§2.3 分布函数（Cumulative Distribution Function）

定义与直观含义

任意随机变量 \(X\) 的分布函数（cumulative distribution function, CDF）定义为

\[ F_X(x)=P(X\le x),\qquad x\in\mathbb R. \]

CDF 在整个实数轴上记录左侧累积概率，适用于离散、连续及混合型；即使 \(X\) 取值范围有限，\(F_X\) 仍处处有定义。

三条基本性质

1. 单调不减（nondecreasing）：\(x_1<x_2\implies F(x_1)\le F(x_2)\)。
2. 两端极限（limits at infinity）：\(F(-\infty)=0,F(+\infty)=1\)。
3. 右连续（right-continuous）：\(\lim_{h\downarrow0}F(x+h)=F(x)\)。

\(0\le F(x)\le1\)；允许平台与跳跃，无需严格递增或处处连续。

单调性由 \(\{X\le x_1\}\subseteq\{X\le x_2\}\) 得到；从右逼近仍包含 \(\{X=x\}\)，故右连续。

跳跃与端点

记左极限

\[ F(a-)=\lim_{x\uparrow a}F(x)=P(X<a). \]

则

\[ P(X=a)=F(a)-F(a-). \]

跳跃高度（jump size）就是点概率。区间端点按下表处理：

事件	概率
\(a<X\le b\)	\(F(b)-F(a)\)
\(a<X<b\)	\(F(b-)-F(a)\)
\(a\le X\le b\)	\(F(b)-F(a-)\)
\(a\le X<b\)	\(F(b-)-F(a-)\)
\(X>a\)	\(1-F(a)\)
\(X\ge a\)	\(1-F(a-)\)

只有在相关端点点概率为零时，才可自由更换开闭端点。

离散分布律与 CDF 的互推

已知 \(P(X=x_k)=p_k\)：

\[ F(x)=\sum_{x_k\le x}p_k. \]

PMF → CDF：按取值累加为右连续阶梯函数（right-continuous step function）。CDF → PMF：取各跳点的跳跃量。

例如 \(P(X=-1)=0.2,P(X=3)=0.4,P(X=4)=0.4\)，则

\[ F(x)= \begin{cases} 0,&x<-1,\\ 0.2,&-1\le x<3,\\ 0.6,&3\le x<4,\\ 1,&x\ge4. \end{cases} \]

作业｜习题二 A8：阶梯函数及半开区间

题目。\(P(X=0)=0.4,P(X=2)=0.5,P(X=3)=0.1\)。求 \(F(x)\) 和 \(P(1\le X<3)\)。

解析。在每个取值点把该点概率加入累积和：

\[ F(x)= \begin{cases} 0,&x<0,\\ 0.4,&0\le x<2,\\ 0.9,&2\le x<3,\\ 1,&x\ge3. \end{cases} \]

\[ P(1\le X<3)=F(3-)-F(1-)=0.9-0.4=0.5. \]

事件即 \(\{X=2\}\)；用 \(F(3)-F(1)\) 会误计 \(X=3\)。

连续累积与“无概率空档”

CDF 平台表示区间内部的概率为零；均匀取值对应的是线性上升段。

作业｜习题二 B16：两个不相连区间

题目。已知在 \(0\le x\le1\) 时 \(P(0\le X\le x)=x/2\)，在 \(2\le x\le3\) 时 \(P(2\le X\le x)=(x-2)/2\)。求 \(F(x)\) 和 \(P(X\le2.5)\)。

解析。令 \(x=1,3\)，两区间各有概率 \(1/2\)，已覆盖全部概率。

\[ F(x)= \begin{cases} 0,&x<0,\\ x/2,&0\le x<1,\\ 1/2,&1\le x<2,\\ (x-1)/2,&2\le x<3,\\ 1,&x\ge3. \end{cases} \]

第二段上升前必须加上左侧已累计的 \(1/2\)。因此

\[ P(X\le2.5)=F(2.5)=\frac34. \]

均匀分布的 CDF

若 \(X\) 在 \((a,b)\) 上按长度比例取值，则

\[ F(x)= \begin{cases} 0,&x<a,\\ \dfrac{x-a}{b-a},&a\le x<b,\\ 1,&x\ge b. \end{cases} \]

连续型随机变量的区间概率计算见下一节。

参考资料

主课件第 37–46 页；课堂识别 lecture-record-22；教材习题二 A8、B16。