 的特征多项式的次数等于全空间的维数 $\dim V$。
特征多项式的零点恰好是 $T$ 的所有特征值。

与 Jordan 标准型的联系

在 Jordan 基下，算子表示为分块对角阵，通过计算行列式 $|\lambda E - J|$ 可以得出，特征多项式本质上就是特征值对应的特征矩阵的行列式。

凯莱-哈密顿定理 (Cayley-Hamilton Theorem)

算子 $T$ 满足其自身的特征多项式。即若 $q(z)$ 是 $T$ 的特征多项式，则：

\[ q(T) = (T-\lambda_1 I)^{n_1} \dots (T-\lambda_s I)^{n_s} = 0 \]

证明思路：由广义特征空间的分解 $V = G(\lambda_1, T) \oplus \dots \oplus G(\lambda_s, T)$，对任意 $v \in V$，可分解为 $v = v_1 + \dots + v_s$。多项式算子 $q(T)$ 作用于 $v_i$ 时，由于其中包含因子 $(T-\lambda_i I)^{n_i}$ 且 $v_i \in G(\lambda_i, T)$，必有 $q(T)v_i = 0$。因此 $q(T)v = 0$ 恒成立。

12. 极小多项式的核心性质

零化多项式与极小多项式的关系

设 $T \in \mathscr{L}(V)$，$q \in \mathscr{P}(\mathbb{F})$。则 $q(T) = 0$ 当且仅当 $q$ 是 $T$ 的极小多项式 $p$ 的多项式倍（即 $p$ 整除 $q$）。

证明精要：

应用多项式带余除法，存在多项式 $s, r$ 使得 $q = ps + r$，且 $\deg r < \deg p$。

代入算子 $T$：$0 = q(T) = p(T)s(T) + r(T) = r(T)$。

若 $r \neq 0$，则找到了一个次数比极小多项式更低且能零化 $T$ 的非零多项式，这与极小多项式的定义矛盾。因此必然有 $r = 0$，即 $q = ps$。

极小多项式与特征值的关联

定理：$T$ 的特征多项式是 $T$ 的极小多项式的倍式。
定理：$T$ 的极小多项式的零点恰好是 $T$ 的本征值（特征值）。这说明极小多项式和特征多项式包含相同的不可约一次因式，区别仅在于因式的重数可能不同。

示例分析

已知算子 $T$ 的特征多项式为 $(z-6)^2(z-7)$。

极小多项式必然包含因子 $(z-6)$ 和 $(z-7)$，且其次数不超过特征多项式。因此极小多项式只可能是 $(z-6)(z-7)$ 或 $(z-6)^2(z-7)$。

通过代入算子验证，若 $(T-6I)(T-7I) \neq 0$，则极小多项式不能是 $(z-6)(z-7)$，从而必然是 $(z-6)^2(z-7)$。

13. 循环子空间与友矩阵表示 (Companion Matrix)

本节的核心目的在于论证：对于任意线性算子 $T$，在其构造的特定不变子空间（循环子空间）上，总存在一组自然基底，使得算子在该基底下的矩阵表现为一种由其零化多项式系数直接决定的标准形式——友矩阵。

13.1 循环子空间的构造与维数截断

设 $V$ 为有限维线性空间，$T \in \mathscr{L}(V)$ 为线性算子。取空间中任意非零向量 $v \in V$（为与后文统一，记为 $e_1$）。

通过算子 $T$ 的不断迭代作用，我们可以生成一个无穷的向量序列：

\[ e_1, Te_1, T^2e_1, T^3e_1, \dots \]

由于全空间 $V$ 的维数是有限的，上述无穷序列必定在某一步出现线性相关。

设 $m$ 是使得序列 $\{e_1, Te_1, \dots, T^{m-1}e_1\}$ 保持线性无关的最大正整数。这意味着：

前 $m$ 个向量构成的集合是线性无关的。
第 $m+1$ 个向量（即 $T^me_1$）必然可以由前 $m$ 个向量线性表出。

由这前 $m$ 个线性无关的向量张成的子空间，称为由 $e_1$ 生成的 $T$-循环子空间（$T$-cyclic subspace），记作 $V_1$：

\[ V_1 = \text{Span}(e_1, Te_1, T^2e_1, \dots, T^{m-1}e_1) \]

且由构造可知，$V_1$ 是一个维数为 $m$ 的 $T$-不变子空间。

13.2 循环基的建立与多项式方程的引入

为了研究算子 $T$ 在循环子空间 $V_1$ 上的矩阵表示，我们取这 $m$ 个生成向量作为 $V_1$ 的一组基，称为循环基：

\[ \beta = \{e_1, e_2, e_3, \dots, e_m\} \]

其中，基向量之间具有严格的递推映射关系：$e_2 = Te_1, e_3 = Te_2, \dots, e_m = T^{m-1}e_1$。

根据之前的推断，向量 $Te_m = T^me_1$ 必须是基底 $\beta$ 的线性组合。因此，必然存在唯一的一组纯量 $a_0, a_1, \dots, a_{m-1}$，使得：

\[ T^me_1 = -a_0e_1 - a_1Te_1 - a_2T^2e_1 - \dots - a_{m-1}T^{m-1}e_1 \]

移项后，我们得到一个恒等式：

\[ (T^m + a_{m-1}T^{m-1} + \dots + a_1T + a_0I)e_1 = \mathbf{0} \]

定义多项式 $p(x) = x^m + a_{m-1}x^{m-1} + \dots + a_1x + a_0$。此多项式即为该循环子空间上限制算子 $T|_{V_1}$ 的极小多项式（Minimal Polynomial），同时也是其特征多项式（Characteristic Polynomial）。

