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03_商空间

一、 陪集与商空间的代数结构

  • 陪集 (Coset)：设 \(U\) 是 \(V\) 的子空间，对任意 \(v \in V\)，其陪集定义为 \(v + U = \{v + u \mid u \in U\}\)。

  • 陪集等价条件：两个陪集相等 \(v_1 + U = v_2 + U \iff v_1 - v_2 \in U\)。

  • 商空间：由所有陪集构成的集合称为 \(V\) 模 \(U\) 的商空间，记作 \(V/U = \{v + U \mid v \in V\}\)。

  • 商空间的线性运算：加法定义为 \((a + U) + (b + U) = (a + b) + U\)。

  • 商空间的数乘：数乘定义为 \(\lambda(a + U) = \lambda a + U\)。

  • 商空间的零元素：零元素即为子空间 \(U\) 本身（即 \(0 + U\)）。

二、 自然映射及其性质

  • 自然映射定义：定义映射 \(\pi : V \to V/U\)，规则为 \(\pi(v) = v + U\)。

  • 线性性质：\(\pi\) 必定是一个线性映射。

  • 满射性质：\(\pi\) 的像空间为整个商空间，即 \(\text{range } \pi = V/U\)。

  • 核空间：自然映射的核为原空间的子空间 \(U\)，即 \(\ker \pi = U\)。

三、 商空间的维数公式

  • 维数关系：商空间的维数等于原空间维数减去子空间维数，公式为 \(\dim V/U = \dim V - \dim U\)。

四、 诱导映射与第一同构定理

  • 诱导映射定义：设 \(T\) 是从 \(V\) 到 \(W\) 的线性映射，定义诱导映射 \(\tilde{T}: V/\text{null } T \to W\)，其作用规则为 \(\tilde{T}(v + \text{null } T) = Tv\)。

  • \(\tilde{T}\) 的映射性质：诱导映射 \(\tilde{T}\) 是一个良定义的线性映射。

  • 单射性质：\(\tilde{T}\) 必然是一个单射，其核只包含零元。

  • 值域等价：诱导映射的值域等于原映射的值域，即 \(\text{range } \tilde{T} = \text{range } T\)。

  • 第一同构定理：商空间与原映射的像空间线性同构，即 \(V/\text{null } T \cong \text{range } T\)。

  • 秩-零化度定理：由第一同构定理的维数相等关系，可直接得出核心公式 \(\dim V = \dim(\text{null } T) + \dim(\text{range } T)\)。