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09_曲线积分

一、 \(\mathbb{R}^n\) 中的曲线与弧长定义

将积分的概念从区域扩展到空间中的线上，首先需要严格定义高维空间中的曲线及其长度。

1. \(\mathbb{R}^n\) 中曲线的定义

闭区间 \([\alpha, \beta]\) 到 \(\mathbb{R}^n\) 的一个连续映射称为 \(\mathbb{R}^n\) 中的一条曲线 \(L\)。

其参数方程给出为：

\[ \vec{x} = \vec{x}(t) = (x_1(t), \dots, x_n(t)), \quad t \in [\alpha, \beta] \]

其中，向量函数 \(\vec{x}(t)\) 在 \([\alpha, \beta]\) 上连续。

2. 弧长的逼近与定义

  • 作分割： 对参数区间 \([\alpha, \beta]\) 作分割 \(P\): \(\alpha = t_0 < t_1 < \dots < t_m = \beta\)。这些分点在曲线上对应一系列点 \(\vec{x}(t_i)\)。

  • 折线逼近： 连接相邻点形成折线，折线段长度之和为 \(\ell(P) = \sum_{i=1}^m \left| \vec{x}(t_i) - \vec{x}(t_{i-1}) \right|\)。

  • 取极限： 当分割的细度 \(||P|| \to 0\) 时，如果极限 \(\lim_{||P|| \to 0} \ell(P)\) 存在，则称该曲线 \(L\) 是可求长的 (Rectifiable)，并将此极限值定义为曲线 \(L\) 的弧长。

3. 光滑曲线弧长的积分推导雏形

若各分量函数 \(x_j(t)\) 在 \([\alpha, \beta]\) 上连续可微（即曲线是光滑的），利用拉格朗日中值定理，对每个分量有：

\[ x_j(t_i) - x_j(t_{i-1}) = x_j'(\xi_{ij})\Delta t_i \]

当区间分得足够细时，各分量的介点 \(\xi_{ij}\) 均趋近于同一局部点 \(\xi_i\)，从而微小弦长可近似为：

\[ \left| \vec{x}(t_i) - \vec{x}(t_{i-1}) \right| \approx \left[ \sum_{j=1}^n (x_j'(\xi_i))^2 \right]^{\frac{1}{2}} \Delta t_i \]

这为后续将弧长转化为定积分 \(\int_\alpha^\beta |\vec{x}'(t)| dt\) 奠定了理论基础。

二、 曲线的弧长公式与光滑曲线

1. 弧长公式的推导

接前述，分割曲线段得到的折线长度之和 \(\ell(P) = \sum_{i=1}^m \left| \vec{x}(t_i) - \vec{x}(t_{i-1}) \right|\)。

应用微分中值定理，微小弦长可近似表达为 \(\Delta s_i \approx \sqrt{\sum_{j=1}^n (x_j'(\xi_i))^2} \Delta t_i\)。

当分割的细度 \(||P|| \to 0\) 时，这个黎曼和的极限转化为定积分。

因此，如果曲线 \(L\) 是可求长的，其弧长 \(s\) 的计算公式为：

\[ s = \int_\alpha^\beta \sqrt{(x_1'(t))^2 + \dots + (x_n'(t))^2} dt = \int_\alpha^\beta |\vec{x}'(t)| dt \]

。

2. 光滑曲线的条件

一条参数曲线被称作光滑曲线，需满足以下两个条件：

  1. 各坐标的导函数 \(x_j'(t)\) 连续（即向量函数连续可微）。

  2. 对于 \(\forall t \in [\alpha, \beta]\)，恒有 \(\sum_{j=1}^n (x_j'(t))^2 \neq 0\)（即曲线上的切向量处处存在且不为零向量）。

