01_空间平面与直线

一、方程表达（构型基础）

点法式：已知点 \(P_0(x_0, y_0, z_0)\) 和法向量 \(\vec{n} = (A, B, C)\)。

\[ A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 \]
一般式：\(Ax + By + Cz + D = 0\)。
截距式：与坐标轴交点截距为 \(a, b, c\)。

\[ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \]
三点式（混合积为0）：已知不共线三点 \(P_1(x_1, y_1, z_1)\)、\(P_2(x_2, y_2, z_2)\)、\(P_3(x_3, y_3, z_3)\)。

由共面向量的混合积为0，可得 \(3 \times 3\) 行列式等于 0：

\[ \begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0 \]

或者转化为等价的 \(4 \times 4\) 行列式等于 0：

\[ \begin{vmatrix} x & y & z & 1 \\ x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \end{vmatrix} = 0 \]

点向式/参数方程（核心）：已知点 \(P_0\) 和方向向量 \(\vec{s} = (l, m, n)\)。

\[ \frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n} \implies \begin{cases} x = x_0 + lt \\ y = y_0 + mt \\ z = z_0 + nt \end{cases} \]
一般式（两平面交线）：

\(\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{cases}\) （条件：系数矩阵秩为2，法向量叉乘不为 \(\vec{0}\)）
两点式：方向向量直接取 \(\vec{P_1P_2}\)。

过直线（由两平面一般式给出）的所有平面集合：

\[ \lambda(F_1) + \mu(F_2) = 0 \]

(做题技巧：通常令 \(\lambda = 1\)，仅求 \(\mu\) 即可快速解题)

将点、线、面关系转化为线性方程组。系数矩阵记为 \(A\)，增广矩阵记为 \(\bar{A}\)。

几何对象	考察模型	r(A),r(Aˉ)	几何关系
面 vs 面 (\(2 \times 3\) 矩阵)	\(\pi_1, \pi_2\)	\(r=2, \bar{r}=2\)	相交（交线）
		\(r=1, \bar{r}=2\)	平行
		\(r=1, \bar{r}=1\)	重合
线 vs 面 (\(3 \times 3\) 矩阵)	视直线为两平面加待测面 \(\pi_3\)	\(r=3, \bar{r}=3\)	相交于一点
		\(r=2, \bar{r}=3\)	线面平行
		\(r=2, \bar{r}=2\)	线在面内
线 vs 线 (\(4 \times 3\) 矩阵)	\(L_1\) (面1,2) \(L_2\) (面3,4)	\(r=3, \bar{r}=4\)	异面 (Skew) (无解且不平行)
		\(r=3, \bar{r}=3\)	相交于一点
		\(r=2, \bar{r}=3\)	线线平行
		\(r=2, \bar{r}=2\)	重合

点到平面的距离：代入点坐标，除以法向量模长。

\[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \]
平行平面间的距离（化为同法向量后求常数项之差）：

\[ d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]
两条异面直线的距离（投影法）：

\[ d = \frac{|\vec{P_0P_1} \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2})|}{|\vec{s_1} \times \vec{s_2}|} \]

(分子为三点与两方向向量构成的混合积，分母为公垂线方向向量的模长)

面与面（二面角）：求两法向量的夹角余弦。

\[ \cos\theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|} \]
线与面（易错点：用正弦）：线面夹角与向量夹角互余。

\[ \sin\theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{s}|}{|\vec{n}||\vec{s}|} \]

直线：一般式 \(\to\) 点向式

- **求方向**：$\vec{s} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$ （两平面的法向量叉乘）。

- **求定点**：令 $z=0$ （或 $x=0, y=0$），解二元一次方程组求出一个具体的点。

- 或初等变换求出参数方程再转化

定比分点公式（用于线段比例切分）：

\[ x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}, \quad y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}, \quad z = \frac{z_1 + \lambda z_2}{1 + \lambda} \]

(当 \(\lambda=1\) 时即为中点坐标公式)