13.3 友矩阵 (Companion Matrix) 的结构推导

现在，我们严格计算限制算子 $T|_{V_1}$ 在循环基 $\beta$ 下的矩阵表示 $\mathcal{M}(T|_{V_1})$。

观察算子 $T$ 作用于各个基向量的结果，并将其写为基底的列向量形式：

$T(e_1) = e_2 = 0 \cdot e_1 + 1 \cdot e_2 + \dots + 0 \cdot e_m \implies$ 第一列为 $(0, 1, 0, \dots, 0)^T$
$T(e_2) = e_3 = 0 \cdot e_1 + 0 \cdot e_2 + 1 \cdot e_3 + \dots + 0 \cdot e_m \implies$ 第二列为 $(0, 0, 1, \dots, 0)^T$
$\dots$
$T(e_{m-1}) = e_m \implies$ 第 $m-1$ 列的最后一个元素为 $1$，其余为 $0$。
$T(e_m) = T^me_1 = -a_0e_1 - a_1e_2 - \dots - a_{m-1}e_m \implies$ 第 $m$ 列为 $(-a_0, -a_1, \dots, -a_{m-1})^T$

将上述列向量拼合，即可得到算子在该基下的矩阵表示：

\[ \mathcal{M}(T|_{V_1}) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \dots & 0 & -a_0 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & -a_1 \\ 0 & 1 & \dots & 0 & -a_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 & -a_{m-1} \end{pmatrix} \]

这种主对角线下方（次对角线）全为 $1$，最后一列由首一多项式系数的相反数构成，其余元素全为 $0$ 的矩阵，即称为多项式 $p(x)$ 的友矩阵（Companion Matrix）。

13.4 实例解析：$T^5 - 6T + 3I = \mathbf{0}$

已知多项式等式 $T^5 - 6T + 3I = \mathbf{0}$ 作用于生成向量 $e_1$ 成立，说明 $m=5$。

该等式直接蕴含了第 6 个迭代向量 $T^5e_1$ 的线性表出关系：

\[ T^5e_1 - 6Te_1 + 3e_1 = \mathbf{0} \implies T^5e_1 = -3e_1 + 6Te_1 + 0T^2e_1 + 0T^3e_1 + 0T^4e_1 \]

在循环基 $\beta = \{e_1, e_2, e_3, e_4, e_5\}$ 下，前四列严格遵循向下的位移映射（即 $Te_i = e_{i+1}$）。

而最后一列 $T(e_5) = T^5e_1$，其在基底下的坐标即为上述等式的系数：

$a_0 = -3, a_1 = 6, a_2 = 0, a_3 = 0, a_4 = 0$。

据此构造出的 $5 \times 5$ 矩阵表示必然如下：

\[ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & -3 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]

结论总结： 友矩阵的卓越代数价值在于，它提供了一个无需经过复杂相似变换，即可从任意给定的首一多项式（在此例中为 $x^5 - 6x + 3$）直接“逆向”构造出对应矩阵形式的显式算法。在该构造下，矩阵的极小多项式与特征多项式严格重合。

极小多项式与特征多项式计算示例补充

例：极小多项式的计算与对比

矩阵的极小多项式中，特征值因子 $(z - \lambda_i)$ 的指数 $k_i$，严格等于矩阵的若尔当标准型（Jordan Canonical Form）中属于该特征值 $\lambda_i$ 的最大若尔当块（Jordan Block）的阶数。

对角矩阵的极小多项式分析

已知条件： 设矩阵 $A = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}$。

1. 特征多项式推导：

根据特征多项式的定义 $f(z) = \det(zI - A)$，可直接读出：

\[ f(z) = (z-6)^2(z-7) \]

代数重数表明：特征值 6 的代数重数为 2，特征值 7 的代数重数为 1。

2. 极小多项式判定：

极小多项式 $m(z)$ 必须包含特征多项式的所有互异根，故其形式必为 $m(z) = (z-6)^k(z-7)^l$，其中 $1 \le k \le 2$，$l = 1$。

结构视角： 矩阵 $A$ 已经是严格的对角矩阵。在若尔当标准型的框架下，对角矩阵等价于所有若尔当块均为一阶块。
对于特征值 6，它由两个独立的一阶块（$1 \times 1$ 矩阵）构成，故属于特征值 6 的最大块阶数为 1。因此，因子 $(z-6)$ 的最高次幂 $k = 1$。
代数验证： 提取极小次幂 $k=1, l=1$ 构造多项式，代入算子检验：

\[ (A - 6I)(A - 7I) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \mathbf{0} \]
结论： 极小多项式为 $m(z) = (z-6)(z-7)$。这也印证了算子可对角化的充要条件：极小多项式无重根。

若尔当分块矩阵的极小多项式分析

已知条件：

设矩阵 $B$ 的若尔当标准型包含以下对角块：

对应特征值 $\lambda_1 = 2$ 的 $3 \times 3$ 若尔当块 $J_3(2)$。
对应特征值 $\lambda_1 = 2$ 的 $2 \times 2$ 若尔当块 $J_2(2)$。
对应特征值 $\lambda_2 = 3$ 的 $1 \times 1$ 若尔当块 $J_1(3)$。

\[ B = \begin{pmatrix} \mathbf{2} & \mathbf{1} & \mathbf{0} & 0 & 0 & 0 \\ \mathbf{0} & \mathbf{2} & \mathbf{1} & 0 & 0 & 0 \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mathbf{2} & \mathbf{1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mathbf{0} & \mathbf{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mathbf{3} \end{pmatrix} \]