01_空间平面与直线

一、空间平面方程

在三维空间中，确定一个平面的核心要素是：平面上的一点 和 平面的朝向。

1. 点法式方程

基本概念：
- 平面的法线：与该平面垂直的直线。
- 法向量 (Normal Vector)：法线上的任意一个非零向量，通常记为 $\vec{n}$，决定平面的朝向。
已知条件：
- 平面的法向量：$\vec{n} = (A, B, C) \in \mathbb{R}^3$
- 平面过已知点：$P_0(x_0, y_0, z_0)$
方程推导：
1. 充分性（建立方程）：对于平面上的任意一点 $P(x, y, z)$，连接 $P_0$ 和 $P$ 构成的向量 $\vec{P_0P} = (x - x_0, y - y_0, z - z_0)$ 必然位于平面内。
2. 因为法向量 $\vec{n}$ 垂直于平面，所以它必定垂直于平面内的任何向量，即 $\vec{n} \perp \vec{P_0P}$。
3. 由向量正交的充要条件（内积为 0）可得：
```
    $$
```
  \vec{n} \cdot \vec{P_0P} = 0 $$
```
    **展开即得点法式方程：**

    $$
```
  A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 $$
4. 必要性：反之，若空间中某点 $(x_1, y_1, z_1)$ 的坐标满足上述方程，即 $A(x_1 - x_0) + B(y_1 - y_0) + C(z_1 - z_0) = 0$，则意味着向量 $(A, B, C)$ 与向量 $(x_1 - x_0, y_1 - y_0, z_1 - z_0)$ 正交。由于点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 已经在该平面内，且法向量确定了平面的唯一朝向，因此推断出点 $(x_1, y_1, z_1)$ 也必然在该平面内。

2. 一般式方程

将点法式方程 $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$ 展开并重新整理：

\[ Ax + By + Cz + (-Ax_0 - By_0 - Cz_0) = 0 \]

令常数项 $D = -(Ax_0 + By_0 + Cz_0)$，即可得到平面的一般式方程：

\[ Ax + By + Cz + D = 0 \]

(注：其中 $A, B, C$ 不能全为 0，且法向量依然是 $\vec{n} = (A, B, C)$)

同样地，必要性成立：若存在已知点 $(x_0, y_0, z_0)$ 满足 $Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D = 0$，两式相减即可消去 $D$，还原为点法式方程 $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$。

在三维空间 $\mathbb{R}^3$ 中，由于方程没有限制变量 $z$，这意味着 $z$ 可以取任意实数。

因此，在三维空间中，$y = kx + b$ 表示的是一个平行于 $z$ 轴的平面，而不是一条直线。空间中的直线必须由两个平面方程联立（方程组）或参数方程来表示。

3. 截距式方程

在一般式方程 $Ax + By + Cz + D = 0$ 中：

若 $D = 0$：方程化为 $Ax + By + Cz = 0$，显然 $(0, 0, 0)$ 满足方程，表明该平面经过坐标原点。
若 $D \neq 0$ 且 $A, B, C$ 均不为 0：将常数项移至等式右侧并同除以 $-D$：

\[ \frac{A}{-D}x + \frac{B}{-D}y + \frac{C}{-D}z = 1 \implies \frac{x}{-\frac{D}{A}} + \frac{y}{-\frac{D}{B}} + \frac{z}{-\frac{D}{C}} = 1 \]

令 $a = -\frac{D}{A}$, $b = -\frac{D}{B}$, $c = -\frac{D}{C}$，得到截距式方程：

\[ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \]

几何意义：该平面与 $x, y, z$ 轴的交点分别为 $(a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c)$，这三个数值 $a, b, c$ 称为平面在三个坐标轴上的截距（注意：截距是坐标值，可以是负数，不同于距离）。

4. 三点式方程

已知条件：平面经过三个不共线的点 $P_1(x_1, y_1, z_1), P_2(x_2, y_2, z_2), P_3(x_3, y_3, z_3)$。

解法一：利用向量共面与混合积（行列式法）

对于平面上任意一点 $P(x, y, z)$，构成的三个向量 $\vec{P_1P}, \vec{P_1P_2}, \vec{P_1P_3}$ 必然共面。

根据向量混合积的性质，三个向量共面的充要条件是它们的混合积为 0：

\[ (\vec{P_1P}, \vec{P_1P_2}, \vec{P_1P_3}) = 0 \]

转化为三阶行列式：

\[ \begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0 \]

