第一次小测：重点题目与标准解答
12 道主练题覆盖事件计数、条件概率、一维分布、函数分布及二维分布；最后 3 题补充联合 CDF、泊松筛选和二维正态。优先顺序按解题方法的覆盖面安排。
时间很紧时，先做 2、6、8、9、10、12：覆盖分类与条件、密度积分、标准化、变量变换、联合表和条件密度。每题先遮住答案，写出第一步和计算式，再核对；看完后至少独立重写一次列式。
| 题号 | 考点 | 看到题目先做什么 |
|---|---|---|
| 1 | 古典概型、顺序 | 明确有序还是无序 |
| 2–3 | 全概率、贝叶斯、条件独立 | 按来源或共同环境分类 |
| 4–5 | 离散模型、停止规则 | 明确“数成功数、试验数还是时间” |
| 6–8 | 密度、CDF、指数、正态 | 先看支撑、单位及分布参数 |
| 9 | 函数分布 | 求输出范围，找有效反解 |
| 10–12 | 联合、边际、条件 | 离散求和，连续按截线积分 |
1．无放回抽样：颜色组合与指定顺序
题目（习题一 A14）。7 个球中有 2 红、3 黑、2 白，无放回取三次。求：（1）恰一红一黑一白；（2）全黑；（3）依次为红、黑、白。
标准解答。不考虑顺序的三球组合等可能，共有 \(\binom73=35\) 种。因此
指定顺序时，逐次使用条件概率：
应用。“各色一个”包含 \(3!\) 种颜色顺序，概率为指定一种顺序的 6 倍。分子、分母的计数方式必须一致。
2．先选组再抽样：全概率与贝叶斯
题目（习题一 B6）。第一组 30 件中有 10 件优质品，第二组 20 件中有 15 件优质品。等可能选一组，在该组内无放回取两次。求第一次为优质品的概率；已知第一次为优质品，求第二次为非优质品的概率。
标准解答。令 \(H_i\) 表示选中第 \(i\) 组，\(Q_j\) 表示第 \(j\) 次取到优质品。由全概率公式（law of total probability），
观测到 \(Q_1\) 后，由贝叶斯公式（Bayes' theorem），
第一组剩 29 件，其中 20 件非优质；第二组剩 19 件，其中 5 件非优质，故
应用。观察改变来源权重，无放回改变组内组成，两处都须更新。也可直接算 \(P(Q_1Q_2^c)/P(Q_1)\)。
3．共同天气：条件独立不能直接当作独立
题目（习题一 B8）。雾霾概率为 0.4。雾霾天每人戴口罩概率为 0.2，非雾霾天为 0.01；给定天气后，各人的选择独立。求随机一人戴口罩的概率；同一天选三人，至少一人戴口罩的概率。
标准解答。设 \(H\) 为雾霾，\(M_i\) 为第 \(i\) 人戴口罩。
给定天气后，用补事件求“至少一个”，再按天气加权：
应用。三人共用天气，不能写成 \(1-(1-0.086)^3\)。若题目明确各次观察独立、单次成功率为 \(q\)，成功次数才服从 \(B(n,q)\)。
4．列分布律：二项、超几何与截断等待
题目（选自习题二 A1）。分别求：（1）独立掷骰子三次，点数大于 4 的次数；（2）2 红、3 白中无放回取两球的红球数；（3）从同一袋放回抽球，首次取红即停止，最多三次，抽取次数的分布。
标准解答。三个小问分别记变量为 \(X\)。
- 单次成功率 \(p=2/6=1/3\)，三次独立，故 \(X\sim B(3,1/3)\)。
- 无放回成功数服从超几何分布（hypergeometric distribution）：\(P(X=k)=\binom2k\binom3{2-k}/\binom52\)。
- \(X=1\) 表示首次即红；\(X=2\) 表示先白后红；\(X=3\) 只要求前两次均白，第三次颜色不限。
| 小问 | 全部取值 | 按取值顺序的概率 |
|---|---|---|
| (1) | \(0,1,2,3\) | \(8/27,\ 4/9,\ 2/9,\ 1/27\) |
| (2) | \(0,1,2\) | \(3/10,\ 3/5,\ 1/10\) |
| (3) | \(1,2,3\) | \(2/5,\ 6/25,\ 9/25\) |
应用。若第 (3) 问不设次数上限，\(X\) 才是普通几何分布，\(P(X=k)=(3/5)^{k-1}(2/5)\)。若改问第 \(r\) 次取红的总次数，用负二项分布：\(\binom{k-1}{r-1}(2/5)^r(3/5)^{k-r}\)，\(k\ge r\)。
5．泊松计数：时间窗口与条件概率
题目（习题二 B12）。短信到达服从速率为每分钟 0.05 的泊松过程。求 10:00–12:00 恰收到六条的概率；已知至少五条，求恰为六条的概率。
标准解答。窗口为 120 分钟，平均次数 \(\lambda=0.05\times120=6\)，故短信数 \(N\sim\operatorname{Pois}(6)\)。
由于 \(\{N=6\}\subseteq\{N\ge5\}\)，交集就是 \(\{N=6\}\)：
