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05_多元函数的极限与连续

一、 \(\mathbb{R}^n\) 欧氏空间与拓扑基础

1. 欧氏距离与不等式

  • 欧氏距离：\(\rho(x, y) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}\)。满足非负性、对称性、三角不等式。

  • 柯西-施瓦茨不等式 (Cauchy-Schwarz)：\(\sum_{i=1}^n a_i b_i \le \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)^{1/2} \cdot \left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)^{1/2}\)。

  • 三角不等式：\(\rho(x, y) \le \rho(x, z) + \rho(z, y)\)。

2. 点集拓扑核心概念

  • 邻域：\(\delta\) 邻域 \(U(x, \delta)\)，去心 \(\delta\) 邻域 \(U^\circ(x, \delta)\)。

  • 点与集合的关系：

    • 内点：存在邻域完全包含于集合内。（全体内点构成内部 \(int(E)\)）

    • 外点：存在邻域与集合交集为空。

    • 边界点：任意邻域内既有集合内的点，也有集合外的点。（全体边界点构成边界 \(\partial E\)）

    • 聚点 (极限点)：任意去心邻域内都有集合中的点。（全体聚点构成导集 \(E'\)）

    • 孤立点：属于集合，但存在一个邻域内只有它自己。

  • 闭包：\(\bar{E} = E \cup E' = E \cup \partial E\)。（包含 \(E\) 的最小闭集）

3. 开集、闭集与有界集

  • 开集：所有点都是内点（\(int(E) = E\)）。

  • 闭集：包含其所有聚点（\(E' \subset E\) 或 \(\bar{E} = E\)）。

  • 对偶关系：\(E\) 是开集 \(\iff E^c\) 是闭集。

  • 运算性质：

    • 开集：任意并是开集，有限交是开集。

    • 闭集：任意交是闭集，有限并是闭集。

  • 有界集：能被某个有限半径的球完全包含。等价于集合的直径 \(d(E) = \sup \{ \rho(x, y) : x, y \in E \} < +\infty\)。

二、 序列与极限理论

1. 序列的收敛

  • 按分量收敛：序列 \(\{x_m\}\) 在 \(\mathbb{R}^n\) 中收敛 \(\iff\) 其每一个分量序列都在 \(\mathbb{R}\) 中收敛。

  • 性质：

    1. 唯一性： 若极限存在，则极限是唯一的。

    2. 线性性质： 设 \(\{x_m\}_{m=1}^\infty\) 与 \(\{y_m\}_{m=1}^\infty\) 分别收敛于 \(x_0\) 与 \(y_0\)。则对于 \(\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}\)，有：

          $$

      \lim_{m \to \infty} (\alpha x_m + \beta y_m) = \alpha x_0 + \beta y_0 $$

    3. 有界性： 若极限存在，则 \(\{x_m\}\) 是有界序列。

    4. 按分量收敛： 设 \(\{x_m\}_{m=1}^\infty\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的序列，其中 \(x_m = (x_1^{(m)}, \dots, x_n^{(m)})\)。设 \(x_0 = (x_1^{(0)}, \dots, x_n^{(0)}) \in \mathbb{R}^n\)。则：

      \[ \lim_{m \to \infty} x_m = x_0 \iff \forall 1 \le i \le n, \ \lim_{m \to \infty} x_i^{(m)} = x_i^{(0)} \quad \cdots (1) \]

