已整理 22-23 春夏期末（除最后两问）、23-24 春夏期末（除最后一题）、24-25 春夏期末（除最后一题）
基础/技巧
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求极限函数： \(n \to \infty\) 时的函数极限
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不等式的放缩技巧
- 构造中间项与三角不等式： \(|A - B| = |A - C + C - B| \le |A - C| + |C - B|\) 这一基础放缩技巧。
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向量的叉乘计算
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基本初等函数的积分、 定积分的分步积分法
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积分限全是常数，且被积函数能分离变量（化为各自独立函数的乘积）时，累次积分可转化为单变量积分的乘积。
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分段点/奇点的偏导数求法： 对于在某点表达式发生变化或含有根号、绝对值的函数，求偏导数必须回到一元导数的定义去求，不能直接套用求导公式（因为直接求导在分母为0时无意义）
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可微性的必要条件
- 可微 \(\Rightarrow\) 连续、 可微 \(\Rightarrow\) 偏导数存在、 可微 \(\Rightarrow\) 任意方向的方向导数存在
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可微性的充分条件
- 偏导数连续 \(\Rightarrow\) 可微
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级数的拆分： 将复杂的系数化简为基本初等函数的级数形式。如： \(S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \left(n + \frac{1}{n}\right) x^n = \sum_{n=1}^{\infty} n x^n + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}\)
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等比级数： 掌握 \(\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}\) 及其变形 \(\sum_{n=1}^{\infty} x^n = \frac{x}{1-x}\)。
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变上限积分求导
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定积分的对称性质： \(\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \,\mathrm{d}x = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) \,\mathrm{d}x\)
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遇到 \(\sqrt{1 \pm \sin x}\) 或 \(\sqrt{1 \pm \cos x}\)，利用倍角/半角公式凑成完全平方。凑出平方后，千万记得结合积分区间判断正负
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三角级数部分和一致有界的放缩技巧
对于形如 \(A_n(x) = \sum_{k=1}^n \cos(kx)\) 或 \(\sum_{k=1}^n \sin(kx)\) 的三角和式，证明其在特定闭区间上一致有界：
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化积为和（裂项相消）：
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技巧： 为求和式乘以辅助因子 \(2\sin\frac{x}{2}\)（或适当变形的三角项）。
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目的： 利用积化和差公式将级数转化为形式上两两抵消的数列和，从而求出部分和的闭式表达式。
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结果形式： 最终化为包含形如 \(\frac{\sin(\cdot)\cos(\cdot)}{\sin(x/2)}\) 的紧凑分式。
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常数化分子（绝对放缩）：
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技巧： 利用三角函数的有界性 \(|\sin \alpha| \le 1, |\cos \beta| \le 1\)。
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目的： 消除表达式中随 \(n\) 增长的变量，将部分和放大至一个仅与 \(x\) 有关的上界，即 \(|A_n(x)| \le \frac{1}{|\sin(x/2)|}\)。
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内闭定界（区间避奇）：
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技巧： 在考察的一致收敛区间（通常为 \((0, 2\pi)\)）内，任取闭子区间 \([a, b] \subset (0, 2\pi)\)。
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目的： 避开使分母 \(\sin\frac{x}{2} = 0\) 的奇点（\(x=0, 2\pi\)）。利用闭区间连续函数必有非零最小值的性质，确定常数 \(m = \min(\sin\frac{a}{2}, \sin\frac{b}{2}) > 0\)。
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最终结论： 得到完全独立于 \(n\) 和 \(x\) 的一致上界 \(M = \frac{1}{m}\)，从而证明一致有界性。
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题设中“差分级数 \(\sum(b_{n+1}-b_n)\) 绝对收敛”，隐性地传达两个重要信息：一是差分的和有限（可用于放缩控制），二是数列 \(\{b_n\}\) 自身必定有界。
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二重极限的计算与放缩技巧： 考察如何证明一个二重极限为0。最常用的方法是“有界函数 \(\times\) 无穷小”或者使用极坐标替换放缩
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“化二元为一元”的思想： 证明多元函数问题时，最常用的技巧就是固定一个变量，将另一个变量看作一元函数进行处理。