变式。若问从 10:00 起等待下一条短信超过 10 分钟的概率，改用 \(T\sim\operatorname{Exp}(0.05)\)：\(P(T>10)=P(N(10)=0)=e^{-0.5}\)。计数用平均次数，等待时间用速率。
6．连续密度：归一化、CDF、积分与重复试验
题目（习题二 B17）。\(f(x)=c(4-x^2)\)，\(0<x<2\)，其余为零。求 \(c\)、CDF、\(P(-1<X<1)\)；独立观察五次，求该事件恰发生两次的概率。
标准解答。由密度积分为 1，
CDF 在支撑内由积分得到，支撑外补齐 0、1：
事件区间与支撑相交后只剩 \((0,1)\)，因此
令 \(K\) 为五次中该事件发生的次数，则 \(K\sim B(5,11/16)\)，故
应用。原变量连续，事件发生次数仍是离散型。若给的是连续型 CDF，先在连接处用连续性确定参数，再逐段求导；还须检查单调性。
7．指数寿命：剩余时间与混合来源
题目（习题二 B29）。产品来自甲、乙厂的概率为 0.4、0.6，寿命分别服从 \(\operatorname{Exp}(1/3)\)、\(\operatorname{Exp}(1/6)\)，时间单位为年。求：（1）寿命超过六年；（2）已知来自甲厂，使用四个月未坏，能用到一年未坏；（3）未知厂别时，同样已使用四个月未坏，能用到一年未坏。
标准解答。设寿命为 \(T\)，混合生存函数为
- \(P(T>6)=0.4e^{-2}+0.6e^{-1}\approx0.2749\)。
-
四个月为 \(1/3\) 年，额外等待为 \(2/3\) 年。已知甲厂时用无记忆性：
\[ P(T>1\mid T>1/3,\text{甲}) =e^{-(1/3)(2/3)}=e^{-2/9}\approx0.8007. \] -
未知厂别时用条件概率比值：
\[ P(T>1\mid T>1/3) =\frac{S(1)}{S(1/3)} =\frac{0.4e^{-1/3}+0.6e^{-1/6}} {0.4e^{-1/9}+0.6e^{-1/18}} \approx0.8584. \]
应用。混合指数寿命一般不再无记忆。已存活的信息改变厂别权重，不能按原权重平均两厂的剩余寿命概率。
8．正态分布：识别参数并标准化
题目（习题二 B27）。\(f_X(x)=ae^{-x^2}\)，\(x\in\mathbb R\)。求 \(a\) 和 \(P(X>1/2)\)。
标准解答。由 \(\int_{\mathbb R}e^{-x^2}\,dx=\sqrt\pi\)，有 \(a=1/\sqrt\pi\)。与正态密度的指数 \(-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)\) 比较，得
标准差为 \(\sigma=1/\sqrt2\)，故
变式（反求参数）。若 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，要求 \(P(|X-\mu|<3)\ge0.9\)，则
应用。标准化除以标准差；右尾用 \(1-\Phi\)，负数用 \(\Phi(-z)=1-\Phi(z)\)。反求尺度时注意不等号方向。
9．变量函数：线性变换与绝对值的分支
题目（习题二 B33）。\(f_X(x)=c(4-x^2)\)，\(-1<x<2\)，其余为零。求 \(c\)；\(Y=3X\) 的密度；\(Z=|X|\) 的 CDF 和密度。
标准解答。归一化得 \(1=c\int_{-1}^2(4-x^2)\,dx=9c\)，所以 \(c=1/9\)。
对线性变换，反函数为 \(x=y/3\)，支撑为 \(-3<y<6\)，故
对绝对值变换，\(0<z<1\) 时 \(z,-z\) 都在原支撑内；\(1<z<2\) 时只有 \(z\) 有效。因此
由 \(F_Z(z)=P(-z\le X\le z)\)，按原支撑截取积分区间：
应用。多分支要把各有效反解的贡献相加；线性变换别漏绝对导数因子。检查 \(F_Z(1)=22/27\)、\(F_Z(2)=1\)。
10．联合表：由边际 CDF 求条件分布与独立性
题目（习题三 A12）。\(F_X\) 在 1、2 处从 0 跳到 0.3、1；\(F_Y\) 在 0、1 处从 0 跳到 0.4、1。已知 \(P(X=1,Y=0)=0.1\)。求联合 PMF、给定 \(Y=0\) 时 \(X\) 的 CDF，并判断独立性。
标准解答。CDF 跳跃量等于点概率：\(P_X(1)=0.3,P_X(2)=0.7\)，\(P_Y(0)=0.4,P_Y(1)=0.6\)。用行列和补表：
| \(X\backslash Y\) | \(0\) | \(1\) | \(P_X\) |
|---|---|---|---|
| \(1\) | \(0.1\) | \(0.2\) | \(0.3\) |