$4 \times 4$ 行列式的变形：

\[\begin{vmatrix} 1 & x & y & z \\ 1 & x_1 & y_1 & z_1 \\ 1 & x_2 & y_2 & z_2 \\ 1 & x_3 & y_3 & z_3 \end{vmatrix} = 0\]

解法二：转化为点法式（外积法）

先利用已知的三点构造两个不平行的向量 $\vec{P_1P_2}$ 和 $\vec{P_1P_3}$。

平面的法向量 $\vec{n}$ 必然同时垂直于这两个向量，因此可以通过向量积（叉乘）求得：

\[ \vec{n} = \vec{P_1P_2} \times \vec{P_1P_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} \]

计算出法向量 $\vec{n} = (A, B, C)$ 后，再结合已知点（例如 $P_1$），直接代入点法式方程即可。

类似地：过一点且平行于两个已知向量的平面

已知条件：平面过点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$，且平行于两个不共线的向量 $\vec{a} = (a_1, b_1, c_1)$ 和 $\vec{b} = (a_2, b_2, c_2)$。

求解逻辑：

该平面的法向量 $\vec{n}$ 必然垂直于这两个平行的向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$。

求法向量：$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} = (A, B, C)$
代入点法式：

\[ A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 \]

二、空间直线与平面束

1. 空间直线方程的几种形式

在三维空间中，确定一条直线的核心要素是：直线上的一点 和 直线的方向。

1.1 点向式方程与参数方程

已知条件：直线 $L$ 过点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$，且平行于方向向量 $\vec{s} = (l, m, n)$。
推导：对于直线上任意一点 $P(x, y, z)$，向量 $\vec{P_0P} = (x - x_0, y - y_0, z - z_0)$ 必然平行于方向向量 $(l, m, n)$。

因此存在实数 $t$，使得 $\vec{P_0P} = t \cdot \vec{s}$，即 $(x - x_0, y - y_0, z - z_0) = t(l, m, n)$。

由此可以得到直线的参数方程：

\[ \begin{cases} x = x_0 + lt \\ y = y_0 + mt \\ z = z_0 + nt \end{cases} \]

消去参数 $t$，即可得到直线的点向式方程（又称对称式方程）：

\[ \frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n} \]

在点向式方程中，如果分母中有 0（例如 $m = 0$）是一种符号约定，代表分子也必须为 0，即 $y - y_0 = 0 \Rightarrow y = y_0$。这表示直线始终在一个垂直于 $y$ 轴的平面内。同理，若 $l=0$ 或 $n=0$ 也是如此。

1.2 一般式方程

空间中的一条直线可以看作是两个不平行平面的交线。

设两个平面方程分别为：

平面 1：$A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$
平面 2：$A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$

将这两个方程联立，就构成了直线的一般式方程：

\[ \begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{cases} \]

成立条件：两平面的法向量不能平行，即法向量叉乘不为零：$(A_1, B_1, C_1) \times (A_2, B_2, C_2) \neq \vec{0}$。用矩阵的语言来说，系数矩阵的秩必须为 2：$\text{rank}\begin{pmatrix} A_1 & B_1 & C_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 \end{pmatrix} = 2$。

1.3 两点式方程

已知条件：直线过已知两点 $P_1(x_1, y_1, z_1)$ 和 $P_2(x_2, y_2, z_2)$。
推导：直接取向量 $\vec{P_1P_2} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$ 作为方向向量 $(l, m, n)$。
方程：

\[ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1} \]

2. 直线一般式转化为点向式

给定直线的一般式方程，我们通常需要将其转化为点向式以便看出方向向量和经过的点。有两种常用方法：

【例题】 将直线 $\begin{cases} 2x + y - z + 4 = 0 \\ x - 2y + z - 3 = 0 \end{cases}$ 转化为点向式方程。

方法一：矩阵初等行变换法（代数法）

将方程组的增广矩阵化为行最简形：

\[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & -1 & -4 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 - 2R_1} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 3 \\ 0 & 5 & -3 & -10 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 \div 5} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -3/5 & -2 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1 + 2R_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1/5 & -1 \\ 0 & 1 & -3/5 & -2 \end{pmatrix} \]

还原为方程组并引入参数 $t$：

\[ \begin{cases} x - \frac{1}{5}z = -1 \implies x = -1 + \frac{1}{5}t \\ y - \frac{3}{5}z = -2 \implies y = -2 + \frac{3}{5}t \\ z = t \end{cases} \]

化为对称式：$\frac{x + 1}{1/5} = \frac{y + 2}{3/5} = \frac{z}{1}$，同时乘以 5 得到最终结果：

\[ \frac{x + 1}{1} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z}{5} \]

