04_傅里叶级数

一、三角函数系与傅里叶系数

1. 三角函数系的正交性

三角函数系 \(\{1, \cos x, \sin x, \dots, \cos nx, \sin nx, \dots\}\) 在区间 \([-\pi, \pi]\) 上正交：

交叉项积分均为0：不同频率的正弦、余弦相乘，或同频率的正弦与余弦相乘，在 \([-\pi, \pi]\) 上的积分全为0。
平方项积分非0：

\[ \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 nx dx = \int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 nx dx = \pi \quad (n \ge 1) \]

\[ \int_{-\pi}^{\pi} 1^2 dx = 2\pi \]

2. \(2\pi\) 周期函数的傅里叶级数

设 \(f(x)\) 以 \(2\pi\) 为周期且在 \([-\pi, \pi]\) 上可积，其傅里叶级数定义为：

\[ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) \]

傅里叶系数 (Euler-Fourier 公式)：

\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx dx \quad (n \ge 0) \]

\[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx dx \quad (n \ge 1) \]

二、预备理论

1. 贝塞尔 (Bessel) 不等式

对于 \([-\pi, \pi]\) 上的可积函数 \(f(x)\)，其傅里叶系数满足：

\[ \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n^2 + b_n^2) \le \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^2(x) dx \]

2. 黎曼-勒贝格 (Riemann-Lebesgue) 引理

由贝塞尔不等式直接推导，可积函数 \(f(x)\) 的傅里叶系数在 \(n \to \infty\) 时必趋于0：

\[ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \]

推论1：

\[ \lim_{n \to \infty} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx dx = 0 \]

\[ \lim_{n \to \infty} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx dx = 0 \]

推论2：

若 \(f\) 在 \([0, \pi]\) 上可积，则 \(\lim_{n \to \infty} \int_0^{\pi} f(x) \sin(n+\frac{1}{2})x dx = 0\)
若 \(f\) 在 \([-\pi, 0]\) 上可积，则 \(\lim_{n \to \infty} \int_{-\pi}^0 f(x) \sin(n+\frac{1}{2})x dx = 0\)

3. 狄利克雷核 (Dirichlet Kernel)

傅里叶级数部分和的积分表示中的核心函数：

\[ D_n(t) = \frac{1}{2} + \sum_{k=1}^n \cos kt = \frac{\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)t}{2\sin\frac{t}{2}} \quad (t \neq 0) \]

\[ D_n(t) = \begin{cases} \frac{\sin(n+\frac{1}{2})t}{2\sin\frac{t}{2}}, & t \in [-\pi, \pi] \setminus \{0\} \\ n+\frac{1}{2}, & t=0 \text{ (由极限求得)} \end{cases} \]

重要性质：

\[ \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} D_n(t) dt = \frac{1}{2} \]

三、傅里叶级数的收敛定理

1. 狄利克雷 (Dirichlet) 收敛定理

若 \(f(x)\) 以 \(2\pi\) 为周期，且在 \([-\pi, \pi]\) 上按段可导（或按段光滑），则其傅里叶级数处处收敛，且收敛值为：

\[ \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) = \frac{f(x+0) + f(x-0)}{2} \]

(即：在连续点收敛于 \(f(x)\) 本身，在间断点收敛于左右极限的平均值)

2. 单点收敛的广义导数判定法

若 \(f(x)\) 在点 \(x\) 处的左右极限 \(f(x-0)\)、\(f(x+0)\) 存在，且广义左、右导数均存在，则傅里叶级数在该点收敛于 \(\frac{f(x+0) + f(x-0)}{2}\)。

3. 一致收敛定理

若 \(f(x)\) 是以 \(2\pi\) 为周期的连续函数，且在 \([-\pi, \pi]\) 上按段光滑，则其傅里叶级数在 \(\mathbb{R}\) 上一致收敛于 \(f(x)\)。

(判别依据：Weierstrass 优级数判别法，若 \(\sum(|a_n| + |b_n|)\) 收敛，则三角级数一致收敛)。

4. 导数的傅里叶系数

若 \(f(x)\) 光滑且满足 \(f(-\pi) = f(\pi)\)，则其导数 \(f'(x)\) 的傅里叶系数 \(a_n', b_n'\) 与原系数满足：

\[ a_0' = 0, \quad a_n' = n b_n, \quad b_n' = -n a_n \]

四、任意周期与半区间的展开

1. \(2l\) 周期函数的展开

若 \(f(x)\) 的周期为 \(2l\)，展开公式调整为：

\[ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos \frac{n\pi x}{l} + b_n \sin \frac{n\pi x}{l} \right) \]

系数公式：

\[ a_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \cos \frac{n\pi x}{l} dx \quad (n \ge 0) \]

\[ b_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \sin \frac{n\pi x}{l} dx \quad (n \ge 1) \]

2. 奇偶函数的化简

偶函数 (余弦级数)：\(b_n = 0\)，仅含常数项和余弦项。

\[ a_n = \frac{2}{l} \int_0^l f(x) \cos \frac{n\pi x}{l} dx \]
奇函数 (正弦级数)：\(a_n = 0\)，仅含正弦项。

\[ b_n = \frac{2}{l} \int_0^l f(x) \sin \frac{n\pi x}{l} dx \]

3. 函数在半区间 \([0, l]\) 上的展开

在实际问题中，定义在 \([0, l]\) 的函数可通过延拓化为全区间展开：

求余弦级数：作偶延拓 \(\tilde{f}(x) = f(|x|)\)。
求正弦级数：作奇延拓 \(\tilde{f}(x) = \text{sgn}(x)f(|x|)\) (且常规定 \(\tilde{f}(0)=0\))。