07_隐函数定理及其应用

一、隐函数的概念

1. 定义

设函数 $F: D \to \mathbb{R}$（其中 $D \subset \mathbb{R}^2$）。若存在区间 $I, J \subset \mathbb{R}$，使得 $I \times J \subset D$，并且对于 $\forall x \in I$，存在唯一的 $y \in J$，使得方程：

\[ F(x,y) = 0 \]

成立。则称该方程确定了以 $I$ 为定义域、$J$ 为值域的一个隐函数。

若将上述唯一对应的 $y$ 记作 $y = f(x)$，则在区间 $I$ 上恒有恒等式：

\[ F(x, f(x)) = 0, \quad \forall x \in I \]

2. 并非所有方程都能确定隐函数

反例： $F(x,y) = x^2 + y^2 + 1 = 0, \quad (x,y) \in \mathbb{R}^2$。此方程无实数解，不能确定任何隐函数。
正例 1： $F(x,y) = x^2 + y^2 - 1 = 0, \quad (x,y) \in \mathbb{R}^2$。

若取 $I = [-1, 1], J = [0, 1]$，则 $\forall x \in I$，存在唯一的 $y = \sqrt{1-x^2} \in J$ 使得方程成立。此时方程确定了上半圆的隐函数。
正例 2： $F(x,y) = x - y - \frac{1}{2}\sin y = 0, \quad (x,y) \in \mathbb{R}^2$。

取 $I = \mathbb{R}, J = \mathbb{R}$，对于 $\forall x \in I$，方程可化为 $x = y + \frac{1}{2}\sin y$。由于右侧关于 $y$ 严格单调递增，故必存在唯一的 $y$ 与之对应，即确定了隐函数 $y = f(x)$。

二、隐函数定理之一：存在唯一性与连续性

定理 1： 设 $D \subset \mathbb{R}^2$ 是开集，函数 $F: D \to \mathbb{R}$ 连续，点 $(x_0, y_0) \in D$。假设满足以下三个条件：

初始条件： $F(x_0, y_0) = 0$
偏导数存在且连续： $F$ 在 $D$ 内存在连续的偏导数 $F_y(x,y)$
偏导数非零： $F_y(x_0, y_0) \neq 0$

则存在常数 $\alpha, \beta > 0$，使得矩形邻域 $(x_0-\alpha, x_0+\alpha) \times (y_0-\beta, y_0+\beta) \subset D$，且满足：

存在唯一性： $\forall x \in (x_0-\alpha, x_0+\alpha)$，存在唯一的 $y \in (y_0-\beta, y_0+\beta)$ 使得 $F(x,y) = 0$。将该 $y$ 记作 $y = f(x)$，则有 $f(x_0) = y_0$，且 $F(x, f(x)) \equiv 0$。
连续性： 隐函数 $y = f(x)$ 在区间 $(x_0-\alpha, x_0+\alpha)$ 内连续。

证明过程：

第 1 步：证明存在性与唯一性

不妨设 $F_y(x_0, y_0) > 0$。

由于 $F_y$ 在 $D$ 内连续，根据连续函数的局部保号性，存在 $\beta > 0$，使得闭矩形域 $[x_0-\beta, x_0+\beta] \times [y_0-\beta, y_0+\beta] \subset D$，且在该区域内恒有 $F_y(x,y) > 0$。

这意味着，对于任意固定的 $x \in [x_0-\beta, x_0+\beta]$，将 $F(x,y)$ 视为关于 $y$ 的一元函数，它在 $[y_0-\beta, y_0+\beta]$ 上是严格单调递增且连续的。

特别地，当 $x = x_0$ 时，结合初始条件 $F(x_0, y_0) = 0$ 以及严格单调性，可得：

\[ F(x_0, y_0-\beta) < 0 \quad \text{且} \quad F(x_0, y_0+\beta) > 0 \]

利用 $F$ 在点 $(x_0, y_0-\beta)$ 及 $(x_0, y_0+\beta)$ 处的连续性，存在 $\alpha \in (0, \beta)$，使得当 $x \in (x_0-\alpha, x_0+\alpha)$ 时，保号性依然成立：

\[ F(x, y_0-\beta) < 0 \quad \text{且} \quad F(x, y_0+\beta) > 0 \]

任取 $x \in (x_0-\alpha, x_0+\alpha)$，由于 $F(x,y)$ 作为 $y$ 的函数在 $[y_0-\beta, y_0+\beta]$ 上连续且两端异号，根据连续函数的零点定理，并在严格递增的保证下，存在唯一的 $y \in (y_0-\beta, y_0+\beta)$ 使得 $F(x,y) = 0$。

记该唯一解为 $y = f(x)$，则 $F(x, f(x)) = 0$ 成立，且 $f(x_0) = y_0$。

第 2 步：证明隐函数的连续性

任取点 $\bar{x} \in (x_0-\alpha, x_0+\alpha)$，记 $\bar{y} = f(\bar{x})$。由第 1 步结论知 $\bar{y} \in (y_0-\beta, y_0+\beta)$。

任给 $\varepsilon > 0$（取 $\varepsilon$ 充分小，使得 $[\bar{y}-\varepsilon, \bar{y}+\varepsilon] \subset (y_0-\beta, y_0+\beta)$）。

由于 $F(\bar{x}, \bar{y}) = 0$ 且 $F(x,y)$ 关于 $y$ 严格递增，有：

\[ F(\bar{x}, \bar{y}-\varepsilon) < 0 \quad \text{且} \quad F(\bar{x}, \bar{y}+\varepsilon) > 0 \]

利用 $F$ 在点 $(\bar{x}, \bar{y}-\varepsilon)$ 及 $(\bar{x}, \bar{y}+\varepsilon)$ 的连续性，存在 $\delta > 0$，使得 $(\bar{x}-\delta, \bar{x}+\delta) \subset (x_0-\alpha, x_0+\alpha)$，且当 $x \in (\bar{x}-\delta, \bar{x}+\delta)$ 时，恒有：

\[ F(x, \bar{y}-\varepsilon) < 0 \quad \text{且} \quad F(x, \bar{y}+\varepsilon) > 0 \]

对于上述区间内的任一 $x$，将 $F(x,y)$ 视作 $y$ 的一元函数，在区间 $[\bar{y}-\varepsilon, \bar{y}+\varepsilon]$ 上再次应用零点定理与严格单调性，可知存在唯一的 $y \in (\bar{y}-\varepsilon, \bar{y}+\varepsilon)$ 使得 $F(x,y) = 0$。