方法二：方向向量叉乘法（几何法）

求方向向量：直线的方向向量 $\vec{s}$ 同时垂直于两个平面的法向量 $\vec{n_1}$ 和 $\vec{n_2}$。
```
$$
```
\vec{s} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ 2 & 1 & -1 \ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = (1 - 2)\vec{i} - (2 - (-1))\vec{j} + (-4 - 1)\vec{k} = -\vec{i} - 3\vec{j} - 5\vec{k} $$
```
取方向向量为 $(1, 3, 5)$。
```
求直线上一点：令 $z = 0$ 代入原方程组，解得 $\begin{cases} 2x + y = -4 \\ x - 2y = 3 \end{cases} \implies x = -1, y = -2$。得到点 $P_0(-1, -2, 0)$。
写出方程：

\[ \frac{x + 1}{-1} = \frac{y + 2}{-3} = \frac{z}{-5} \quad \text{即} \quad \frac{x + 1}{1} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z}{5} \]

(两种方法殊途同归)

3. 平面束方程

概念：经过空间中同一条直线的所有平面的集合称为平面束。

如果直线 $L$ 由两个平面 $A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$ 和 $A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$ 的交线构成，那么过这条直线的任意平面方程都可以设为：

\[ \lambda(A_1x + B_1y + C_1z + D_1) + \mu(A_2x + B_2y + C_2z + D_2) = 0 \quad (\lambda, \mu \text{ 不全为 0}) \]

(实际计算中，若确定所求平面不等于第二个平面，可令 $\lambda=1$，只保留一个参数 $\mu$)

【例题】 求过点 $P(1, 1, 1)$，且过直线 $\begin{cases} x - 2y + z - 3 = 0 \\ 2x + y + 4z + 1 = 0 \end{cases}$ 的平面方程。

解答：

设平面束方程：

令所求平面方程为 $\lambda(x - 2y + z - 3) + \mu(2x + y + 4z + 1) = 0$。
代入已知点：
```
因为平面经过点 $(1, 1, 1)$，代入方程得：

$$
```
\lambda(1 - 2 + 1 - 3) + \mu(2 + 1 + 4 + 1) = 0 \implies -3\lambda + 8\mu = 0 $$
```
解得 $\mu = \frac{3}{8}\lambda$。
```
回代并化简：

将 $\mu$ 的值代回原方程（约去 $\lambda$）：

\[ (x - 2y + z - 3) + \frac{3}{8}(2x + y + 4z + 1) = 0 \]

两边同乘 8 展开化简：

\[ 8x - 16y + 8z - 24 + 6x + 3y + 12z + 3 = 0 \]

最终平面方程为：

\[ 14x - 13y + 20z - 21 = 0 \]

三、空间点、线、面之间的关系

1. 点与平面的关系

设空间中有一已知平面 $\pi: ax + by + cz + d = 0$，以及一个已知点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$。点与平面的关系只有两种：

1.1 点在平面内

判定条件：点 $P_0$ 的坐标满足平面方程，即代入后等式成立：

\[ ax_0 + by_0 + cz_0 + d = 0 \]

1.2 点不在平面内（点到平面的距离公式推导）

当 $P_0$ 不在平面上时，我们需要求点 $P_0$ 到平面 $\pi$ 的垂直距离 $d$。

推导过程（利用向量投影）：

构造向量：在平面 $\pi$ 上任取一点 $P_1(x_1, y_1, z_1)$。连接 $P_0$ 和 $P_1$ 构成向量 $\vec{P_0P_1} = (x_1 - x_0, y_1 - y_0, z_1 - z_0)$。
利用法向量：平面 $\pi$ 的法向量为 $\vec{n} = (a, b, c)$。点 $P_0$ 到平面的距离，本质上就是向量 $\vec{P_0P_1}$ 在法向量 $\vec{n}$ 上的投影长度。
计算投影：设 $P_0$ 在平面上的垂直投影点为 $A$，则距离 $|P_0A|$ 为：
```
$$
```
|P_0A| = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{P_0P_1}|}{|\vec{n}|} $$
```
将坐标代入内积公式展开：

$$
```
|P_0A| = \frac{|a(x_1 - x_0) + b(y_1 - y_0) + c(z_1 - z_0)|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} $$
```
提取各项并重新组合：

$$
```
|P_0A| = \frac{|(ax_1 + by_1 + cz_1) - (ax_0 + by_0 + cz_0)|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} $$
化简结果：因为 $P_1(x_1, y_1, z_1)$ 在平面上，必然满足 $ax_1 + by_1 + cz_1 = -d$。代入上式，由于有绝对值符号，提取负号不影响结果，最终得到点到平面的距离公式：

\[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \]