  • 聚点等价刻画：\(x\) 是 \(E\) 的聚点 \(\iff\) 存在 \(E \setminus \{x\}\) 中的序列收敛于 \(x\)。

2. 空间基本定理

  • 柯西收敛准则：序列收敛 \(\iff\) 序列是柯西序列（基本序列）。

  • 闭集套定理：非空闭集嵌套（\(E_{m+1} \subset E_m\)）且直径趋于 0 \(\implies\) 存在唯一公共交点。

  • Bolzano-Weierstrass 定理：

    • 序列形式：有界点列必有收敛子列。

    • 集合形式：有界无限点集必有聚点。

  • 紧集的等价刻画 (Heine-Borel 定理)：

    \(E\) 是有界闭集 \(\iff E\) 是紧集（任何开覆盖都有有限子覆盖） \(\iff E\) 具备序列紧致性。

  • 序列紧致性：任取包含于 \(E\) 的序列 \(\{x_m\}\)，都有收敛子列 \(\{x_{m_k}\}\)，并且其极限属于 \(E\)。

三、 多元函数的极限

1. 重极限的定义与性质

  • 定义 (\(\varepsilon-\delta\))：\(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0\)，当 \(x \in U^\circ(x_0, \delta) \cap D\) 时，有 \(|f(x) - a| < \varepsilon\)。

  • 路径无关性（重极限存在的充要条件）：极限存在等价于沿任意子集（路径） 趋近时的极限都存在且相等。

    • 若沿某路径极限不存在，或沿两条不同路径极限值不同，则重极限不存在。

  • 海涅定理 (归结原则)：函数极限存在 \(\iff\) 对应任意趋近于 \(x_0\) 的点列，函数值数列都收敛于同一极限。

2. 重极限 vs 累次极限

  • 概念：重极限是点在空间中任意逼近（\(\lim_{(x,y) \to (x_0, y_0)}\)），累次极限是逐次对单个变量求极限（如 \(\lim_{y \to y_0} \lim_{x \to x_0}\)）。

  • 逻辑关系：

    • 重极限存在与累次极限存在互不蕴含。

    • 若重极限与某一累次极限同时存在，则两者必定相等。

    • 若两个累次极限都存在但不相等，则重极限必定不存在。

    • 若重极限与两个累次极限都存在，则三者全部相等。

四、 多元函数的连续性

1. 连续的定义与判断

  • 一点连续：极限值等于函数值 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\)。

  • 孤立点：函数在其定义域的任何孤立点上必定连续。

  • 偏连续 vs 联合连续（易错点辨析）：

    • 函数在某点连续（联合连续） \(\implies\) 各偏函数在该点连续（偏连续）。

    • 各偏函数在该点连续 \(\nRightarrow\) 函数在该点连续。（反例常出现在十字交叉路径连续，但斜线路径极限不存在的情况）。

2. 向量值函数与复合函数

  • 向量值函数：映射到 \(\mathbb{R}^m\) 的函数。其连续性等价于所有分量函数都连续。

  • 复合函数连续性：若内层函数 \(g\) 在 \(x_0\) 连续，外层函数 \(f\) 在 \(g(x_0)\) 连续，则复合函数 \(f \circ g\) 在 \(x_0\) 连续。

3. 有界闭集（紧集）上连续函数的性质

若 \(f\) 在有界闭集 \(D\) 上连续，则必定满足：

  • 有界性：\(f\) 在 \(D\) 上有界。

  • 极值定理：\(f\) 必能在 \(D\) 上取得最大值和最小值。

  • Cantor 定理：\(f\) 在 \(D\) 上一致连续。

五、 连通区域与介值定理

1. 连通性与区域的概念

  • 连通 vs 折线连通：

    • 一般情况：折线连通 \(\implies\) 连通。

    • 对于开集：连通 \(\iff\) 折线连通。

  • 区域定义：

    • 开区域：既是开集又是折线连通的集合。

    • 闭区域：开区域的闭包（含所有边界点）。

    • 区域：泛指开区域及其部分/全部边界点的集合。

2. 介值定理

  • 定理内容：若函数 \(f\) 在区域 \(D\) 上连续，且取得两个不同的值 \(f(x_1) < f(x_2)\)，则对于介于这两者之间的任意值 \(\mu\)，区域 \(D\) 内至少存在一点 \(x_0\) 使得 \(f(x_0) = \mu\)。