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拉格朗日中值定理： 题目中出现“导数/偏导数有界”的条件，通常利用中值定理将“函数值的差”转化为“自变量的差 \(\times\) 导数”，从而利用有界性进行放缩。
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数列极限与等价无穷小
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闭区间上连续函数的有界性定理
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变限积分的绝对值放缩： \(\left| \int_a^b g(t) dt \right| \le \int_a^b |g(t)| dt\)
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数学归纳法： 处理递推积分序列（尤其是涉及阶乘出现时）
考点梳理
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函数列一致收敛的定义
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二元函数可微的定义（全增量与偏导数、高阶无穷小之间的关系式，对应的极限判别式） \(\times 2\)
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函数项级数一致收敛的判别法 \(\times 3\)
| 判别法 | 判别条件 | 用途与应用场景 |
|---|---|---|
| 必要条件 | \(u_n(x) \rightrightarrows 0 \ (n \to \infty, x \in D)\) | 用于证伪。通项不一致趋于0，则级数必定不一致收敛。 |
| 魏尔斯特拉斯 判别法 (M-判别法) |
\(\exists\) 收敛正项常数级数 \(\sum M_n\)， 使得 \(\forall n, \forall x \in D\), \(\vert u_n(x)\vert \le M_n\) |
判定绝对且一致收敛的首选。寻找一个不含 \(x\) 的强收敛常数级数进行放缩。 |
| 狄利克雷判别法 (Dirichlet) |
① \(\sum u_n(x)\) 部分和一致有界； ② \(v_n(x)\) 关于 \(n\) 单调； ③ \(v_n(x) \rightrightarrows 0\)。 |
处理非绝对收敛的乘积级数 \(\sum u_nv_n\)。常用于含正余弦震荡因子的级数。（分出震荡因子和衰减因子） |
| 阿贝尔判别法 (Abel) |
① \(\sum u_n(x)\) 部分和一致收敛； ② \(v_n(x)\) 关于 \(n\) 单调； ③ \(v_n(x)\) 一致有界。 |
处理乘积级数 \(\sum u_nv_n\)。已知一部分一致收敛，另一部分只需单调有界即可作为“稳定调节因子”。 |
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常数项级数收敛的 Cauchy 准则
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阿贝尔变换（完整表达式和片段截取）
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二重极限的计算
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多元复合函数的链式求导法则 \(\times 2\)
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克莱罗定理（二阶混合偏导数相等定理）要求混合偏导数存在且连续
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曲线/曲面的切线/切平面与法向量/法线/法平面（隐函数）
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多元函数连续性的定义
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第一型曲线积分（对弧长）的计算 \(\times 2\)
- 参数方程化法： \(\int_L f(x,y,z)\mathrm{d}s = \int_{\alpha}^{\beta} f(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2 + z'(t)^2} \mathrm{d}t\)。要熟练掌握弧长微元 \(\mathrm{d}s\) 的计算。
- 显式方程： \(\mathrm{d}s = \sqrt{1 + (y')^2} \,\mathrm{d}x\)
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第二型曲线积分（对坐标）的计算
- 格林公式 \(\oint_{\partial D} P dx + Q dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy\) （注意方向 -- 对区域右手定则/沿线左侧、曲线的积分方向） \(\times 3\)
- 先试探偏导函数 \(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\)
- 补线法（构造闭合曲线，结果再减去补的）
- 格林公式 \(\oint_{\partial D} P dx + Q dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy\) （注意方向 -- 对区域右手定则/沿线左侧、曲线的积分方向） \(\times 3\)
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第二型曲面积分（对坐标）的计算
- 高斯公式 \(\iint_{\partial \Omega} P dydz + Q dzdx + R dxdy = \iiint_\Omega \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dxdydz\) \(\times 2\)
- 补面法（注意方向与原曲面协调）-- \(\iint_\Sigma = \iiint_\Omega - \iint_{\Sigma_1}\)
- 利用几何体的对称性快速消去某些积分项
- 注意曲面侧的正负号判定
- 高斯公式 \(\iint_{\partial \Omega} P dydz + Q dzdx + R dxdy = \iiint_\Omega \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dxdydz\) \(\times 2\)
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二重积分的计算
- 极坐标变换
- 雅可比行列式 \(|J| = r\)，微元变为 \(r dr d\theta\)（\(\mathrm{dx}\mathrm{dy} = r\,\mathrm{dr}\mathrm{d}\theta\)）
- 注意 \(r , \theta\) 的积分区域
- 极点在区域外部（\(\theta\) 型）：\(\int_\alpha^\beta d\theta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f \cdot r dr\)。
