§1.1 样本空间与随机事件（Sample Space and Events）
随机现象与随机试验
确定性现象（deterministic phenomenon）：给定条件后结果确定，如理想条件下上抛物体会下落。
随机现象（random phenomenon）：单次结果不确定，大量重复试验呈统计规律（statistical regularity），如抛硬币、掷骰子和观察产品寿命。
观察随机现象的过程称为随机试验（random experiment），记为 \(E\)，具有三个特征：
- 可以在相同条件下重复进行。
- 结果不唯一，但事先知道可能结果的范围。
- 事前不能确定具体结果。
无限多个结果可用集合条件描述。
样本空间与样本点
样本空间（sample space）是随机试验所有可能结果构成的集合，记作 \(S\) 或 \(\Omega\)。其中一个元素称为样本点（sample point / outcome），记作 \(\omega\)。
| 试验及观察目标 | 样本空间 | 类型 |
|---|---|---|
| 抛一枚硬币一次，记录正反面 | \(S=\{H,T\}\)，\(H\) 为 heads，\(T\) 为 tails | 有限 |
| 掷一枚骰子一次，记录点数 | \(S=\{1,2,3,4,5,6\}\) | 有限 |
| 记录某城市一日交通事故次数 | \(S=\{0,1,2,\ldots\}\) | 可列无限 |
| 记录产品寿命，以时间连续取值建模 | \(S=[0,\infty)\)，或按假定界限取 \([a,b]\) | 不可列 |
| 记录一昼夜最高温度 \(x\)、最低温度 \(y\) | \(S=\{(x,y):T_0\le y\le x\le T_1\}\) | 不可列，二维区域 |
边界依题意确定：允许立即失效时寿命可为 \(0\)，也不能默认寿命有有限上界。
有限、可列与不可列
- 有限集（finite set）：只有有限个元素。
- 可列无限集（countably infinite set）：能按 \(1,2,3,\ldots\) 编号，如整数集、有理数集。
- 不可列集（uncountable set）：不能如此编号，如非退化实数区间。
- 至多可数（at most countable）：有限或可列无限；部分教材统称为 countable。
\(S=\{s_1,\ldots,s_n\}\) 只表示有限情形，样本空间也可以是无限集。
样本空间与观察目标有关
掷骰子可记录点数 \(\{1,\ldots,6\}\)，也可只记录奇偶 \(\{\text{odd},\text{even}\}\)；后者不能区分点数 1 和 3。
样本点应不重不漏、能表达所求事件；合并结果后须重新判断等可能性。
事件与“发生”的含义
事件（event）用样本空间中的子集 \(A\) 表示。若本次结果是 \(\omega\)，则
一次试验产生一个样本点，它可同时属于多个事件；事件内任一结果出现即算发生。
如掷骰子时，\(A=\{2,4,6\}\) 表示出现偶数（even number）。
再如抛硬币三次，以结果的先后顺序为样本点：
“至少出现两次正面（at least two heads）”对应
对连续空间，事件还需满足可测性要求；这里使用的区间和几何区域均为可测集合。
三类特殊事件
| 名称 | 集合表示 | 含义 |
|---|---|---|
| 基本事件（elementary event） | \(\{\omega\}\) | 只含一个样本点的单点集 |
| 必然事件（sure / certain event） | \(S\) | 每次试验都发生 |
| 不可能事件（impossible event） | \(\varnothing\) | 没有任何结果使其发生 |
区分元素 \(\omega\) 与单点集 \(\{\omega\}\)。基本事件两两互斥，但不一定等可能。
事件的关系与运算
以下事件均属于同一个样本空间。
包含与相等
\(A\subseteq B\) 表示 \(A\) 发生一定推出 \(B\) 发生。例如“至少 10 人候车”推出“至少 5 人候车”。特别地，
\(A=B\) 表示两个事件含有完全相同的结果，等价于 \(A\subseteq B\) 且 \(B\subseteq A\)。
例如点数 \(x,y\) 满足“\(x+y\) 为奇数”等价于“\(x,y\) 奇偶不同”。相等须双向推出，单向只能说明包含。
和、积、补与差
| 运算 | 记号 | 发生条件 | 英文 |
|---|---|---|---|