2. 两个平面之间的关系

设有两个平面方程：

$\pi_1: A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \implies A_1x + B_1y + C_1z = -D_1$
$\pi_2: A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \implies A_2x + B_2y + C_2z = -D_2$

引入系数矩阵 $M$ 和增广矩阵 $\bar{M}$ 来用代数方法（矩阵的秩 $r$）严格判定它们的几何关系：

\[ M = \begin{pmatrix} A_1 & B_1 & C_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 \end{pmatrix}, \quad \bar{M} = \begin{pmatrix} A_1 & B_1 & C_1 & -D_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 & -D_2 \end{pmatrix} \]

2.1 相交于一条直线

几何表现：两个平面的法向量不平行。
代数条件：系数矩阵的行向量线性无关。

\[ r(M) = r(\bar{M}) = 2 \]

2.2 重合

几何表现：两个平面是同一个平面。
代数条件：两个方程成比例，即 $(A_1, B_1, C_1, D_1) = \lambda(A_2, B_2, C_2, D_2)$。此时方程组有无穷多解（整个平面）。

\[ r(M) = r(\bar{M}) = 1 \]
补充：平面的参数方程：

如果方程为 $Ax + By + Cz + D = 0$，且 $A \neq 0$。我们可以令自由变量 $y = u, z = v$（$u, v$ 为参数），解出 $x$：

\[ x = -\frac{1}{A}(Bu + Cv + D) \]

这就是平面的参数方程形式。

2.3 平行且不重合

几何表现：法向量平行，但两平面没有交点。
代数条件：系数成比例，但常数项不成比例。方程组无解。

\[ r(M) = 1, \quad r(\bar{M}) = 2 \]

2.4 两平面的距离与夹角

2.4.1 两个平行平面的距离

当 $\pi_1 \parallel \pi_2$ 时，为了方便计算，我们通常将它们的方程化为同法向量的形式，即：

$\pi_1: Ax + By + Cz + D_1 = 0$
$\pi_2: Ax + By + Cz + D_2 = 0$

计算方法：在平面 $\pi_2$ 上任取一点 $P(x_2, y_2, z_2)$，满足 $Ax_2 + By_2 + Cz_2 = -D_2$。

求此点到平面 $\pi_1$ 的距离，直接套用前文的点到平面距离公式：

\[ d = \frac{|Ax_2 + By_2 + Cz_2 + D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]

将 $Ax_2 + By_2 + Cz_2$ 替换为 $-D_2$，得到平行平面距离公式：

\[ d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]

2.4.2 两个相交平面的夹角（二面角）

定义：两个平面的夹角 $\theta$，可以通过计算它们各自法向量 $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ 和 $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$ 之间的夹角来求得。

根据向量内积公式：

\[ \cos\theta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|} = \frac{A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}} \]

(注：通常两平面的夹角规定为锐角或直角 $\theta \in [0, \pi/2]$，若求出的 $\cos\theta$ 为负数，取其绝对值即可得到锐夹角。)

3. 直线与平面之间的关系

在讨论时，我们将直线 $L$ 视为两个平面 $\pi_1, \pi_2$ 的交线，考察它与第三个平面 $\pi_3$ 的关系。

这相当于研究一个由 3 个三元一次方程组成的线性方程组：

\[ \begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0 & (\text{平面 } \pi_1) \\ a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0 & (\text{平面 } \pi_2) \\ a_3x + b_3y + c_3z + d_3 = 0 & (\text{平面 } \pi_3) \end{cases} \]

构造系数矩阵 $A$ 和增广矩阵 $\bar{A}$：

\[ A = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix}, \quad \bar{A} = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 & -d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & -d_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & -d_3 \end{pmatrix} \]

我们可以直接用 矩阵的秩 来判定这三个平面（即直线 $L$ 与平面 $\pi_3$）的几何关系：

相交于一点： $r(A) = 3, r(\bar{A}) = 3$
- 代数意义：方程组有唯一解。
- 几何意义：三个平面交于唯一的公共点，即直线穿过该平面。
直线平行于平面： $r(A) = 2, r(\bar{A}) = 3$
- 代数意义：系数矩阵秩为 2（存在二阶非零子式），但增广矩阵秩为 3，方程组无解。
- 几何意义：直线与第三个平面没有交点，即直线平行于平面。
直线在平面内： $r(A) = 2, r(\bar{A}) = 2$
- 代数意义：有无穷多解，自由未知量个数为 $3 - 2 = 1$。
- 几何意义：交集是一条直线，意味着直线 $L$ 完完全全躺在第三个平面内。
退化情况（重合与平行平面）：
- $r(A) = 1, r(\bar{A}) = 1$：三个平面完全重合。
- $r(A) = 1, r(\bar{A}) = 2$：三个平面的法向量都平行（即三个平面互相平行），但常数项不成比例，因此没有公共交线。

