00_向量代数

向量的向量积（外积 / 叉积）

向量积的映射为 \(V \times V \to V\)，即 \((\vec{a}, \vec{b}) \mapsto \vec{a} \times \vec{b}\)。结果是一个新的向量。

1. 大小与方向：

   • 大小：\(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle\)。

   • 方向：与 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 都垂直，并且 \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{a} \times \vec{b}\) 构成右手坐标系（右手定则）。

2. 性质：

   • 反交换律：\(\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}\)。

   • 双线性：\((k\vec{a}) \times \vec{b} = k(\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \times (k\vec{b})\) 以及 \((\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}\)。

   • 不满足结合律：\((\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} \neq \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})\)。

   • （特殊恒等式：\((\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) - \vec{b} \times (\vec{a} \times \vec{c})\)。）

向量的混合积

对于三个向量 \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\)，混合积定义为 \(\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})\)，通常记作 \((\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})\)。

• 几何意义：混合积的绝对值表示以 \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) 为棱构成的平行六面体的体积。

• \(\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = (\vec{b}, \vec{c}, \vec{a}) = (\vec{c}, \vec{a}, \vec{b})\)

• \((\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = 0 \Leftrightarrow \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) 三个向量共面。

计算

• 向量积的行列式计算：

  \[ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = \left( \begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix}, -\begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} \right) \]

• 混合积的行列式计算：

  $$ \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \ a_2 & b_2 & c_2 \ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} $$

• 方向余弦：如果向量的坐标为 \((a, b, c)\)，则其方向余弦分别为：

  \[ \cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},\quad \cos\beta = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},\quad \cos\gamma = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \]

  且满足恒等式：

  \[ \cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1 \]