| \(2\) | \(0.3\) | \(0.4\) | \(0.7\) |
| \(P_Y\) | \(0.4\) | \(0.6\) | \(1\) |
给定 \(Y=0\)，只在该列内归一化：
因 \(P(X=1,Y=0)=0.1\ne0.3\times0.4\)，\(X,Y\) 不独立。
端点检查。由本题边际，\(P(1\le X<2)=F_X(2-)-F_X(1-)=0.3\)；直接用 \(F_X(2)-F_X(1)\) 会得到另一个事件的概率。条件 CDF 的跳点也取右侧值。
11．二维密度：画区域、定积分限、求边际
题目（习题三 B4）。\(f(x,y)=c(y-x)\)，\(0<x<y<1\)，其余为零。求 \(c\)、\(P(X+Y\le1)\)、\(P(X<1/2)\)。
标准解答。固定 \(y\)，\(x\) 从 0 到 \(y\)，由归一化得
对 \(X+Y\le1\)，须同时满足 \(y>x\) 和 \(y\le1-x\)，故 \(0<x<1/2\)、\(x<y<1-x\)：
求 \(X\) 的边际时，固定 \(x\)，消去 \(y\)：
其余为零。因此 \(P(X<1/2)=\int_0^{1/2}3(1-x)^2\,dx=7/8\)。
应用。积分区域是“支撑与所求事件的交集”。本题密度不均匀，不能用面积比。若换积分次序，边界须重新确定。
12．连续条件：固定截线后重新归一化
题目（习题三 A20）。\(f(x,y)=5x/4\)，\(y^2<x<1\)，其余为零。求 \(f_Y(y)\)、\(f_{X\mid Y}(x\mid y)\) 和 \(P(X>1/2\mid Y=1/2)\)。
标准解答。支撑说明 \(-1<y<1\)；固定 \(y\) 时，\(x\) 从 \(y^2\) 到 1。因此
对 \(-1<y<1\)，由条件密度公式（conditional density），
给定 \(Y=1/2\)，\(X\) 的范围为 \((1/4,1)\)，故
应用。连续型 \(P(Y=1/2)=0\)，须用密度比，不能用点概率作分母。给定 \(Y=y\) 是截线；给定 \(Y>y\) 则仍对二维区域积分。
补充题：尚有时间再做
13．联合 CDF 与混合分布
题目（习题三 B3）。随机点在 \((0,0)\)、\((1,1)\) 的概率各为 0.1，其余概率均匀分布于 \((0,1)^2\)。求联合 CDF，并求 \(P(0<X\le1/2,0<Y\le1/2)\)。
标准解答。连续部分总概率为 0.8，单位正方形内密度为 0.8。记 \(h(t)=\min(1,\max(0,t))\)，则
这里 \(\mathbf1\) 是指示函数，条件成立为 1，否则为 0。例如 \(F(1/2,1/2)=0.3\)，包含原点的概率 0.1。题中所求矩形排除两轴，应用四角公式：
应用。仅将 CDF 求导会漏掉点质量；CDF 记录的是左下方全部概率。
14．泊松筛选：条件二项到联合分布
题目（习题三 B2）。事故总数 \(X\sim\operatorname{Pois}(\lambda)\)。各事故独立地以概率 0.1 归为超速事故，分类与总数机制独立，\(Y\) 为超速事故数。求联合 PMF 和 \(Y\) 的分布。
标准解答。给定总数 \(X=n\)，\(Y\mid X=n\sim B(n,0.1)\)。因此
其余为零。对所有可能的总数求和，令 \(m=n-k\)：
所以 \(Y\sim\operatorname{Pois}(0.1\lambda)\)。求和原下限为 \(n=k\)，因为总数不能小于超速事故数。
15．二维正态：条件参数与标准化
题目（课程例题）。\((X,Y)\) 联合服从二维标准正态，相关参数 \(\rho=1/2\)。求 \(P(Y\le1\mid X=1)\)，并判断独立性。
标准解答。二维正态条件分布仍正态，条件均值为 \(\rho x\)，条件方差为 \(1-\rho^2\)，故
联合二维正态中，独立当且仅当 \(\rho=0\)；本题不独立。条件标准化须用条件均值与条件标准差，不能仍用 0、1。
交卷前检查
- 事件题：“至少一个”先想补事件；“恰好”排除额外发生的情形。例如三个事件至少两个发生为 \(AB\cup AC\cup BC\)，恰有两个为 \(ABC^c\cup AB^cC\cup A^cBC\)。
- 模型题：写出独立性、成功率或速率；无放回不能直接套二项分布。
- 分布题：PMF 列全取值且和为 1；PDF 写明支撑、非负且积分为 1；CDF 写全实轴、右连续且两端为 0、1。
- 条件题：分母是条件事件的概率或条件变量的边际密度；条件分布须重新归一化。
- 英文答题可依次写：Let … denote …；By …；Therefore …。关键词：given（已知）、exactly（恰好）、at least（至少）、at most（至多）、without replacement（无放回）。