三、 第一型曲线积分的定义

1. 物理背景：非均匀曲线的质量

设有一根空间曲线形细长的金属丝 \(L\)，其线密度函数为 \(\rho(\vec{x})\)。

将其分割成 \(m\) 小段，第 \(i\) 段的弧长记为 \(\Delta s_i\)，在该段上任取一点 \(\xi_i\)，则该小段的质量近似为 \(\rho(\vec{x}(\xi_i)) \Delta s_i\)。

整根金属丝的质量 \(M\) 即为该和式的极限：

\[ M = \lim_{||P|| \to 0} \sum_{i=1}^m \rho(\vec{x}(\xi_i)) \Delta s_i \]

。

2. 严格定义

设 \(L\) 是由向量函数 \(\vec{x} = \vec{x}(t)\) (\(t \in [\alpha, \beta]\)) 定义的可求长曲线，\(f\) 为定义在 \(L\) 上的实值函数。

  • 分割： 任取区间 \([\alpha, \beta]\) 的分割 \(T = \{\alpha = t_0 < t_1 < \dots < t_m = \beta\}\)。

  • 作和： 曲线 \(L\) 在对应区间 \([t_{i-1}, t_i]\) 上的一段子弧长记为 \(\Delta s_i\)。令分割的细度 \(||T|| = \max\{t_i - t_{i-1} : 1 \le i \le m\}\)。任取介点 \(\xi_i \in [t_{i-1}, t_i]\)。

  • 取极限： 如果极限 \(\lim_{||T|| \to 0} \sum_{i=1}^m f(\vec{x}(\xi_i)) \Delta s_i\) 存在，且该极限与分割 \(T\) 及介点 \(\xi_i\) 的具体选取无关，则称该极限为函数 \(f\) 在曲线 \(L\) 上的第一型曲线积分（或对弧长的曲线积分）。

3. 记法

第一型曲线积分通常记作：

\[ \int_L f(\vec{x}) ds \quad \text{或} \quad \int_L f(x_1, \dots, x_n) ds \quad \text{或简记为} \quad \int_L f ds \]

  • 当 \(n=2\) 时，记为平面曲线积分：\(\int_L f(x,y) ds\)。

  • 当 \(n=3\) 时，记为空间曲线积分：\(\int_L f(x,y,z) ds\)。

四、 第一型曲线积分的性质与几何意义

第一型曲线积分与普通的定积分一样，具有以下重要性质（以平面曲线为例，空间曲线同理）：

1. 线性性质

若常数 \(c_i\) 存在，则积分的线性组合保持成立：

\[ \int_L \sum_{i=1}^k c_i f_i(x,y) ds = \sum_{i=1}^k c_i \int_L f_i(x,y) ds \]

2. 对积分路径的可加性

若曲线段 \(L\) 由若干条曲线段 \(L_1, L_2, \dots, L_k\) 首尾相接而成，则总积分等于各段积分之和：

\[ \int_L f(x,y) ds = \sum_{i=1}^k \int_{L_i} f(x,y) ds \]

3. 保号性（单调性）

若在 \(L\) 上恒有 \(f(x,y) \le g(x,y)\)，则积分也保持不等号关系：

\[ \int_L f(x,y) ds \le \int_L g(x,y) ds \]

4. 绝对值不等式

\[ \left| \int_L f(x,y) ds \right| \le \int_L |f(x,y)| ds \]

5. 积分中值定理

若 \(f(x,y)\) 在 \(L\) 上存在积分，且 \(L\) 的总弧长为 \(s\)，则存在常数 \(c\) 使得：

\[ \int_L f(x,y) ds = c \cdot s \]

(其中 \(\inf_L f(x,y) \le c \le \sup_L f(x,y)\)。若 \(f\) 连续，则存在介点使得 \(c = f(\xi, \eta)\))。

6. 第一型曲线积分的几何意义

若 \(L\) 为 \(xy\) 平面上的分段光滑曲线，且 \(f(x,y) \ge 0\) 为 \(L\) 上的连续函数。从几何上看，该积分表示以 \(L\) 为准线、母线平行于 \(z\) 轴的柱面，在 \(0 \le z \le f(x,y)\) 之间截取得到的部分柱面侧面积。

