几何概型与蒲丰投针（Geometric Probability）

从个数比到几何度量比

有限等可能结果用个数比；几何区域 \(S\) 内均匀取点（uniform sampling）用几何概型（geometric probability model）。

设 \(m\) 是相应的几何度量（geometric measure），要求

\[ 0<m(S)<\infty. \]

均匀指各可测子区域的概率与度量成正比，即等度量区域等可能：

\[ P(A)=\frac{m(A)}{m(S)},\qquad A\subseteq S. \]

空间	使用的度量	英文
线段／区间	长度	length
平面区域	面积	area
空间区域	体积	volume

分子、分母使用同种度量；零度量边界不影响概率。

单点概率都为零不代表均匀；须比较区域概率。无限直线、无限平面不满足有限总度量条件，不能直接套公式。

简单例子与零概率事件

在 \(S=[0,1]\) 上均匀取一个数：

\[ P([u,v])=v-u\qquad(0\le u\le v\le1). \]

单点 \(\{0.3\}\) 非空但概率为零；\([u,v]\)、\((u,v)\) 等只差零概率端点。

在 \(S=[0,2]\times[0,1]\) 上均匀投点。对其中面积为 \(q\) 的区域 \(A\)，

\[ P(A)=\frac q2. \]

面积比成立的依据是均匀投点的模型，不能把所有维恩图的面积都当作概率。

蒲丰投针问题（Buffon's Needle Problem）

试验与条件

平面上画有一组平行直线，相邻直线的间距为 \(a>0\)。随机投下一根长度为 \(b\) 的针，设 \(0<b<a\)。求针与任意一条直线相交的概率。

假设：中点垂直位置与方向角独立、均匀，使联合参数空间均匀；“随手投针”本身不足以保证。

用两个参数表示位置关系

定义

• \(x\)：针的中点到最近一条平行线的距离，\(0\le x\le a/2\)。
• \(\varphi\)：针与平行线的方向夹角，取 \(0\le\varphi<\pi\)。

是否相交只依赖 \(x,\varphi\)，省略沿平行线的坐标，取参数空间

\[ S=\{(x,\varphi):0\le x\le a/2,\ 0\le\varphi<\pi\}. \]

参数矩形面积为 \(a\pi/2\)，区别于无限物理平面。

自绘。左：相交条件；右：参数空间中的相交区域。来源与许可。

相交条件

半根针在垂直于平行线方向上的投影长度为 \((b/2)\sin\varphi\)。针能触及最近直线，当且仅当

\[ x\le\frac b2\sin\varphi. \]

因此相交事件为

\[ A=\left\{(x,\varphi):0\le\varphi<\pi,\ 0\le x\le\frac b2\sin\varphi\right\}. \]

\(b<a\) 保证曲线不超出矩形高度 \(a/2\)；接触是否算相交不影响概率。

用面积比计算概率

\[ m(A)=\int_0^{\pi}\frac b2\sin\varphi\,\mathrm d\varphi=b. \]

所以

\[ \boxed{P(A)=\frac{m(A)}{m(S)}=\frac{b}{a\pi/2}=\frac{2b}{a\pi}.} \]

短针公式要求 \(b<a\)；概率随针长增加、线距减小而增大，仅依赖长度比。

投针与随机模拟（Random Simulation / Monte Carlo Method）

若投针 \(n\) 次，其中 \(m\) 次相交，则用频率 \(m/n\) 近似概率，

\[ \frac mn\approx\frac{2b}{a\pi} \quad\Longrightarrow\quad \pi\approx\frac{2bn}{am}\qquad(m>0). \]

这是蒙特卡洛方法（Monte Carlo method）的早期实例。估计要求 \(m>0\)，有限次结果仅为近似。

模拟：在参数矩形均匀生成 \((x,\varphi)\)，按 \(x\le(b/2)\sin\varphi\) 计数。不能改成均匀生成两个端点，否则针长、方向分布均改变。

物理投针只需已知 \(b/a\)；计算机可由均匀 \(u\in[0,1)\) 生成 \(\varphi=\pi u\)，但这已使用 \(\pi\)，只能演示原理。

易错点

• 先验证均匀性与有限正总度量，再取度量比。
• 投针距离上限是 \(a/2\)，垂直投影用半针长 \(b/2\)。
• 积分区域是参数矩形，不是无限物理平面。

参考资料

第二节课课堂识别约 34:39–52:59；同目录补充截图 ppt_030–ppt_043。