由于唯一性，这个 $y$ 必然就是 $f(x)$。

这表明：当 $|x - \bar{x}| < \delta$ 时，有 $|f(x) - f(\bar{x})| = |y - \bar{y}| < \varepsilon$。

根据连续性的 $\varepsilon-\delta$ 定义，隐函数 $y = f(x)$ 在点 $\bar{x}$ 处连续。由于 $\bar{x}$ 的任意性，函数在整个区间内连续。

三、隐函数定理之二：可微性

定理 2： 在定理 1 的条件成立的基础上，如果函数 $F$ 在 $D$ 内还存在连续的偏导数 $F_x(x,y)$，则隐函数 $y = f(x)$ 在 $(x_0-\alpha, x_0+\alpha)$ 内连续可导，且其导数公式为：

\[ f'(x) = -\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)} \quad (\text{其中 } y = f(x)) \]

分析思路（公式的推导）：

在方程 $F(x, f(x)) = 0$ 两边同时对 $x$ 求全导数，利用多元复合函数链式法则：

\[ F_x(x,y) + F_y(x,y) \cdot f'(x) = 0 \]

只要 $F_y(x,y) \neq 0$，即可解得导数公式。

严格证明过程：

任取固定的 $x \in (x_0-\alpha, x_0+\alpha)$。给 $x$ 一个充分小的增量 $\Delta x$，使得 $x+\Delta x$ 仍在邻域内。

记 $y = f(x)$，对应的函数增量为 $\Delta y = f(x+\Delta x) - f(x)$。于是有 $y+\Delta y = f(x+\Delta x)$。

因为 $f(x)$ 满足隐函数定义，有：

\[ F(x, y) = 0 \quad \text{且} \quad F(x+\Delta x, y+\Delta y) = 0 \]

考虑两点 $A(x, y)$ 和 $B(x+\Delta x, y+\Delta y)$。由于分析的是局部性质，两点间的连线线段完全包含在开集 $D$ 内。对函数 $F$ 应用多元函数的微分中值定理，存在 $\theta \in (0,1)$，使得：

\[ 0 = F(x+\Delta x, y+\Delta y) - F(x, y) = F_x(x+\theta\Delta x, y+\theta\Delta y)\Delta x + F_y(x+\theta\Delta x, y+\theta\Delta y)\Delta y \]

对上式变形，求解差商（由于局部 $F_y \neq 0$）：

\[ \frac{\Delta y}{\Delta x} = -\frac{F_x(x+\theta\Delta x, y+\theta\Delta y)}{F_y(x+\theta\Delta x, y+\theta\Delta y)} \]

令 $\Delta x \to 0$。由于隐函数 $y=f(x)$ 是连续的，必然有 $\Delta y \to 0$。

又因为偏导数 $F_x$ 与 $F_y$ 都是连续函数，取极限时可以穿透函数符号：

\[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = -\frac{F_x(x, y)}{F_y(x, y)} \]

公式得证。由于 $F_x, F_y$ 连续且分母不为零，$f'(x)$ 也是连续的，即隐函数连续可微。

注：

1. 证明核心的本质

在存在唯一性及连续性的证明中，我们本质上利用的是：在点 $(x_0, y_0)$ 的某个局部邻域内，函数 $F(x,y)$ 关于变量 $y$ 具有严格单调性。条件 $F_y(x_0, y_0) \neq 0$ 与偏导数的连续性共同确保了这一严格单调性的存在，而并非定理成立的唯一可能途径。

2. 变量的对称性

对于方程 $F(x,y) = 0$，自变量 $x$ 与 $y$ 在数学结构上具有完全相同的地位。

如果在定理 1 的条件中，我们将条件 (ii) 和 (iii) 替换为关于 $x$ 的偏导数：

$F$ 在 $D$ 内存在连续的偏导数 $F_x(x,y)$
$F_x(x_0, y_0) \neq 0$

则结论可以对称地修改为：

存在唯一的一个连续函数 $x = g(y)$，其中 $y$ 属于 $y_0$ 的某个邻域，且满足 $F(g(y), y) = 0$ 及相应的所有可微性质，其导数为 $g'(y) = -\frac{F_y(x,y)}{F_x(x,y)}$。

四、多元隐函数定理

将二元方程确定一元隐函数的结论推广到 $n+1$ 个变量的情形。

1. 定理陈述

设 $D \subset \mathbb{R}^{n+1}$ 是开集，函数 $F: D \to \mathbb{R}$ 连续。已知点 $P_0(x_1^0, x_2^0, \dots, x_n^0, y^0) \in D$，并满足以下三个条件：

初始条件： $F(x_1^0, \dots, x_n^0, y^0) = 0$
偏导数存在且连续： $F$ 在 $D$ 内存在连续的偏导数 $F_{x_1}, F_{x_2}, \dots, F_{x_n}, F_y$。
对因变量的偏导数非零： $F_y(x_1^0, \dots, x_n^0, y^0) \neq 0$

则存在 $\alpha, \beta > 0$，使得邻域 $U((x_1^0, \dots, x_n^0), \alpha) \times U(y^0, \beta) \subset D$，并且：

存在唯一性： 对于 $\forall (x_1, \dots, x_n) \in U((x_1^0, \dots, x_n^0), \alpha)$，存在唯一的 $y \in U(y^0, \beta)$，使得 $F(x_1, \dots, x_n, y) = 0$。

将该 $y$ 记作隐函数 $y = f(x_1, \dots, x_n)$，则有 $y^0 = f(x_1^0, \dots, x_n^0)$，且恒等式 $F(x_1, \dots, x_n, f(x_1, \dots, x_n)) \equiv 0$ 成立。
连续性： 隐函数 $y = f(x_1, \dots, x_n)$ 在上述邻域内连续。
可微性： 隐函数具有连续的偏导数，且偏导数公式为：

\[ f_{x_i} = -\frac{F_{x_i}(x_1, \dots, x_n, y)}{F_y(x_1, \dots, x_n, y)}, \quad i = 1, 2, \dots, n \]

(推导方式：对方程两边直接关于 $x_i$ 求导，利用链式法则 $F_{x_i} + F_y \cdot f_{x_i} = 0$ 即得)。

2. 隐函数的高阶导数求法

若已知 $F(x,y)=0$ 确定了隐函数 $y=f(x)$，且 $F$ 具有二阶连续偏导数，求 $y''(x)$ 通常有以下两种方法：

方法一（利用公式继续求导）： 已知 $y'(x) = -\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}$，直接对该式右端关于 $x$ 求导（注意 $y$ 也是 $x$ 的函数，需用复合函数求导法则与商的求导法则）。
方法二（方程两边直接隐式求导）：