五、 第一型曲线积分的计算方法

计算曲线积分的核心思想是将其转化为关于参数的一元定积分。

1. 参数方程形式 (一般公式)

设 \(\mathbb{R}^n\) 中的光滑曲线 \(L\) 的参数方程为 \(\vec{x} = \vec{x}(t)\), \(t \in [\alpha, \beta]\)。

如果 \(f\) 是定义在 \(L\) 上的连续函数，则第一型曲线积分可以通过下式计算：

\[ \int_L f(\vec{x}) ds = \int_\alpha^\beta f(\vec{x}(t)) \cdot |\vec{x}'(t)| dt \]

推导依据： 弧长微元 \(\Delta s_i \approx |\vec{x}'(\eta_i)| \Delta t_i\)，代入黎曼和后即转化为定积分的标准形式。

坐标展开式：

  • 二维平面曲线：

    \[ \int_L f(x,y) ds = \int_\alpha^\beta f(x(t), y(t)) \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt \]

  • 三维空间曲线：

    \[ \int_L f(x,y,z) ds = \int_\alpha^\beta f(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2} dt \]

2. 显式函数形式 (特例)

若平面曲线 \(L\) 直接由显式方程给出：\(y = y(x)\)，其中 \(x \in [a, b]\)。

此时可将其视为参数方程 \(x=t, y=y(t)\) 的特例。将 \(x'=1, y'=y'(x)\) 代入公式可得：

\[ \int_L f(x,y) ds = \int_a^b f(x, y(x)) \sqrt{1 + (y'(x))^2} dx \]

六、 曲线积分的计算实例与对称性应用

在实际计算中，灵活分段并利用曲线的空间对称性，可以大幅度简化积分计算。

例 1：分段曲线的计算

计算 \(I = \int_L e^{\sqrt{x^2+y^2}} ds\)，其中 \(L\) 为圆周 \(x^2+y^2=a^2\)、直线 \(y=x\) 及 \(x\) 轴在第一象限所围成的扇形图形的边界。

解析： 边界 \(L\) 由三段组成，需分别计算后再相加。

  • 线段 \(OA\)： \(y=x\), \(x \in [0, \frac{\sqrt{2}}{2}a]\)。弧长微元 \(ds = \sqrt{1+1^2}dx = \sqrt{2}dx\)。

    \[ \int_{OA} e^{\sqrt{x^2+y^2}} ds = \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}a} e^{\sqrt{2}x} \sqrt{2} dx = e^{\sqrt{2}x} \Big|_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}a} = e^a - 1 \]

  • 圆弧 \(AB\)： 参数方程为 \(x=a\cos t, y=a\sin t\), \(t \in [0, \frac{\pi}{4}]\)。弧长微元 \(ds = \sqrt{(-a\sin t)^2 + (a\cos t)^2} dt = a dt\)。

    \[ \int_{AB} e^{\sqrt{a^2}} ds = \int_0^{\frac{\pi}{4}} e^a \cdot a dt = \frac{\pi}{4}a e^a \]

  • 线段 \(OB\)： \(y=0\), \(x \in [0, a]\)。弧长微元 \(ds = \sqrt{1+0^2}dx = dx\)。

    \[ \int_{OB} e^{\sqrt{x^2}} ds = \int_0^a e^x dx = e^a - 1 \]

  • 总积分： \(I = 2(e^a - 1) + \frac{\pi}{4}a e^a\)。

例 2：利用对称性极简计算

计算 \(I = \int_L (x^2+y^2+2z) ds\)，其中 \(L\) 为球面 \(x^2+y^2+z^2=a^2\) 与平面 \(x+y+z=0\) 的交线。

