05_多项式

一、 基本概念与核心性质

• 多项式的唯一性：两个多项式相等 \(\iff\) 它们的次数相同，且各项对应系数完全相等。

• 多项式与多项式函数：在无限域（如 \(\mathbb{R}, \mathbb{C}\)）上两者一一对应；在有限域上，不同的多项式可能对应相同的多项式函数。

• 多项式的次数：在无零因子的系数域中，满足 \(\partial(f(x)g(x)) = \partial(f(x)) + \partial(g(x))\)。

• 多项式恒等定理：若 \(\forall z \in \mathbb{F}\) 都有 \(f(z) = g(z)\)，则 \(f(x)\) 与 \(g(x)\) 的各项系数对应相等（前提域 \(\mathbb{F}\) 元素足够多）。

  • 等价推论：恒为 \(0\) 的多项式，其各项系数全为 \(0\)。

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二、 除法定理与多项式的根

• 带余除法（欧几里得除法）：

  对于 \(p(x), q(x) \in \mathbb{F}[x]\) 且 \(q(x) \neq 0\)，存在且唯一多项式 \(h(x)\) 和 \(r(x)\) 满足：

  \[ p(x) = h(x)q(x) + r(x) \]

  条件：\(r(x) = 0\) 或 \(\partial(r(x)) < \partial(q(x))\)。

• 余数定理：多项式 \(p(x)\) 除以一次式 \((x - \lambda)\) 的余数为常数 \(p(\lambda)\)，即：

  \[ p(x) = s(x)(x - \lambda) + p(\lambda) \]

• 因式定理：\((x - \lambda)\) 是 \(p(x)\) 的因式 \(\iff p(\lambda) = 0\)（即 \(\lambda\) 是方程的根）。

• 根的界限：非零多项式的根的总数（计算重根）不超过该多项式的次数。

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三、 不同数域上的因式分解

• 代数基本定理：任意非常数多项式在复数域 \(\mathbb{C}\) 内必定至少有一个根。

• 复数域 \(\mathbb{C}\) 上的分解：

  任意 \(n\) 次多项式在 \(\mathbb{C}\) 上可以唯一分解为 \(n\) 个一次因式的乘积：

  \[ f(x) = a_n(x-x_1)(x-x_2)\dots(x-x_n) \]

• 实系数多项式的共轭复根定理：

  若复数 \(z_j\) 是实系数多项式 \(P(x)\) 的根，则其共轭复数 \(\overline{z_j}\) 也必然是 \(P(x)\) 的根。（虚根成对出现）

• 实数域 \(\mathbb{R}\) 上的分解：

  任意多项式在 \(\mathbb{R}\) 上可以唯一分解为一次因式与不可约二次因式（判别式 \(\Delta = b^2 - 4c < 0\)）的乘积。

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四、 有理数域上的不可约性

• 可约性等价定理：整系数多项式在有理数域 \(\mathbb{Q}[x]\) 上可约 \(\iff\) 该多项式在整数环 \(\mathbb{Z}[x]\) 上可约。

• 高斯引理：两个本原多项式（系数最大公约数为 \(1\)）的乘积依然是本原多项式。

• 爱森斯坦判别法（Eisenstein's Criterion）：

  设整系数多项式 \(P(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0\)。若存在一个素数 \(p\) 满足以下三个条件：

  1. \(p \nmid a_n\) （不整除最高次项系数）

  2. \(p \mid a_i\) （整除其余所有低次项系数，其中 \(0 \le i \le n-1\)）

  3. \(p^2 \nmid a_0\) （其平方不整除常数项）

     结论：多项式 \(P(x)\) 在有理数域 \(\mathbb{Q}\) 上必然不可约。