由一阶求导恒等式 $F_x + F_y \cdot y'(x) = 0$，两边再次关于 $x$ 求导：

\[ F_{xx} + F_{xy}y'(x) + [F_{yx} + F_{yy}y'(x)]y'(x) + F_y \cdot y''(x) = 0 \]

将已知的一阶导 $y'(x)$ 代入，由于 $F_y \neq 0$，解出 $y''(x)$ 即可。

3. 多元隐函数求导实例

例 1： 在上半椭球面 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \quad (z>0)$ 上，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。

解：令 $F(x,y,z) = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} - 1$。

因为 $z>0$，有 $F_z = \frac{2z}{c^2} > 0 \neq 0$，故方程确实确定了隐函数 $z = f(x,y)$。

在原方程两边对 $x$ 求偏导：

\[ \frac{2x}{a^2} + \frac{2z}{c^2}\frac{\partial z}{\partial x} = 0 \implies \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{c^2 x}{a^2 z} \]

同理，对方程两边对 $y$ 求偏导得：

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{c^2 y}{b^2 z} \]

例 2： 设方程 $x^2 + y^2 + z^2 = 4z$ 确定了 $z$ 为 $x, y$ 的函数，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$。

解：

(1) 对方程两边关于 $x$ 求偏导：

\[ 2x + 2z \frac{\partial z}{\partial x} = 4 \frac{\partial z}{\partial x} \implies x + (z-2)\frac{\partial z}{\partial x} = 0 \]

解得一阶偏导数：$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{2-z}$。

(2) 对恒等式 $x + (z-2)\frac{\partial z}{\partial x} = 0$ 两边再次关于 $x$ 求偏导（运用乘积求导法则）：

\[ 1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + (z-2)\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 0 \]

解得：

\[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -\frac{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2}{z-2} \]

将 $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{2-z}$ 代入上式化简：

\[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -\frac{1 + \frac{x^2}{(2-z)^2}}{z-2} = \frac{(2-z)^2 + x^2}{(2-z)^3} \]

五、隐函数方程组定理

由单个方程确定单个隐函数，推广到由多个方程构成的方程组确定多个隐函数的系统。这在本质上是线性方程组克莱姆法则（Cramer's Rule）在非线性系统局部线性化上的推广。

1. 雅可比行列式 (Jacobian Determinant) 记号

对于 $m$ 个函数 $F_1, \dots, F_m$ 和 $m$ 个变量 $y_1, \dots, y_m$，定义它们关于这些变量的雅可比行列式为：

\[ \frac{\partial(F_1, F_2, \dots, F_m)}{\partial(y_1, y_2, \dots, y_m)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial y_1} & \frac{\partial F_1}{\partial y_2} & \dots & \frac{\partial F_1}{\partial y_m} \\ \frac{\partial F_2}{\partial y_1} & \frac{\partial F_2}{\partial y_2} & \dots & \frac{\partial F_2}{\partial y_m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial F_m}{\partial y_1} & \frac{\partial F_m}{\partial y_2} & \dots & \frac{\partial F_m}{\partial y_m} \end{vmatrix} \]

2. 隐函数组定理

设 $D \subset \mathbb{R}^{n+m}$ 是开集，存在 $m$ 个连续函数 $F_1, \dots, F_m: D \to \mathbb{R}$。点 $P_0(x_1^0, \dots, x_n^0, y_1^0, \dots, y_m^0) \in D$。假设满足以下条件：

初始条件： 对于 $1 \le i \le m$，$F_i(P_0) = 0$。
偏导数存在且连续： $\forall 1 \le i \le m$，$F_i$ 在 $D$ 内存在所有变量的连续偏导数 $\frac{\partial F_i}{\partial x_j}$ 和 $\frac{\partial F_i}{\partial y_k}$。
雅可比行列式非零： 在点 $P_0$ 处，关于待求因变量 $y_1, \dots, y_m$ 的雅可比行列式不为零：

\[ \frac{\partial(F_1, \dots, F_m)}{\partial(y_1, \dots, y_m)} \bigg|_{P_0} \neq 0 \]

则存在 $\alpha, \beta > 0$，使得在点 $P_0$ 的局部邻域内，方程组：

\[ \begin{cases} F_1(x_1, \dots, x_n, y_1, \dots, y_m) = 0 \\ \vdots \\ F_m(x_1, \dots, x_n, y_1, \dots, y_m) = 0 \end{cases} \]

能唯一确定 $m$ 个连续且具有连续偏导数的隐函数：

\[ y_k = f_k(x_1, \dots, x_n), \quad 1 \le k \le m \]

3. 隐函数组的偏导数矩阵形式

为了求隐函数关于自变量 $x_j$ 的偏导数，将上述 $m$ 个隐函数代回方程组，在恒等式两边同时对 $x_j$ 求偏导。利用多元复合函数的链式法则，可得到一个包含 $m$ 个方程的线性方程组。

写成矩阵形式为：

\[ \begin{pmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial y_1} & \dots & \frac{\partial F_1}{\partial y_m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial F_m}{\partial y_1} & \dots & \frac{\partial F_m}{\partial y_m} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \dots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1} & \dots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n} \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial x_1} & \dots & \frac{\partial F_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial F_m}{\partial x_1} & \dots & \frac{\partial F_m}{\partial x_n} \end{pmatrix} \]

由于雅可比行列式（左侧第一个矩阵的行列式）不为零，可以通过求逆矩阵或克莱姆法则解出所有未知的偏导数 $\frac{\partial y_k}{\partial x_j}$。

六、隐函数组的特殊情形与计算实例

1. 两方程两变量系统 ($n=2, m=2$)

设方程组 $\begin{cases} F(x, y, u, v) = 0 \\ G(x, y, u, v) = 0 \end{cases}$ 在点 $P_0$ 处满足定理条件，且关于 $(u,v)$ 的雅可比行列式非零：

\[ J = \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, v)} = \begin{vmatrix} F_u & F_v \\ G_u & G_v \end{vmatrix} \neq 0 \]

则方程组确定了隐函数 $u = u(x,y)$ 和 $v = v(x,y)$。

对原方程组两边关于 $x$ 求偏导：

\[ \begin{cases} F_x + F_u u_x + F_v v_x = 0 \\ G_x + G_u u_x + G_v v_x = 0 \end{cases} \]