解析： 交线 \(L\) 是一个过球心的大圆，其半径为 \(a\)，故其总弧长为 \(s = 2\pi a\)。

由于球面和截面关于 \(x, y, z\) 的轮换完全对称，因此各平方项在 \(L\) 上的积分完全相等：

\[ \int_L x^2 ds = \int_L y^2 ds = \int_L z^2 ds = \frac{1}{3} \int_L (x^2+y^2+z^2) ds \]

由于在 \(L\) 上始终有 \(x^2+y^2+z^2=a^2\)，故上式等于 \(\frac{1}{3} \int_L a^2 ds\)。

基于此，我们可以分别处理被积函数的两部分：

  • 计算二次项部分：

    \[ \int_L (x^2+y^2) ds = 2 \cdot \frac{1}{3} \int_L (x^2+y^2+z^2) ds = \frac{2}{3} \int_L a^2 ds = \frac{2}{3} a^2 (2\pi a) = \frac{4\pi a^3}{3} \]

  • 计算一次项部分： 同样由于对称性，\(\int_L x ds = \int_L y ds = \int_L z ds = \frac{1}{3} \int_L (x+y+z) ds\)。又因为在曲线 \(L\) 上满足平面方程 \(x+y+z=0\)，所以该积分为 0，即 \(\int_L 2z ds = 0\)。

  • 总积分：

    \[ I = \frac{4\pi a^3}{3} + 0 = \frac{4\pi a^3}{3} \]

七、 曲线的基本概念与定向

在引入与方向相关的积分之前，需要对曲线的几何形态和方向进行严格界定。

1. 简单曲线 (Simple Curve)

直观上，简单曲线是指在 \(\mathbb{R}^n\) 中“自己不相交”的曲线（除去端点可能相交）。

严格定义： 设曲线 \(L\) 由向量函数 \(\vec{x} = \vec{x}(t) \in \mathbb{R}^n\), \(t \in [\alpha, \beta]\) 给出。如果对于任意 \(t_1, t_2 \in [\alpha, \beta]\)，只要满足 \(0 < |t_1 - t_2| < \beta - \alpha\)，就必定有：

\[ \vec{x}(t_1) \neq \vec{x}(t_2) \]

则称 \(L\) 为 \(\mathbb{R}^n\) 中的一条简单曲线。

2. 封闭曲线 (Closed Curve)

如果参数曲线的起点和终点重合，即 \(\vec{x}(\alpha) = \vec{x}(\beta)\)，则称 \(L\) 为 \(\mathbb{R}^n\) 中的封闭曲线。

3. 曲线的定向 (Orientation of a Curve)

设 \(A = \vec{x}(\alpha)\) 为起点，\(B = \vec{x}(\beta)\) 为终点，且 \(L\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的简单曲线。

  • 非封闭曲线： 从 \(A\) 沿着 \(L\) 到 \(B\)，和从 \(B\) 沿着 \(L\) 到 \(A\)，确定了曲线 \(L\) 的两个不同方向。

  • 封闭曲线： 即便 \(A=B\)（如圆周），同样存在两个方向（如顺时针和逆时针）。

结论： 任意一条简单曲线有且仅有两个不同的方向。一条简单曲线连同指定的方向，被称为一条定向曲线。

八、 第二型曲线积分的定义

1. 物理背景：变力做功

假设在 \(\mathbb{R}^n\) 中有一变力场（如电场、引力场）\(\vec{F}(\vec{x})\)，求该力场作用于质点，使其沿定向曲线 \(L\) 移动所做的功 \(W\)。

  • 作分割： 取分割 \(T = \{\alpha = t_0 < t_1 < \dots < t_m = \beta\}\)。

  • 取近似： 在每个子区间 \([t_{i-1}, t_i]\) 上任取一点 \(\xi_i\)。由于区间微小，力可近似为常向量 \(\vec{F}(\vec{x}(\xi_i))\)，位移向量为 \(\Delta\vec{x}_i = \vec{x}(t_i) - \vec{x}(t_{i-1})\)。微小功 \(\Delta W_i \approx \vec{F}(\vec{x}(\xi_i)) \cdot \Delta\vec{x}_i\)。

