00_向量代数

一、向量

向量（Vector）的定义
向量的相等：两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 相等，必须同时满足：
- 大小相同：$|\vec{a}| = |\vec{b}|$。
- 方向一致：两条有向线段平行且同向。
所有的三维几何向量构成一个定义在实数域 $\mathbb{R}$ 上的三维线性空间 $V$（八条性质）。

空间 $V$ 是一个欧氏空间，在 $V$ 上定义了内积。

代数定义：映射 $V \times V \to \mathbb{R}$，即 $(\vec{a}, \vec{b}) \mapsto \vec{a} \cdot \vec{b}$，满足：
- 正定性：$\vec{a} \cdot \vec{a} \ge 0$，且 $\vec{a} \cdot \vec{a} = 0 \Leftrightarrow \vec{a} = \vec{0}$。
- 对称性：$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$。
- 双线性：$(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$ 以及 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$。
几何定义：对于任意向量 $\vec{a}, \vec{b}$，它们的内积定义为：

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} \triangleq |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle \]
正交判定：$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Leftrightarrow \cos\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle = 0 \Leftrightarrow \vec{a} \perp \vec{b}$（非零向量互相垂直）。

向量积的映射为 $V \times V \to V$，即 $(\vec{a}, \vec{b}) \mapsto \vec{a} \times \vec{b}$。结果是一个新的向量。

大小与方向：
- 大小：$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle$。
- 方向：与 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 都垂直，并且 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{a} \times \vec{b}$ 构成右手坐标系（右手定则）。
性质：
- 反交换律：$\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}$。
- 双线性：$(k\vec{a}) \times \vec{b} = k(\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \times (k\vec{b})$ 以及 $(\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$。
- 不满足结合律：$(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} \neq \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$。
- 特殊恒等式：$(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) - \vec{b} \times (\vec{a} \times \vec{c})$。

对于三个向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$，混合积定义为 $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$，通常记作 $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$。

几何意义：混合积的绝对值表示以 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 为棱构成的平行六面体的体积。
轮换对称性：
```
$$
```
\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = (\vec{b}, \vec{c}, \vec{a}) = (\vec{c}, \vec{a}, \vec{b}) $$
共面判定：
- $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = 0 \Leftrightarrow \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 三个向量共面。
- 这也意味着其中某个向量可以由其余两个向量进行线性表示。

单位直角坐标系下的计算：

设 $\vec{a} = (a_1, b_1, c_1)$, $\vec{b} = (a_2, b_2, c_2)$, $\vec{c} = (a_3, b_3, c_3)$。
- 距离公式：已知点 $P_1(x_1, y_1, z_1)$ 和 $P_2(x_2, y_2, z_2)$，则向量模长：
  
  \[ |\vec{P_1P_2}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]
- 向量积的行列式计算：
  
  \[ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = \left( \begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix}, -\begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} \right) \]
- 混合积的行列式计算：
  
  \[ \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \]
- 方向余弦：如果向量的坐标为 $(a, b, c)$，则其方向余弦分别为：
  
  \[ \cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},\quad \cos\beta = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},\quad \cos\gamma = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \]
  
  且满足恒等式：
  
  \[ \cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1 \]