视 $u_x, v_x$ 为未知数，利用克莱姆法则求解：

\[ u_x = -\frac{\begin{vmatrix} F_x & F_v \\ G_x & G_v \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} F_u & F_v \\ G_u & G_v \end{vmatrix}} = -\frac{\frac{\partial(F, G)}{\partial(x, v)}}{\frac{\partial(F, G)}{\partial(u, v)}} \]

\[ v_x = -\frac{\begin{vmatrix} F_u & F_x \\ G_u & G_x \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} F_u & F_v \\ G_u & G_v \end{vmatrix}} = -\frac{\frac{\partial(F, G)}{\partial(u, x)}}{\frac{\partial(F, G)}{\partial(u, v)}} \]

同理可求出关于 $y$ 的偏导数 $u_y, v_y$。

2. 变量相依性探讨实例

例：讨论方程组

\[ \begin{cases} F(x,y,u,v) = u^2 + v^2 - x^2 - y = 0 \\ G(x,y,u,v) = -u + v - xy + 1 = 0 \end{cases} \]

在点 $P_0(2, 1, 1, 2)$ 附近能确定怎样的隐函数组。

分析：

在 $P_0$ 处，方程中有四个变量。选出任意两个作为因变量，取决于它们对应的雅可比行列式在 $P_0$ 处是否为零。共有 $C_4^2 = 6$ 个可能的雅可比行列式。

经计算，在 $P_0$ 点处，$\frac{\partial(F, G)}{\partial(x, v)} = 0$。

结论： 由于该雅可比行列式为零，在 $P_0$ 点附近，不能唯一确定以 $y, u$ 为自变量、$x, v$ 为因变量的隐函数组。除此组合外，如果其余五个雅可比行列式非零，则任意另外两个变量均可作为另外两个变量的隐函数。

若要进一步求偏导数（例如求 $x=x(u,v), y=y(u,v)$ 的偏导数），只需根据定理将方程组两边分别关于 $u$ 和 $v$ 求偏导即可求解。

七、复杂隐函数方程组求导综合例题

在实际问题中，隐函数往往与复合函数结合在一起。求解此类问题时，需要对方程组的两边同时对指定自变量求导，并灵活运用链式法则。

例题： 设 $y = y(x)$ 及 $z = z(x)$ 是由方程组

\[ \begin{cases} z = x f(x+y) \\ F(x, y, z) = 0 \end{cases} \]

所确定的隐函数组。其中函数 $f$ 和 $F$ 分别具有连续的导数和偏导数，求 $\frac{dz}{dx}$。

解题思路： 对方程组中的两个方程分别关于自变量 $x$ 求全导数。

对第一个方程求导，注意应用乘积求导法则与链式法则：
```
$$
```
\frac{dz}{dx} = f(x+y) + x \cdot f'(x+y) \left(1 + \frac{dy}{dx}\right) $$
对第二个隐函数方程求导，此时 $y$ 和 $z$ 都是 $x$ 的函数：
```
$$
```
F_x + F_y \cdot \frac{dy}{dx} + F_z \cdot \frac{dz}{dx} = 0 $$
将上述两式视为关于未知数 $\frac{dy}{dx}$ 与 $\frac{dz}{dx}$ 的线性方程组。由第二式解出 $\frac{dy}{dx}$ 代入第一式，或直接联立消去 $\frac{dy}{dx}$，即可最终求得 $\frac{dz}{dx}$ 的表达式。

八、逆映射定理 (Inverse Mapping Theorem)

1. 逆映射的定义

设 $U, V \subset \mathbb{R}^n$，映射 $f: U \to V$ 且为单射（一一对应），记为 $\vec{y} = f(\vec{x})$。

此时可定义映射 $g: f(U) \to U$，$y \mapsto x$，其中满足 $f(x)=y$。

满足以下条件：

$\forall x \in U$, 有 $g(f(x)) = x$
$\forall y \in f(U)$, 有 $f(g(y)) = y$

称 $y = f(x)$ 与 $x = g(y)$ 互为逆映射。

2. 逆映射定理（二维情形）

定理： 设 $D$ 是 $\mathbb{R}^2$ 中的开集，映射 $f: D \to \mathbb{R}^2$ 的坐标表示为：

\[ \begin{cases} u = \varphi(x,y) \\ v = \psi(x,y) \end{cases} \]

如果在点 $P_0(x_0, y_0)$ 的某个邻域内，$\varphi$ 和 $\psi$ 具有连续的一阶偏导数，并且在该点处的雅可比行列式不为零：

\[ J = \frac{\partial(\varphi, \psi)}{\partial(x, y)} \bigg|_{P_0} \neq 0 \]

令 $u_0 = \varphi(x_0, y_0), v_0 = \psi(x_0, y_0)$，记点 $Q_0(u_0, v_0)$。

则在点 $Q_0$ 的某个邻域 $U(Q_0, \alpha)$ 内，存在 $f$ 的唯一逆映射 $g$：

\[ \begin{cases} x = x(u,v) \\ y = y(u,v) \end{cases} \]

满足：

初始对应： $x_0 = x(u_0, v_0), y_0 = y(u_0, v_0)$。
可微性与偏导数公式： 逆映射 $g$ 在该邻域内具有连续的偏导数。其偏导数可通过求解原雅可比矩阵的逆矩阵获得：

\[ x_u = \frac{\psi_y}{J}, \quad y_u = -\frac{\psi_x}{J} \]

\[ x_v = -\frac{\varphi_y}{J}, \quad y_v = \frac{\varphi_x}{J} \]

(证明思路：构造辅助隐函数方程组 $\varphi(x,y)-u=0, \psi(x,y)-v=0$，对其分别关于 $u$ 和 $v$ 求偏导，利用克莱姆法则即可解出上述偏导数公式。)

3. 逆映射定理应用实例：极坐标变换

例题： 讨论直角坐标 $(x,y)$ 与极坐标 $(r, \theta)$ 之间的坐标变换公式：

\[ \begin{cases} x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \end{cases} \]

其中 $r \ge 0, \theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$（或任意一个 $2\pi$ 周期）。

分析：

计算该映射的雅可比行列式：

\[ \frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)} = \begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix} = r(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = r \]