  • 作和与取极限： 总功近似为黎曼和，当分割无限变细时取极限。

2. 严格定义

设 \(L: \vec{x} = \vec{x}(t)\) (\(t \in [\alpha, \beta]\)) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中一条可求长的简单定向曲线（方向对应于 \(t\) 的增大方向）。向量函数 \(\vec{F}\) 在 \(L\) 上有定义。

如果极限

\[ \lim_{||T|| \to 0} \sum_{i=1}^m \vec{F}(\vec{x}(\xi_i)) \cdot \Delta\vec{x}_i \]

存在，且与分割 \(T\) 及介点 \(\xi_i\) 的选取无关，则称此极限为 \(\vec{F}\) 在定向曲线 \(L\) 上的第二型曲线积分，记作：

\[ \int_L \vec{F} \cdot d\vec{x} \]

3. 坐标表示法

  • 三维空间 (\(n=3\))： 曲线方程为 \(x=x(t), y=y(t), z=z(t)\)，向量场 \(\vec{F}(x,y,z) = (P, Q, R)\)。第二型曲线积分可记为：

    \[ \int_L P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz \]

  • 二维平面 (\(n=2\))： 退化为：

    \[ \int_L P(x,y)dx + Q(x,y)dy \quad \text{或简写为} \quad \int_L Pdx + Qdy \]

    (注：当 \(L\) 为封闭曲线时，积分号通常记作 \(\oint_L\))

九、 第二型曲线积分的性质（方向相关性）

与第一型曲线积分最大的区别在于，第二型曲线积分与曲线的积分方向密切相关。

设 \(L = \overset{\frown}{AB}\) 是一条简单的可求长定向曲线，记 \(-L = \overset{\frown}{BA}\) 为同一条曲线但方向相反。则有：

\[ \int_{-L} \vec{F} \cdot d\vec{x} = - \int_L \vec{F} \cdot d\vec{x} \]

推导理由： 当改变积分方向时，分割点依次反向遍历，使得每一个位移微元 \(\Delta\vec{x}_i\) 都变成了 \(-\Delta\vec{x}_i\)。

(对比：第一型曲线积分中，弧长微元 \(\Delta s_i\) 始终为正，故与方向无关。)

十、 第二型曲线积分的计算方法

1. 计算公式推导

设 \(\vec{F} = (F_1, \dots, F_n)\)，\(\vec{x} = (x_1, \dots, x_n)\) 且各分量函数 \(x_j(t)\) 光滑。

利用拉格朗日中值定理，对每个分量的位移展开：

\[ \sum_{i=1}^m \vec{F}(\vec{x}(\xi_i)) \cdot \Delta\vec{x}_i = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n F_j(\vec{x}(\xi_i))(x_j(t_i) - x_j(t_{i-1})) \]
\[ = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n F_j(\vec{x}(\xi_i)) x_j'(\eta_{ij}) \Delta t_i \]

当 \(||T|| \to 0\) 时，该和式转化为定积分：

\[ \int_\alpha^\beta \left( \sum_{j=1}^n F_j(\vec{x}(t)) x_j'(t) \right) dt = \int_\alpha^\beta \vec{F}(\vec{x}(t)) \cdot \vec{x}'(t) dt \]

2. 计算定理（参数化转化为定积分）

设 \(\mathbb{R}^n\) 中的光滑定向曲线 \(L\) 由 \(\vec{x} = \vec{x}(t)\), \(t \in [\alpha, \beta]\) 给出，且 \(L\) 的方向对应参数 \(t\) 增大的方向。若 \(\vec{F}\) 是 \(L\) 上的连续函数，则有：

  • 一般向量形式：

    \[ \int_L \vec{F} \cdot d\vec{x} = \int_\alpha^\beta \vec{F}(\vec{x}(t)) \cdot \vec{x}'(t) dt \]

