概率论和数理统计（Probability and Mathematical Statistics）
第一次小测复习：知识主线与题型归纳
第一次小测：重点题目与标准解答
开卷资料：知识讲解（12 页）与重点题解（6 页）
第一章：概率论的基本概念（Introduction to Probability）
第二章：随机变量及其分布（Random Variables and Distributions）
第三章：二维随机变量及其分布（Bivariate Distributions）
方法选择
先定义事件或随机变量，再按所求选方法：
| 题目特征 |
方法与关键条件 |
| 至少、至多、恰好、都不 |
集合运算；“至少一个”常取补 |
| 有限且等可能 |
古典概型；分子、分母统一计数 |
| 有限区域内均匀取点 |
几何概型；事件区域与支撑相交后取度量比 |
| 已知某事件发生 |
条件概率；交集除以条件概率 |
| 分类求总概率／由结果反推来源 |
全概率／贝叶斯；分类须互斥且穷尽 |
| 固定次数的成功数／等待成功的次数 |
二项／几何或负二项；先检查独立性与成功率 |
| 一维区间概率／连续区域概率 |
CDF 差值／密度积分；注意端点与支撑 |
| 随机变量函数的分布 |
确定输出范围，转为原变量的等价事件 |
| 联合分布求边际／条件分布 |
消去另一变量／按给定条件归一化 |
统一检查：概率在 \([0,1]\) 内；PMF 非负且和为 1，PDF 非负且积分为 1；CDF 写全定义域；独立性、正分母、支撑范围和端点条件写明。
记号
| 记号 |
含义与英文读法 |
| \(S\) 或 \(\Omega\) |
样本空间，sample space |
| \(\omega\) |
一次试验的结果／样本点，outcome / sample point |
| \(A^c\) 或 \(\overline A\) |
\(A\) 的补事件，complement of \(A\) |
| \(AB=A\cap B\) |
\(A\) 与 \(B\) 同时发生，intersection / both \(A\) and \(B\) |
| \(A\cup B\) |
至少一个发生，union / at least one of \(A\) and \(B\) |
| \(P(A\mid B)\) |
已知 \(B\) 发生时 \(A\) 的条件概率，probability of \(A\) given \(B\) |
| \(\binom nk=C_n^k\) |
组合数，binomial coefficient |
| \(F_X(x)=P(X\le x)\) |
累积分布函数，cumulative distribution function / CDF |
| \(p_{ij}=P(X=x_i,Y=y_j)\) |
联合概率质量函数，joint PMF |
| \(f_X(x)\)、\(f(x,y)\) |
一维密度、联合密度，PDF / joint PDF |
| \(f_{X\mid Y}(x\mid y)\) |
条件密度，conditional PDF of X given Y |
| \(\varphi\)、\(\Phi\) |
标准正态密度与分布函数，standard normal PDF and CDF |
\(\subseteq\) 表示允许相等的包含关系，\(\cup\) 表示和事件。
英文答题句式
| 用途 |
句式 |
| 定义事件／变量 |
Let \(A\) denote the event that … / Let \(X\) be the number of … |
| 说明事件关系 |
\(A\) occurs if and only if … / Since \(A\subseteq B\), … |
| 说明模型 |
All outcomes are equally likely. / Assume uniform sampling over the region. |
| 说明分类 |
These events are pairwise disjoint and collectively exhaustive. |
| 引用方法 |
By the complement rule / finite additivity / inclusion–exclusion principle, … |
| 条件概率方法 |
By the definition of conditional probability / multiplication rule / law of total probability / Bayes' theorem, … |
参考资料与图片说明
- 黄炜：第一、二、三章课程课件。
- 《概率论与数理统计》第二版，高等教育出版社，2023，第一至三章原始课件。
- 作业题意依据用户提供的教材题图整理；会话及已保存的作业源码用作题号、解答线索。题图与知识点对应关系见习题来源记录。
- 课堂识别文本与截图见各篇笔记的
sources。
页码均指 PDF 页序，从 1 开始。附图为自绘教学图，图片来源、可编辑文件与许可说明见图片说明。