向量代数与空间解析几何基础

一、向量代数基础概念

内积定义：\(x \cdot y = \sum_{i=1}^n x_i y_i\)。满足非负性（\(x \cdot x \ge 0\)）、对称性、分配律与数乘结合律。
欧氏范数（长度）：\(|x| = \sqrt{x \cdot x}\)。
空间距离：\(\rho(x, y) = |x - y|\)。
三大基本不等式：
- 正齐次性：\(|\lambda x| = |\lambda| \cdot |x|\)
- 柯西-施瓦茨不等式：\(|x \cdot y| \le |x| \cdot |y|\)
- 三角不等式：\(|x+y| \le |x| + |y|\)
夹角与正交：夹角 \(\theta = \arccos \frac{x \cdot y}{|x| \cdot |y|}\)。当 \(x \cdot y = 0\) 时，两向量正交。
方向余弦：非零向量 \(\vec{u}\) 的方向余弦为单位化后的各分量，即 \(\cos(\vec{u}, \vec{e}_i) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{e}_i}{|\vec{u}|}\)。

二、外积与混合积（针对 \(\mathbb{R}^3\) 空间）

外积（叉积）：记作 \(\vec{u} \times \vec{v}\)，可通过三阶行列式（第一行为标准基 \(\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3\)）计算。
- 方向：垂直于 \(\vec{u}\) 和 \(\vec{v}\)，满足右手法则。
- 模长：\(|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}| |\vec{v}| \sin\theta\)，几何意义为张成的平行四边形面积。
混合积：\((\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}\)，通过三向量坐标构成的三阶行列式计算。几何意义为其绝对值代表张成的平行六面体体积。

三、空间解析几何方程与距离

直线方程（过点 \(M_0\)，方向向量 \(\vec{v}=(m,n,l)\)）：
- 参数矢量式：\(M = M_0 + t\vec{v}\)
- 点向式（对称式）：\(\frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{l}\)
- 交线方向：两平面相交直线方向向量为法向量外积 \(\vec{n}_1 \times \vec{n}_2\)。
平面方程（过点 \(M_0\)，法向量 \(\vec{n}=(a,b,c)\)）：
- 点法式：\(\vec{M_0M} \cdot \vec{n} = 0\)
- 一般式：\(ax+by+cz=d\)
- 三点式：三个不共线点构成的两向量与动点向量构成的混合积（行列式）等于 0。
空间距离公式：
- 点 \(P\) 到直线 \(L\)（过 \(S\)，方向 \(\vec{v}\)）：\(d = \frac{|\vec{SP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}\)
- 点 \(P\) 到平面 \(\Pi\)（过 \(S\)，法向 \(\vec{n}\)）：\(h = \frac{|\vec{SP} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}\)

多元函数微分学

一、极限、连续、偏导数与可微性关系

偏导数存在：等价于沿平行坐标轴方向有导数。几何意义为曲面截线切线的斜率。偏导数存在不蕴含函数连续。
可微定义：增量满足 \(f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - f(x_0, y_0) = A\Delta x + B\Delta y + o(\rho)\)，线性主部即为全微分 \(df = A\Delta x + B\Delta y\)。
四大核心关系：
- 可微 \(\implies\) 连续。
- 可微 \(\implies\) 偏导数存在（且 \(A=f_x, B=f_y\)）。
- 偏导数连续 \(\implies\) 可微（充分条件，称为 \(C^1\) 类函数）。
可微的两步判定法：
1. 检查连续性及偏导数是否存在（若否，则不可微）。
2. 计算极限 \(\lim_{(\Delta x, \Delta y) \to (0,0)} \frac{\Delta z - f_x\Delta x - f_y\Delta y}{\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}}\)。若极限为 0，则可微；否则不可微。

二、几何意义：切平面与法线

可微等价定理：可微的充要条件是曲面在该点存在不平行于 \(z\) 轴的切平面。
切平面方程：\(z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)\)
法线方程：\(\frac{x-x_0}{f_x(x_0, y_0)} = \frac{y-y_0}{f_y(x_0, y_0)} = \frac{z-z_0}{-1}\)

三、方向导数与梯度

方向导数：定义为沿某射线的单侧极限。可微 \(\implies\) 沿任意方向方向导数存在，公式为 \(\frac{\partial f}{\partial \vec{v}} = f_x\cos\alpha + f_y\cos\beta\)。注意：方向导数处处存在不保证偏导数（双侧极限）存在/可微。
梯度：定义为向量 \(\text{grad} f = \nabla f = (f_x, f_y)\)。
核心关联：\(\frac{\partial f}{\partial \vec{v}} = \text{grad} f \cdot \vec{v} = |\text{grad} f| \cos\theta\)。
- 沿梯度方向，变化率最大（增加最快）。
- 沿梯度相反方向，变化率最小（减少最快）。

四、复合求导、雅可比矩阵与一阶形式不变性

1. 雅可比矩阵 (Jacobian Matrix) 与全导数

将一元函数的导数推广到向量值函数 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\)（即 \(m\) 个因变量，\(n\) 个自变量）。

具体形态：雅可比矩阵 \(J_f\) 是一个 \(m \times n\) 的矩阵。“行代表分量函数，列代表自变量”。

\[ J_f = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \dots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \frac{\partial f_m}{\partial x_2} & \dots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{pmatrix} \]
全微分矩阵表示：因变量的微小变化等于雅可比矩阵乘以自变量的微小变化向量，即 \(df = J_f \cdot dx\)（其中 \(df\) 和 \(dx\) 均为列向量）。