根据逆映射定理，只要雅可比行列式不为零，即当 $r \neq 0$（排除了原点）时，该变换在局部必定存在唯一连续可微的逆映射。

逆映射（极坐标关于直角坐标的反解）可显式写为：

\[ r = \sqrt{x^2+y^2} \]

\[ \theta = \begin{cases} \arctan \frac{y}{x}, & x > 0 \\ \pi + \arctan \frac{y}{x}, & x < 0 \\ \frac{\pi}{2}, & x = 0 \text{ 且 } y > 0 \\ -\frac{\pi}{2}, & x = 0 \text{ 且 } y < 0 \end{cases} \]

九、隐函数定理的几何应用

利用隐函数定理及多元函数的微分学，可以便捷地求解空间或平面几何图元（曲线、曲面）的切线、法线等几何属性。

1. 平面曲线的切线与法线

设平面曲线 $L$ 由隐式方程给定：

\[ F(x,y) = 0 \]

已知点 $P_0(x_0, y_0) \in L$，即 $F(P_0) = 0$。假设 $F$ 在 $P_0$ 的某个邻域内有连续偏导数，且梯度向量不为零（即 $F_x(P_0)$ 与 $F_y(P_0)$ 不全为零）。

不妨设 $F_y(P_0) \neq 0$，由隐函数定理，曲线在局部确定了连续可微的函数 $y = f(x)$，且导数为 $f'(x_0) = -\frac{F_x(P_0)}{F_y(P_0)}$。

切线方程： $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \implies$

\[ F_x(P_0)(x - x_0) + F_y(P_0)(y - y_0) = 0 \]
法线方程： （法向与梯度 $(F_x, F_y)$ 平行）

\[ F_y(P_0)(x - x_0) - F_x(P_0)(y - y_0) = 0 \quad \text{或写为} \quad \frac{x-x_0}{F_x(P_0)} = \frac{y-y_0}{F_y(P_0)} \]

例题： 求笛卡尔叶形线 $2(x^3+y^3) - 9xy = 0$ 在点 $(2,1)$ 处的切线与法线方程。

解：

令 $F(x,y) = 2x^3 + 2y^3 - 9xy$，点 $P_0(2,1)$。

求偏导：

$F_x = 6x^2 - 9y \implies F_x(P_0) = 6(4) - 9(1) = 15$

$F_y = 6y^2 - 9x \implies F_y(P_0) = 6(1) - 9(2) = -12$

切线方程：$15(x-2) - 12(y-1) = 0 \implies \mathbf{5x - 4y - 6 = 0}$。

法线方程：$-12(x-2) - 15(y-1) = 0 \implies \mathbf{4x + 5y - 13 = 0}$。

2. 空间曲线的切线与法平面

空间曲线通常有两种表示方式：参数方程和一般方程（两曲面的交线）。

情形 (a)：参数方程表示

设空间曲线 $L$ 由连续可导的参数方程给出：$x = x(t), y = y(t), z = z(t)$。

对应点 $P_0(x(t_0), y(t_0), z(t_0))$。且切向量 $(x'(t_0), y'(t_0), z'(t_0)) \neq \vec{0}$。

切线方程： $\frac{x-x_0}{x'(t_0)} = \frac{y-y_0}{y'(t_0)} = \frac{z-z_0}{z'(t_0)}$
法平面方程： $x'(t_0)(x-x_0) + y'(t_0)(y-y_0) + z'(t_0)(z-z_0) = 0$

情形 (b)：一般方程表示（两曲面交线）

设空间曲线 $L$ 由方程组给出：

\[ \begin{cases} F(x,y,z) = 0 \\ G(x,y,z) = 0 \end{cases} \]

给定点 $P_0(x_0, y_0, z_0) \in L$。假设在此点处相关的偏导数连续，且关于 $y, z$ 的雅可比行列式 $\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)} \big|_{P_0} \neq 0$。

由隐函数组定理，该方程组在局部确定了 $y = f(x)$ 和 $z = g(x)$。

将其视作以 $x$ 为参数的参数方程：$x=x, y=f(x), z=g(x)$。

利用隐函数求导的克莱姆法则公式求出 $f'(x_0)$ 和 $g'(x_0)$：

\[ f'(x_0) = -\frac{\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,z)}}{\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}} = \frac{\frac{\partial(F,G)}{\partial(z,x)}}{\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}}, \quad g'(x_0) = -\frac{\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,x)}}{\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}} = \frac{\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)}}{\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}} \]

代入参数方程的切线公式并消去分母（即曲线切向量其实是两曲面法向量的叉乘方向），得到极其对称且优美的形式：

切线方程：

\[ \frac{x-x_0}{\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}(P_0)} = \frac{y-y_0}{\frac{\partial(F,G)}{\partial(z,x)}(P_0)} = \frac{z-z_0}{\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)}(P_0)} \]
法平面方程：

\[ \frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}(P_0)(x-x_0) + \frac{\partial(F,G)}{\partial(z,x)}(P_0)(y-y_0) + \frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)}(P_0)(z-z_0) = 0 \]

例题： 求球面 $x^2+y^2+z^2=50$ 与锥面 $x^2+y^2=z^2$ 所截出的交线在点 $(3,4,5)$ 处的切线与法平面方程。

解：

令 $F(x,y,z) = x^2+y^2+z^2-50, \quad G(x,y,z) = x^2+y^2-z^2$。

$P_0(3,4,5)$。计算偏导数：

$F_x=6, F_y=8, F_z=10$

$G_x=6, G_y=8, G_z=-10$

计算三个方向上的雅可比行列式：

$\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}(P_0) = \begin{vmatrix} 8 & 10 \\ 8 & -10 \end{vmatrix} = -80 - 80 = -160$

$\frac{\partial(F,G)}{\partial(z,x)}(P_0) = \begin{vmatrix} 10 & 6 \\ -10 & 6 \end{vmatrix} = 60 - (-60) = 120$

$\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)}(P_0) = \begin{vmatrix} 6 & 8 \\ 6 & 8 \end{vmatrix} = 48 - 48 = 0$

代入几何公式：

切线方程：

\[ \frac{x-3}{-160} = \frac{y-4}{120} = \frac{z-5}{0} \]

化简可写为系统形式：$\mathbf{\frac{x-3}{-4} = \frac{y-4}{3}, \quad z=5}$。（此线平行于 $xOy$ 平面）。

法平面方程：

\[ -160(x-3) + 120(y-4) + 0(z-5) = 0 \]

