03_幂级数

一、基本概念

1. 一般形式与标准形式

1. 阿贝尔第一定理（收敛域结构）

若 \(\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\) 在 \(x = \xi \ (\xi \neq 0)\) 处收敛，则在 \(|x| < |\xi|\) 处绝对收敛。
若在 \(x = \eta\) 处发散，则在 \(|x| > |\eta|\) 处必发散。

2. 收敛半径 \(R\) 的计算

设 \(A = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}\)（根值法）或 \(A = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|\)（比值法）：

3. 求解收敛域的标准策略

1. 阿贝尔第二定理与一致收敛性

2. 和函数 \(f(x)\) 的三大性质

设 \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\) 的收敛半径 \(R > 0\)，和函数为 \(f(x)\)：

连续性：\(f(x)\) 在其整个收敛域上连续。
逐项可积性：在收敛域内的任意闭区间上可逐项积分。积分后收敛半径 \(R\) 不变（但端点可能由发散变为收敛）。
逐项可导性：在收敛开区间 \((-R, R)\) 内可无限次逐项求导。求导后收敛半径 \(R\) 不变（但端点可能由收敛变为发散）。且 \(a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\)。

1. 代数运算

设 \(\sum a_n x^n\) 和 \(\sum b_n x^n\) 的收敛半径分别为 \(R_a, R_b\)，令 \(R = \min\{R_a, R_b\}\)。在 \(|x| < R\) 内：

线性运算：\(\sum ( \lambda a_n \pm \mu b_n ) x^n = \lambda \sum a_n x^n \pm \mu \sum b_n x^n\)
柯西乘积：\((\sum a_n x^n)(\sum b_n x^n) = \sum c_n x^n\)，其中 \(c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}\)。
阿贝尔应用：若常数项级数 \(\sum a_n, \sum b_n, \sum c_n\) 均收敛，且 \(c_n\) 满足上述卷积，则 \(\sum c_n = (\sum a_n)(\sum b_n)\)。

2. 唯一性定理

1. 展开的充要条件与充分条件

充要条件：\(f(x)\) 展开为泰勒级数的充要条件是泰勒余项的极限为零，即 \(\lim_{n \to \infty} R_n(x) = 0\)。
充分条件（导数一致有界）：若在 \(U(x_0, r)\) 内存在常数 \(M > 0\)，使得对足够大的 \(n\) 恒有 \(|f^{(n)}(x)| \le M\)，则 \(f(x)\) 可展开。

2. 麦克劳林多项式的三种余项（\(x_0 = 0\)）

拉格朗日型：\(R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}, \quad 0 < \theta < 1\)
柯西型：\(R_n(x) = \frac{1}{n!} f^{(n+1)}(\theta x) (1-\theta)^n x^{n+1}, \quad 0 < \theta < 1\)
积分型：\(R_n(x) = \frac{1}{n!} \int_0^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^n dt\)

函数 f(x)	展开式	收敛域
\(e^x\)	\(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots\)	\((-\infty, +\infty)\)
\(\sin x\)	\(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots\)	\((-\infty, +\infty)\)
\(\cos x\)	\(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots\)	\((-\infty, +\infty)\)
\(\frac{1}{1+x}\)	\(\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots\)	\((-1, 1)\)
\(\ln(1+x)\)	\(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1} x^{n+1} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots\)	\((-1, 1]\)
\(\arctan x\)	\(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots\)	\([-1, 1]\)
\(\arcsin x\)	\(x + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\)	\([-1, 1]\)
\((1+x)^\alpha\)	\(1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!} x^n\)	见下方端点说明

关于 \((1+x)^\alpha\) 收敛域的补充说明：

设 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，则必存在多项式序列 \(\{P_n(x)\}\)，使得当 \(n \to \infty\) 时，\(P_n(x)\) 在 \([a, b]\) 上一致收敛于 \(f(x)\)。