08_重积分

一、重积分的基础理论

1. 基本概念

重积分的本质：通过“分割、求和、取极限”三步定义。即 \(\lim_{||T|| \to 0} \sum_{i=1}^m f(P_i) \sigma(D_i)\)，其中分割细度 \(||T||\) 为子区域直径的最大值。
可积的必要条件：若函数 \(f\) 在有界闭域上可积，则 \(f\) 必须是有界的。

2. 达布和与可积判别准则

3. 零面积集与 Lebesgue 定理

线性性质：\(\int_E (\alpha f + \beta g) d\sigma = \alpha \int_E f d\sigma + \beta \int_E g d\sigma\)。
区域可加性：若两区域交集为零面积集，则总积分为两区域积分之和。
非负性与保号性：若 \(f \ge g\)，则其积分也满足相应的不等号关系。
面积定义：集合 \(E\) 的面积 \(\sigma(E) = \iint_E 1 d\sigma\)。集合可求面积的充要条件是其边界的面积为零。
积分中值定理：若 \(f, g\) 连续且 \(g\) 不变号，则 \(\int_K f g d\sigma = f(\xi) \int_K g d\sigma\)。特别地，\(\int_K f d\sigma = f(\xi) \sigma(K)\)。

1. 直角坐标系 (Fubini 定理)

X 型区域：上下边界为函数 \(y_1(x) \le y \le y_2(x)\)，左右边界为常数 \(a \le x \le b\)。
- 公式：\(\iint_E f d\sigma = \int_a^b dx \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y) dy\)。
Y 型区域：左右边界为函数 \(x_1(y) \le x \le x_2(y)\)，上下边界为常数 \(c \le y \le d\)。
- 公式：\(\iint_E f d\sigma = \int_c^d dy \int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x,y) dx\)。
解题技巧：当某一次序下的内层积分原函数无法用初等函数表示时，需通过绘制区域图形交换积分次序来求解。

2. 变量代换与雅可比行列式

雅可比行列式本质：刻画了二维平面映射过程中面积微元的局部放大率。\(J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\)。
一般代换公式：\(\iint_D f(x,y) dxdy = \iint_\Delta f(x(u,v), y(u,v)) |J| dudv\)。

3. 极坐标变换

标准极坐标：\(x = r\cos\theta, y = r\sin\theta\)。雅可比行列式 \(|J| = r\)，微元变为 \(r dr d\theta\)。
定限方法：
- 极点在区域外部（\(\theta\) 型）：\(\int_\alpha^\beta d\theta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f \cdot r dr\)。
- 极点在区域内部：\(\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{r(\theta)} f \cdot r dr\)。
- 极点在区域边界上：\(\int_\alpha^\beta d\theta \int_0^{r(\theta)} f \cdot r dr\)。
广义极坐标（针对椭圆）：\(x = ar\cos\theta, y = br\sin\theta\)。雅可比行列式 \(|J| = abr\)。
极点平移：若圆心在 \((x_0, y_0)\)，则令 \(x = x_0 + r\cos\theta, y = y_0 + r\sin\theta\)，此时 \(|J| = r\) 保持不变。

1. 直角坐标系

“先一后二”法（投影法/柱体法）：适用于上下曲面方程易确定的情况。
- 公式：\(\iiint_\Omega f dV = \iint_D dxdy \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z) dz\)。
“先二后一”法（截面法/切片法）：适用于截面面积容易求解的情况。
- 公式：\(\iiint_\Omega f dV = \int_e^h dz \iint_{D_z} f(x,y,z) dxdy\)。

2. 柱坐标变换

3. 球坐标变换

坐标关系：\(x = r\sin\varphi\cos\theta, y = r\sin\varphi\sin\theta, z = r\cos\varphi\)。（\(\varphi\) 为与 \(z\) 轴正向夹角，\(\theta\) 为水平方位角）。
雅可比行列式与微元：\(|J| = r^2\sin\varphi\)，微元 \(dV = r^2\sin\varphi dr d\varphi d\theta\)。
适用场景：积分区域为球体、球壳、或顶点在原点的圆锥面。
广义球坐标（针对椭球）：\(x = ar\sin\varphi\cos\theta, y = br\sin\varphi\sin\theta, z = cr\cos\varphi\)。雅可比行列式 \(|J| = abcr^2\sin\varphi\)。

4. 补充常见曲面

双曲抛物面 (马鞍面)：标准方程 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = z\)。形式为 \(z = xy\) 的曲面本质上也是双曲抛物面。