化简得：$\mathbf{4x - 3y = 0}$。

补充：空间曲线（一般方程表示）切向量的几何直观

接续上一节“空间曲线的切线与法平面”，对于由两曲面交线给出的空间曲线：

\[ \begin{cases} F(x,y,z) = 0 \quad (\text{曲面 } S_1) \\ G(x,y,z) = 0 \quad (\text{曲面 } S_2) \end{cases} \]

我们之前利用隐函数求导及雅可比行列式得出了其切向量的表达式。从几何直观上看，这一结果可以直接通过向量的叉乘得出：

设点 $P_0 \in L$，曲面 $S_1$ 在该点处的法向量为 $\vec{n}_F = (F_x, F_y, F_z)$，曲面 $S_2$ 在该点处的法向量为 $\vec{n}_G = (G_x, G_y, G_z)$。

由于曲线 $L$ 同时存在于 $S_1$ 和 $S_2$ 上，因此 $L$ 在 $P_0$ 处的切线必然同时位于这两个曲面的切平面内。这意味着曲线的切向量 $\vec{l}$ 同时垂直于这两个法向量 $\vec{n}_F$ 与 $\vec{n}_G$。

因此，切向量可以通过计算这两个法向量的叉积得到：

\[ \vec{l} = \vec{n}_F \times \vec{n}_G = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ F_x & F_y & F_z \\ G_x & G_y & G_z \end{vmatrix} = \left( \frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}, \frac{\partial(F,G)}{\partial(z,x)}, \frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)} \right) \]

这与前文通过代数求导得出的雅可比行列式形式完全一致，体现了代数与几何的高度统一。

3. 曲面的切平面与法线

探讨空间曲面在某一点的局部线性逼近，即切平面与法线方程。根据曲面的不同表示形式，可分为以下三种情形：

情形 (a)：显式方程表示（回顾）

设曲面 $S$ 由显式方程 $z = f(x,y)$ 确定，点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 在该曲面上。

若 $f$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处可微，则曲面在 $P_0$ 处的：

法向量： $\vec{n} = (f_x(x_0,y_0), f_y(x_0,y_0), -1)$
切平面方程： $z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)$
法线方程： $\frac{x-x_0}{f_x(x_0,y_0)} = \frac{y-y_0}{f_y(x_0,y_0)} = \frac{z-z_0}{-1}$

情形 (b)：隐式方程表示

设空间曲面 $S$ 由隐式方程给出：

\[ F(x,y,z) = 0 \]

已知点 $P_0(x_0, y_0, z_0) \in S$。假设 $F$ 在 $P_0$ 的某个邻域内连续可微，且梯度不为零（即 $\big(F_x^2 + F_y^2 + F_z^2\big) \big|_{P_0} \neq 0$）。

几何推导：

在曲面 $S$ 上任取一条过点 $P_0$ 的平滑曲线 $L$，设其参数方程为 $x=x(t), y=y(t), z=z(t)$，且在 $t=t_0$ 时经过 $P_0$ 点。

因为该曲线始终在曲面上，所以有恒等式：

\[ F(x(t), y(t), z(t)) \equiv 0 \]

对上式两边关于 $t$ 求导，利用链式法则：

\[ F_x \cdot x'(t) + F_y \cdot y'(t) + F_z \cdot z'(t) = 0 \]

特别地，在点 $P_0$（即 $t=t_0$）处：

\[ F_x(P_0)x'(t_0) + F_y(P_0)y'(t_0) + F_z(P_0)z'(t_0) = 0 \]

令向量 $\vec{n} = (F_x(P_0), F_y(P_0), F_z(P_0))$，曲线 $L$ 在 $P_0$ 处的切向量为 $\vec{T} = (x'(t_0), y'(t_0), z'(t_0))$。

上述等式表明内积 $\vec{n} \cdot \vec{T} = 0$，即向量 $\vec{n}$ 垂直于曲面上任意一条过 $P_0$ 点的曲线的切线。

由此可知，$\vec{n} = (F_x(P_0), F_y(P_0), F_z(P_0))$ 就是曲面 $S$ 在点 $P_0$ 处的法向量。

据此，可写出：

切平面方程：

\[ F_x(P_0)(x - x_0) + F_y(P_0)(y - y_0) + F_z(P_0)(z - z_0) = 0 \]
法线方程：

\[ \frac{x - x_0}{F_x(P_0)} = \frac{y - y_0}{F_y(P_0)} = \frac{z - z_0}{F_z(P_0)} \]

例题： 求曲面 $e^z - z + xy = 3$ 在点 $(2,1,0)$ 处的切平面与法线方程。

解：

令 $F(x,y,z) = e^z - z + xy - 3 = 0$，点 $P_0(2,1,0)$。

分别求偏导数并代入点 $P_0$：

$F_x = y \implies F_x(P_0) = 1$

$F_y = x \implies F_y(P_0) = 2$

$F_z = e^z - 1 \implies F_z(P_0) = e^0 - 1 = 0$

由此得到曲面在该点的法向量 $\vec{n} = (1, 2, 0)$。

切平面方程： $1(x - 2) + 2(y - 1) + 0(z - 0) = 0$，化简得 $\mathbf{x + 2y - 4 = 0}$。
法线方程： 形式上为 $\frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-0}{0}$。分母为 $0$ 的严谨表示法为平面交线方程组：

\[ \begin{cases} \frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{2} \\ z = 0 \end{cases} \]

情形 (c)：参数方程表示

在许多几何及物理问题中，曲面常由双参数方程给出：

\[ \begin{cases} x = x(u,v) \\ y = y(u,v) \\ z = z(u,v) \end{cases} \quad (u,v) \in D \subset \mathbb{R}^2 \]

设点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 对应于参数 $(u_0, v_0) \in D$。假设各函数具有连续偏导数，且在该点处的雅可比矩阵秩为 2（即保障此处是一个非退化的平滑曲面点）。

法向量的几何推导：

$u$-曲线： 保持 $v = v_0$ 不变，让 $u$ 变动，在曲面上得到一条经过 $P_0$ 的曲线。该曲线在 $P_0$ 处的切向量为对 $u$ 的偏导数：
```
$$
```
\vec{T}u = (x_u, y_u, z_u) \big| $$
$v$-曲线： 保持 $u = u_0$ 不变，让 $v$ 变动，在曲面上得到另一条经过 $P_0$ 的曲线。该曲线在 $P_0$ 处的切向量为对 $v$ 的偏导数：

\[ \vec{T}_v = (x_v, y_v, z_v) \big|_{(u_0, v_0)} \]