直线与平面的夹角

设直线的方向向量为 $\vec{s} = (l, m, n)$，其中 $\vec{s}$ 可以通过两个法向量外积求得：$\vec{s} = (a_1, b_1, c_1) \times (a_2, b_2, c_2)$。

平面 $\pi_3$ 的法向量为 $\vec{n} = (a_3, b_3, c_3)$。

直线与平面的夹角 $\theta$ 定义为直线与其在平面上投影线的夹角。它与向量 $\vec{s}$ 和 $\vec{n}$ 的夹角 $\varphi$ 互余（$\theta + \varphi = 90^\circ$）。

因此：

\[ \sin\theta = |\cos\varphi| = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{s}|}{|\vec{n}||\vec{s}|} \]

分子部分恰好是三个法向量构成的混合积（行列式）：

\[ \sin\theta = \frac{\left| \begin{vmatrix} a_3 & b_3 & c_3 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} \right|}{\sqrt{a_3^2+b_3^2+c_3^2} \sqrt{l^2+m^2+n^2}} \]

4. 两条空间直线之间的关系

设直线 $L_1$ 由方程 1, 2 确定，直线 $L_2$ 由方程 3, 4 确定。

这构成了 4 个方程的线性方程组。系数矩阵 $A$ 是 $4 \times 3$ 的，增广矩阵 $\bar{A}$ 是 $4 \times 4$ 的。

利用秩来判定两直线的位置关系：

异面： $r(A) = 3, r(\bar{A}) = 4$
- 代数上无解，且方向向量不平行。两条直线既不相交，也不平行。
相交： $r(A) = 3, r(\bar{A}) = 3$
- 方程组有唯一解。两直线共面且相交于唯一一点。
平行： $r(A) = 2, r(\bar{A}) = 3$
- 系数矩阵秩为 2（方向向量共线），方程组无解。
重合： $r(A) = 2, r(\bar{A}) = 2$
- 有无穷多解，自由变量为 1 个（解集是一条直线）。

两条异面直线的距离

如果 $L_1$ 和 $L_2$ 是异面直线，要求它们之间的最短距离（即公垂线段的长度）。

已知：$L_1$ 上有一点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$，方向向量 $\vec{s_1} = (l_1, m_1, n_1)$。
已知：$L_2$ 上有一点 $P_1(x_1, y_1, z_1)$，方向向量 $\vec{s_2} = (l_2, m_2, n_2)$。

几何推导（投影法）：

公垂线的方向向量 $\vec{n}$ 必须同时垂直于 $L_1$ 和 $L_2$ 的方向，所以：$\vec{n} = \vec{s_1} \times \vec{s_2}$。
连接两直线上已知点的向量为 $\vec{P_0P_1}$。
两异面直线的距离 $d$，在几何上就等于向量 $\vec{P_0P_1}$ 在公垂线向量 $\vec{n}$ 上的投影绝对值。

公式表达：

\[ d = \frac{|\vec{P_0P_1} \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2})|}{|\vec{s_1} \times \vec{s_2}|} \]

分子就是向量 $\vec{P_0P_1}, \vec{s_1}, \vec{s_2}$ 的混合积，可以展开为三阶行列式进行计算。

四、空间线段的定比分点公式

已知线段的两个端点 $P_1(x_1, y_1, z_1)$ 和 $P_2(x_2, y_2, z_2)$。点 $P(x, y, z)$ 在直线 $P_1P_2$ 上，且满足 $\vec{P_1P} = \lambda \vec{PP_2}$ （即点 $P$ 将线段分为比例为 $\lambda$ 的两部分）。

由坐标关系可得向量等式：

\[ (x - x_1, y - y_1, z - z_1) = \lambda (x_2 - x, y_2 - y, z_2 - z) \]

解出 $x, y, z$，得到定比分点坐标公式：

\[ \begin{cases} x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda} \\ y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda} \\ z = \frac{z_1 + \lambda z_2}{1 + \lambda} \end{cases} \]

特殊情况：中点坐标公式

当 $P$ 为线段中点时，$\lambda = 1$，代入上式即得：

\[ x = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad y = \frac{y_1 + y_2}{2}, \quad z = \frac{z_1 + z_2}{2} \]