| 和事件 | \(A\cup B\) | \(A,B\) 至少一个发生，允许同时发生 | union; \(A\) or \(B\) or both |
| 积事件 | \(A\cap B=AB\) | \(A,B\) 同时发生 | intersection; both \(A\) and \(B\) |
| 补事件／逆事件 | \(A^c=\overline A=S\setminus A\) | \(A\) 不发生 | complement; \(A\) does not occur |
| 差事件 | \(A\setminus B=A-B=A\cap B^c\) | \(A\) 发生且 \(B\) 不发生 | difference; \(A\) but not \(B\) |
自绘。阴影表示集合归属，面积不代表概率。来源与许可。
不要把 \(A\cup B\) 写成 \(A+B\)；\(AB\) 是集合交，不是数值乘法。一般 \(A-B\ne B-A\)，差运算有方向。
互斥与互逆
互斥／互不相容（mutually exclusive / disjoint）的定义是
即不能同时发生。两两互斥要求 \(A_i\cap A_j=\varnothing\)（\(i\ne j\)），仅全体交集为空不够。
互逆／互为对立事件（complementary events）同时要求
此时恰有一个发生，\(B=A^c\)。互逆必互斥，反之不成立：骰子的 \(\{1\}\) 与 \(\{2\}\) 互斥，却未覆盖 \(S\)。
多个事件的并与交
可列并 \(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\)、可列交 \(\bigcap_{i=1}^{\infty}A_i\) 仍分别表示至少一个发生、全部发生，不预设概率关系。
运算律（Laws of Set Operations）
交换律（commutative laws）：
结合律（associative laws）：
分配律（distributive laws）：
德摩根律（De Morgan's laws）：对整体取补，逐项取补，同时交换并与交。
这两个推广适用于当前讨论的有限或可列事件族。
把文字翻译成事件
设 \(A\) 为“甲来听课”，\(B\) 为“乙来听课”。
| 文字描述 | 事件表达式 |
|---|---|
| 至少一人来（at least one） | \(A\cup B\) |
| 两人都来（both） | \(AB\) |
| 两人都不来（neither） | \(A^cB^c=(A\cup B)^c\) |
| 至少一人不来（not both） | \(A^c\cup B^c=(AB)^c\) |
| 恰有一人来（exactly one） | \(AB^c\cup A^cB\)，两部分互斥 |
| 至多一人来（at most one） | \((AB)^c\) |
否定“全都”得“至少一个不”；否定“至少一个”得“全都不”。
作业｜习题一 A4：至少、最多与恰好
题目。用 \(A,B,C\) 表示三个随机事件，写出：（1）至少两个发生；（2）最多一个发生；（3）恰有一个不发生；（4）至少一个不发生。
解析。直接把数量条件转换为集合运算：
| 小问 | 所求事件 | 理由 |
|---|---|---|
| (1) | \((AB)\cup(AC)\cup(BC)\) | 至少有一对同时发生，也包含三者都发生 |
| (2) | \(\bigl[(AB)\cup(AC)\cup(BC)\bigr]^c\) | “至少两个”的补事件 |
| (3) | \((ABC^c)\cup(AB^cC)\cup(A^cBC)\) | 恰有两个发生 |
| (4) | \((ABC)^c=A^c\cup B^c\cup C^c\) | “三个都发生”的补事件 |
第 (1) 问的三项可重叠；求概率时须用容斥，不能直接相加。
串联系统与并联系统
设 \(A_i=\{\text{第 }i\text{ 个元件正常}\}\)，\(A=\{\text{系统正常}\}\)。
- 串联系统（series system）：所有元件正常才正常，\(A=\bigcap_{i=1}^nA_i\)。
- 并联系统（parallel system）：至少一个元件正常就正常，\(A=\bigcup_{i=1}^nA_i\)。
交事件概率可直接相乘的前提是元件独立。
易错点
- \(A\cup B\) 允许同时发生；恰好一个才排除交集。
- 互逆要求互斥且穷尽，互斥不保证互逆。
- 维恩图辅助判断，证明须写集合等式或包含式。
参考资料
主课件第 6–33 页；原始第一章课件第 3–25 页。