由于两条曲线都在曲面上，它们的切向量都位于该点的切平面内。由于雅可比矩阵秩为 2，$\vec{T}_u$ 与 $\vec{T}_v$ 不平行。

因此，曲面的法向量可以通过这两个切向量的叉积得到：

\[ \vec{n} = \vec{T}_u \times \vec{T}_v = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_u & y_u & z_u \\ x_v & y_v & z_v \end{vmatrix} \]

展开此行列式，法向量 $\vec{n}$ 的三个分量正好由相应的雅可比行列式构成：

\[ \vec{n} = \left( \frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}, \frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}, \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right) \Bigg|_{(u_0, v_0)} \]

只要在点 $P_0$ 处该法向量 $\vec{n} \neq \vec{0}$，直接将此向量代入点法式平面方程与直线的对称式方程，即可得到参数曲面的切平面方程与法线方程。

十、条件极值与拉格朗日乘数法 (Lagrange Multiplier Method)

在前面的讨论中，寻找多元函数 $f(x_1, \dots, x_n)$ 的极值时，自变量在其定义域的内点可以任意变动，这称为无条件极值。然而，在实际几何和物理问题中，自变量往往还需要满足一定的附加限制条件。

1. 条件极值问题的一般形式

在满足 $m$ 个限制条件（方程）：

\[ \varphi_k(x_1, \dots, x_n) = 0, \quad k = 1, 2, \dots, m \quad (m < n) \]

的前提下，求目标函数 $y = f(x_1, \dots, x_n)$ 的极值。这类问题称为条件极值问题。

例如：在空间中，求原点到空间直线 $L$（由两平面 $x+y+z=1$ 和 $x+2y+3z=6$ 交线确定）的最短距离，本质上就是在满足直线的两个平面方程约束下，求目标函数 $f(x,y,z) = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$（或其平方）的最小值。

2. 二维情形下的必要条件推导

为了理解拉格朗日乘数法的本质，我们先推导只有两个自变量和一个约束条件的最简情形：

在限制条件 $\varphi(x,y) = 0$ 之下，求目标函数 $f(x,y)$ 的极值。

设点 $P_0(x_0, y_0)$ 是条件极值点。假设函数 $f$ 与 $\varphi$ 在 $P_0$ 的某邻域内具有连续的一阶偏导数，且 $\varphi_x(P_0)$ 与 $\varphi_y(P_0)$ 不同时为零。

不妨假设 $\varphi_y(P_0) \neq 0$。根据隐函数定理，在点 $P_0$ 的某个邻域 $U(P_0, \delta)$ 内，方程 $\varphi(x,y) = 0$ 唯一确定了一个连续可导的隐函数 $y = g(x)$（其中 $x \in U(x_0)$），且有：

\[ g'(x) = -\frac{\varphi_x(x,y)}{\varphi_y(x,y)} \]

由于限制条件必须满足，目标函数在极值点附近的值完全由 $x$ 决定。将 $y=g(x)$ 代入目标函数，定义一元复合函数 $h(x) = f(x, g(x))$。

断言：既然 $(x_0, y_0)$ 是原问题的条件极值点，那么 $x_0$ 必然是函数 $h(x)$ 的无条件极值点。

因为 $h(x)$ 在 $x_0$ 处可微，由一元函数极值的费马定理（Fermat's Theorem），必有 $h'(x_0) = 0$。利用链式求导法则：

\[ h'(x_0) = f_x(P_0) + f_y(P_0) \cdot g'(x_0) = 0 \]

代入 $g'(x_0)$ 的表达式，得到：

\[ f_x(P_0) - f_y(P_0) \frac{\varphi_x(P_0)}{\varphi_y(P_0)} = 0 \quad \cdots (1) \]

对等式 (1) 进行结构化变形：

情况 A： 若 $\varphi_x(P_0) \neq 0$，则由 (1) 式可得比例关系：

\[ \frac{f_x(P_0)}{\varphi_x(P_0)} = \frac{f_y(P_0)}{\varphi_y(P_0)} \]

令这个比值为一个常数 $-\lambda$，则有：

\[ \begin{cases} f_x(P_0) + \lambda \varphi_x(P_0) = 0 \\ f_y(P_0) + \lambda \varphi_y(P_0) = 0 \end{cases} \]
情况 B： 若 $\varphi_x(P_0) = 0$，由 (1) 式立得 $f_x(P_0) = 0$。此时令 $\lambda = -\frac{f_y(P_0)}{\varphi_y(P_0)}$，上述两个等式依然同时成立。

无论哪种情况，再结合原有的约束条件 $\varphi(P_0) = 0$，这就提示我们可以构造一个辅助函数（拉格朗日函数）：

\[ L(x,y,\lambda) = f(x,y) + \lambda \varphi(x,y) \]

原条件极值点 $(x_0, y_0)$ 以及对应的乘数 $\lambda$ 构成的点 $(x_0, y_0, \lambda)$，必然是该辅助函数 $L$ 的无条件驻点。

3. 一般情形的拉格朗日乘数法定理

将上述思想推广至多变量多约束系统。

定义（拉格朗日函数）： 对应于条件组 $\varphi_k(x_1, \dots, x_n) = 0 \quad (k=1, 2, \dots, m)$ 与目标函数 $y = f(x_1, \dots, x_n)$，定义拉格朗日函数为：

\[ L(x_1, \dots, x_n, \lambda_1, \dots, \lambda_m) = f(x_1, \dots, x_n) + \sum_{k=1}^m \lambda_k \varphi_k(x_1, \dots, x_n) \]

其中 $\lambda_1, \dots, \lambda_m$ 称为拉格朗日乘数 (乘子)。

定理 3（条件极值的必要条件）： 设在上述 $m$ 个条件的限制下，求函数 $f$ 的极值。函数 $f$ 与 $\varphi_k$ 在开集 $D$ 内有连续的一阶偏导数。

若 $P_0(x_1^{(0)}, \dots, x_n^{(0)}) \in D$ 是该问题的条件极值点，且约束条件的雅可比矩阵：

\[ J = \begin{pmatrix} \frac{\partial \varphi_1}{\partial x_1} & \dots & \frac{\partial \varphi_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial \varphi_m}{\partial x_1} & \dots & \frac{\partial \varphi_m}{\partial x_n} \end{pmatrix} \]