2. 复合函数求导（链式法则）

从外层函数乘到内层函数。

矩阵乘法表示：

\[ J_{f \circ g}(\vec{x}_0) = J_f(\vec{y}_0) \cdot J_g(\vec{x}_0) \]

(注意顺序：外层函数的雅可比矩阵 \(\times\) 内层函数的雅可比矩阵。矩阵乘法不满足交换律。)
标量展开计算（树状图法）：

解决具体偏导数计算的万能解法。
- 操作步骤：画出变量依赖树。“连线相乘，分叉相加”。
- 具体案例：设 \(z = f(x,y)\)，且 \(x=x(u,v), y=y(u,v)\)。画图追踪 \(z \to (x,y) \to u\)：
  
  \[ \frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u} \]
全导数特例：当最终自变量仅有 1 个时，偏导数退化为全导数（记号从 \(\partial\) 变为 \(d\)）。
- 具体案例：\(z = f(x, y)\)，且 \(y = y(x)\)。此时 \(x\) 既是直接自变量，又是底层自变量。
  
  \[ \frac{dz}{dx} = \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dx} \]

3. 一阶全微分形式不变性

核心结论：无论 \(x, y\) 是最底层的独立自变量，还是受其他变量控制的中间变量，全微分的代数形式 \(dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy\) 永远不变。
应用技巧：在求复杂复合函数的全微分时，可以直接算出中间变量的微分 \(dx\) 和 \(dy\)，然后像代数式一样直接代入化简：

\[ dz = f_x (x_u du + x_v dv) + f_y (y_u du + y_v dv) \]

五、高阶偏导数与相关定理

高阶求导原则：求二阶及以上偏导数时，若包含中间变量，必须将其一阶偏导数继续视为复合函数，再次应用链式法则。
Schwarz 定理（混合偏导数）：若混合偏导数 \(f_{xy}\) 和 \(f_{yx}\) 均存在且连续，则 \(f_{xy} = f_{yx}\)（与求导顺序无关）。缺失连续性条件则不一定成立。
多元微分中值定理：在凸开区域（集合内任意两点之间的直线段完全包含在该集合内）内，增量可表示为某中间点处的偏导数线性组合：\(\Delta z = f_x(\dots)\Delta x + f_y(\dots)\Delta y\)。

\[ f(\vec{x}_0+\Delta \vec{x}) - f(\vec{x}_0) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(\vec{x}_0+\theta\Delta \vec{x}) \cdot \Delta x_i \]

泰勒公式：借助微分算子 \(D^m = \left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x} + \Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^m\) 将一元泰勒推广至多元。
- 算子展开：当 \(m=1\) 时为一阶全微分 \(df\)；\(m=2\) 时，算子展开为 \(f_{xx}\Delta x^2 + 2f_{xy}\Delta x \Delta y + f_{yy}\Delta y^2\)（即二阶全微分 \(d^2f\)）。
- 二阶泰勒展开式：增量被分解为“常数项 + 一阶线性主部 + 二阶二次型主部 + 余项”：
  
  \[ f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) = f(x_0, y_0) + df(x_0, y_0) + \frac{1}{2!}d^2f(x_0, y_0) + R_n \]
- 两大余项 \(R_n\) 的核心辨析：
  - 拉格朗日型余项：含有具体中间点 \(\theta \in (0,1)\) 的 \(n+1\) 阶导数项。
    
    \[ R_n = \frac{1}{(n+1)!} \left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x} + \Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^{n+1} f(x_0+\theta\Delta x, y_0+\theta\Delta y) \]
    
    因为包含了具体的导数表达式，专用于需要量化误差大小的严格不等式放缩与精确误差估计。
  - 皮亚诺型余项：简单记为 \(o(\rho^n)\)（\(\rho\) 为两点间距离），无需计算具体导数值，仅代表衰减更快的高阶无穷小。
    
    \[ R_n = o(\rho^n) \quad (\text{当 } \rho \to 0 \text{ 时}) \]
    
    专用于只需要看低阶主部符号的局部极值判定（如直接引出 Hesse 矩阵）与多元极限计算。

六、极值与最值

必要条件：极值点若可导，必为驻点（所有一阶偏导数 \(f_x=f_y=0\)）。驻点不一定是极值点（如马鞍面点）。
充分条件（Hesse 矩阵判别法）：

\[ H_f(x_0, y_0) = \begin{pmatrix} f_{xx}(x_0, y_0) & f_{xy}(x_0, y_0) \\ f_{yx}(x_0, y_0) & f_{yy}(x_0, y_0) \end{pmatrix} \]

构造二阶导矩阵 $H$。令 $A = f_{xx}, B = f_{xy}, C = f_{yy}$，判别式 $\Delta = AC - B^2$。

- $\Delta > 0$ 且 $A < 0$（Hesse矩阵负定）：取**极大值**。

- $\Delta > 0$ 且 $A > 0$（Hesse矩阵正定）：取**极小值**。

- $\Delta < 0$（Hesse矩阵不定）：**不是极值**。

- $\Delta = 0$：判别法失效，需用定义或泰勒展开另行判定。

闭区域最值求法：
1. 求出区域内部所有驻点和导数不存在的奇异点，计算函数值。
2. 求出边界上的条件最值（代入转化为一元函数处理）。
3. 综合比较所有内部与边界的函数值，取最大者为最大值，最小者为最小值。

向量代数与空间解析几何基础

一、 向量代数基础概念

二、 外积与混合积（针对 \(\mathbb{R}^3\) 空间）

三、 空间解析几何方程与距离

多元函数微分学

一、 极限、连续、偏导数与可微性关系

二、 几何意义：切平面与法线

三、 方向导数与梯度

四、 复合求导、雅可比矩阵与一阶形式不变性