- 极点在区域内部：\(\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{r(\theta)} f \cdot r dr\)。
- 极点在区域边界上：\(\int_\alpha^\beta d\theta \int_0^{r(\theta)} f \cdot r dr\)。
- 带绝对值的二重积分： 绝对值无法直接积分，要找到使得绝对值内部为 \(0\) 的分界线（通常是一条曲线），将积分区域一分为二。
- 二重积分化为累次积分（X/Y型区域）
- 极坐标变换
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三重积分的计算
- 球坐标变换（适用球体、球壳、或顶点在原点的圆锥面） \(\times 3\)
- 雅可比行列式 \(|J| = r^2\sin\varphi\)，微元 \(dV = r^2\sin\varphi dr d\varphi d\theta\)
- 柱坐标变换
- 雅可比行列式 \(|J| = r\)， 微元 \(dV = r dr d\theta dz\)
- 球坐标变换（适用球体、球壳、或顶点在原点的圆锥面） \(\times 3\)
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方向导数的定义与计算 \(\lim_{t \to 0^+} \frac{f(x_0+t\cos\alpha, y_0+t\sin\alpha) - f(x_0,y_0)}{t}\)
- 方向导数计算公式 \(\frac{\partial f}{\partial l} = f_x\cos\alpha + f_y\sin\alpha\) 的前提条件是函数在该点可微
- 计算方向导数必须适用单位方向向量
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证明函数在某点不可微
- F1： 不同路径趋近的极限值不同 --> 极限不存在 --> 函数不连续
- F2： 证明偏导数不存在（不能用求导公式，必须回到一元函数的偏导数定义去求：\(f_x(x_0,y_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x, y_0) - f(x_0,y_0)}{\Delta x}\)
- F3： 利用全微分定义构造极限（假设检验点为原点 \((0,0)\)）： \(L = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{f(x,y) - f(0,0) - [f_x(0,0)x + f_y(0,0)y]}{\sqrt{x^2+y^2}}\)，证明该极限不为0或不存在 -- 特殊路径趋近
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幂级数
- 计算收敛域
- \(A = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}\)（根值法） 或 \(A = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|\)（比值法）， \(R = \frac{1}{A}\)
- 单独检验端点
- 分析性质
- 逐项可导（端点可能由收敛变发散）： 用于处理系数中带有 \(n\) （分子上）的级数，如 \(\sum n x^n\)
- 逐项可积（端点可能由发散变收敛）： 用于处理系数中带有 \(1/n\) （分母上）的级数，如 \(\sum \frac{x^n}{n}\)
- 计算收敛域
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隐函数 \(\times 2\)
- 存在唯一性与连续性：1. \(F(x_0, y_0) = 0\)；2. \(F\) 及 \(F_y\) 在邻域内连续；3. 因变量偏导数非零 \(F_y(x_0, y_0) \neq 0\)
- 可微性： 在存在性条件下证明 \(F_x\) 在邻域内连续
- 隐函数求导
- 一阶导数公式为 \(f'(x) = -\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}\)
- 隐函数求导（两边同时对某变量求导） -- 注意复合函数求导的链式法则
- 多元隐函数定理
- \(n\) 元方程 \(F(x_1, \dots, x_n, y) = 0\)
- 初始点处 \(F=0\)、所有一阶偏导数连续，且对因变量的偏导数 \(F_y \neq 0\)，则局部存在唯一连续可微的隐函数 \(y = f(x_1, \dots, x_n)\)。其偏导数公式为：\(f_{x_i} = -\frac{F_{x_i}}{F_y}\)
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傅里叶级数 \(\times 3\)
- 半区间延拓化为全区间展开 -- 根据级数形式（只有正弦项/余弦项）对函数进行奇/偶延拓
- 任意周期函数的傅里叶系数公式
- 系数公式： \(a_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \cos \frac{n\pi x}{l} dx \quad (n \ge 0)\)， \(b_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \sin \frac{n\pi x}{l} dx \quad (n \ge 1)\)
- 展开公式： \(f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos \frac{n\pi x}{l} + b_n \sin \frac{n\pi x}{l} \right)\)
- 奇/偶函数（正/余弦级数）的系数公式
- 化为半区间积分
- 余弦级数： \(a_n = \frac{2}{l} \int_0^l f(x) \cos \frac{n\pi x}{l} dx\)，\(b_n = 0\)
- 正弦级数： \(a_n = 0\)，\(b_n = \frac{2}{l} \int_0^l f(x) \sin \frac{n\pi x}{l} dx\)
- 狄利克雷收敛定理 -- 若 \(f(x)\) 以 \(2\pi\) 为周期，且在 \([-\pi, \pi]\) 上按段可导（或按段光滑），则其傅里叶级数处处收敛，且收敛值为： \(\frac{f(x+0) + f(x-0)}{2}\) （对连续点就是 \(f(x)\)） \(\times 2\)
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一致收敛下的连续性 -- 一致收敛的连续函数列，其极限函数必连续。对于级数，各项连续且一致收敛，则和函数连续。
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条件极值与拉格朗日乘数法 \(\times 2\)
- 在 \(m\) 个约束条件 \(\varphi_k(x_1, \dots, x_n) = 0\) 之下求目标函数 \(f(x_1, \dots, x_n)\) 的极值
- 构造拉格朗日函数：\(L = f + \sum_{k=1}^m \lambda_k \varphi_k\)（\(\lambda_k\) 为乘子）
- 各变量偏导为零：\(L_{x_i} = 0 \quad (1 \le i \le n)\)， 各乘子偏导为零（即原约束）：\(\varphi_j = 0 \quad (1 \le j \le m)\)。
- 计算技巧： 如把原变量用 \(\lambda\) 表示，再带入原约束。