在点 $P_0$ 处满秩（即 $\text{rank } J = m$），则必定存在 $m$ 个常数 $\lambda_1^{(0)}, \dots, \lambda_m^{(0)}$，使得 $(x_1^{(0)}, \dots, x_n^{(0)}, \lambda_1^{(0)}, \dots, \lambda_m^{(0)})$ 是拉格朗日函数 $L$ 的驻点。即满足如下方程组：

\[ \begin{cases} L_{x_i} = \frac{\partial f}{\partial x_i} + \sum_{k=1}^m \lambda_k \frac{\partial \varphi_k}{\partial x_i} = 0, \quad 1 \le i \le n \\ L_{\lambda_j} = \varphi_j(x_1, \dots, x_n) = 0, \quad 1 \le j \le m \end{cases} \]

定理 4（条件极值的充分条件）：

若点满足上述必要条件的驻点方程组，我们可以通过考察拉格朗日函数 $L$ 关于自变量 $x_i$ 的二阶导数构成的海森矩阵（Hessian Matrix）：

\[ A = \left( \frac{\partial^2 L}{\partial x_i \partial x_j} (x^{(0)}, \dots, x^{(0)}, \lambda^{(0)}, \dots, \lambda^{(0)}) \right)_{n \times n} \]

在满足特定条件（更严格地说是该矩阵在约束曲面切空间上的限制矩阵）为正定（或负定）时，$P_0$ 即为严格的条件极小（或极大）值点。

4. 拉格朗日乘数法应用实例

例 1（几何极值）： 用拉格朗日乘数法求函数 $F(x,y,z) = x^2+y^2+z^2$ 在约束条件 $\begin{cases} x+y+z=1 \\ x+2y+3z=6 \end{cases}$ 下的最小值。

解：

构造拉格朗日函数：

\[ L(x,y,z,\lambda,\mu) = x^2+y^2+z^2 + \lambda(x+y+z-1) + \mu(x+2y+3z-6) \]

令其所有一阶偏导数为零：

\[ \begin{cases} L_x = 2x + \lambda + \mu = 0 \\ L_y = 2y + \lambda + 2\mu = 0 \\ L_z = 2z + \lambda + 3\mu = 0 \\ L_\lambda = x+y+z-1 = 0 \\ L_\mu = x+2y+3z-6 = 0 \end{cases} \]

由前三式可得 $x, y, z$ 关于 $\lambda, \mu$ 的表达式，代入后两式解得乘子，最终求得唯一的驻点解为：

\[ x = -\frac{5}{3}, \quad y = \frac{1}{3}, \quad z = \frac{7}{3}, \quad \lambda = \frac{22}{3}, \quad \mu = -4 \]

从几何意义上看，该问题求的是原点到两平面交线（直线）距离的平方。因为点到直线的垂线段最短距离必定存在，故该唯一的可能极值点必定是全局最小值点。

因此，最小距离为 $\sqrt{F\left(-\frac{5}{3}, \frac{1}{3}, \frac{7}{3}\right)} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$。

例 2（代数不等式证明）： 求目标函数 $f(x,y,z) = xyz$ 在条件 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{r} \quad (x>0, y>0, z>0, r>0)$ 下的极小值，并据此证明调和-几何平均值不等式：对于任意正实数 $a, b, c$，有 $3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^{-1} \le \sqrt[3]{abc}$。

解：

构造拉格朗日函数：

\[ L(x,y,z,\lambda) = xyz + \lambda\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} - \frac{1}{r}\right) \]

求解驻点方程组：

\[ \begin{cases} L_x = yz - \frac{\lambda}{x^2} = 0 \implies \frac{1}{x} = \frac{xyz}{\lambda} \\ L_y = xz - \frac{\lambda}{y^2} = 0 \implies \frac{1}{y} = \frac{xyz}{\lambda} \\ L_z = xy - \frac{\lambda}{z^2} = 0 \implies \frac{1}{z} = \frac{xyz}{\lambda} \\ L_\lambda = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} - \frac{1}{r} = 0 \end{cases} \]

由前三式知，必有 $x = y = z$。代入第四式约束条件，解得：

\[ x = y = z = 3r, \quad \text{此时 } \lambda = x^2 y z = (3r)^4 \]

记唯一的驻点为 $P_0(3r, 3r, 3r)$。

充分性与全局最小值判定（严密论证）：

利用海森矩阵判定局部极小：

在点 $P_0$ 处计算 $L$ 对自变量的二阶偏导数矩阵：

\[ A = \begin{pmatrix} L_{xx} & L_{xy} & L_{xz} \\ L_{yx} & L_{yy} & L_{yz} \\ L_{zx} & L_{zy} & L_{zz} \end{pmatrix} \Bigg|_{P_0} = \begin{pmatrix} \frac{2\lambda}{x^3} & z & y \\ z & \frac{2\lambda}{y^3} & x \\ y & x & \frac{2\lambda}{z^3} \end{pmatrix} \Bigg|_{P_0} = 3r \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \]

易证该矩阵正定，因此 $P_0$ 是严格的局部条件极小值点。

接下来论证其为全局最小值。

由约束条件 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{r}$ 及变量为正可知，必定有 $x > r, y > r, z > r$。

我们取一个足够大的常数 $M = \frac{(3r)^3}{r^2} = 27r$。

如果 $x, y, z$ 中任意一个变量大于 $M$（假设 $x > M$），由于其余两变量均大于 $r$，此时目标函数值必满足：

\[ f(x,y,z) = xyz > M \cdot r \cdot r = 27r^3 = (3r)^3 \]

构造有界闭集（紧致集） $D = \left\{ (x,y,z) \Big| x,y,z \in [r, M] \text{ 且 } \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{r} \right\}$。

连续函数 $f$ 在有界闭集 $D$ 上必能取到最小值。在边界外部，函数值严格大于 $(3r)^3$；而在内部唯一的极小值点 $P_0$ 处，函数值为 $f(P_0) = (3r)^3$。

因此，$f(P_0) = 27r^3$ 不仅是 $D$ 上的最小值，也是全定义域上的全局条件最小值。

推导不等式：

我们得到了在给定约束下恒成立的结论：

\[ xyz \ge (3r)^3 \]

由于原约束条件等价于 $r = \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right)^{-1}$，代入上式不等式右端得：

\[ xyz \ge \left[ 3 \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right)^{-1} \right]^3 \]

两边开三次方，并将自变量替换为形式记号 $a, b, c$，即得到著名的正实数调和平均与几何平均不等式：

\[ \sqrt[3]{abc} \ge 3 \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)^{-1} \]

07_隐函数定理及其应用

一、 隐函数的概念

二、 隐函数定理之一：存在唯一性与连续性