  • 二维坐标展开：

    \[ \int_L Pdx + Qdy = \int_\alpha^\beta [P(x(t), y(t)) \cdot x'(t) + Q(x(t), y(t)) \cdot y'(t)] dt \]

  • 三维坐标展开：

    \[ \int_L Pdx + Qdy + Rdz = \int_\alpha^\beta [P(\dots) \cdot x'(t) + Q(\dots) \cdot y'(t) + R(\dots) \cdot z'(t)] dt \]

十一、 计算实例

例 1： 计算 \(\int_L y^2 dx + x^2 dy\)，针对以下两种不同路径的曲线 \(L\) 进行计算：

(1) \(L\) 为圆周 \(x^2+y^2=R^2\) 的上半部分，方向为逆时针方向。

解析： 由于是逆时针的上半圆，可写出标准参数方程：

\(x = R\cos t, \quad y = R\sin t, \quad t: 0 \to \pi\)

套用二维计算公式，将 \(x(t), y(t)\) 及其导数代入：

\[ \int_L y^2 dx + x^2 dy = \int_0^\pi [ (R\sin t)^2 \cdot (R\cos t)' + (R\cos t)^2 \cdot (R\sin t)' ] dt \]
\[ = \int_0^\pi [ R^2\sin^2 t (-R\sin t) + R^2\cos^2 t (R\cos t) ] dt \]
\[ = R^3 \int_0^\pi (\cos^3 t - \sin^3 t) dt \]

由三角函数在区间 \([0, \pi]\) 上的积分性质，\(\int_0^\pi \cos^3 t dt = 0\)，而 \(\int_0^\pi \sin^3 t dt = \frac{4}{3}\)。

最终结果：

\[ = R^3 \left( 0 - \frac{4}{3} \right) = -\frac{4}{3}R^3 \]

(2) \(L\) 为从点 \(M(R,0)\) 到 \(N(-R,0)\) 的直线段。

解析：

此时 \(L\) 位于 \(x\) 轴上，其参数方程极其简单：

\(y = y(x) = 0\)。且自变量 \(x\) 的范围是从 \(R\) 到 \(-R\)（注意方向对应积分上下限）。

此时 \(dy = 0\)，直接将 \(y=0\) 代入原积分：

\[ \int_L y^2 dx + x^2 dy = \int_R^{-R} (0^2 \cdot dx + x^2 \cdot 0) = \int_R^{-R} 0 dx = 0 \]

例 2：积分对路径的依赖与独立性（平面曲线）

计算积分 \(\int_L y dx + x dy\)，考虑以下不同积分路径 \(L\)（起点皆为 \(O(0,0)\)，终点皆为 \(B(1,2)\)）：

  1. 沿抛物线 \(y=2x^2\)：

    代入 $y=2x^2$ 及 $dy=4x dx$，积分限由 $x: 0 \to 1$。

$$

    \int_L y dx + x dy = \int_0^1 [2x^2 \cdot 1 + x \cdot (4x)] dx = \int_0^1 6x^2 dx = 2x^3 \Big|_0^1 = 2 $$

  2. 沿直线段 \(OB\) (\(y=2x\))：

    代入 $y=2x$ 及 $dy=2dx$，积分限 $x: 0 \to 1$。

$$

    \int_L y dx + x dy = \int_0^1 [2x \cdot 1 + x \cdot 2] dx = \int_0^1 4x dx = 2x^2 \Big|_0^1 = 2 $$

  3. 沿封闭曲线 \(OABO\)：（其中 \(A\) 为 \((1,0)\)）

    路径分为三段：\(\vec{OA}\) (\(y=0\)), \(\vec{AB}\) (\(x=1\)), \(\vec{BO}\) (\(y=2x\), 方向相反)。

    • \(\int_{\vec{OA}} y dx + x dy = \int_0^1 (0 + x \cdot 0) dx = 0\)

    • \(\int_{\vec{AB}} y dx + x dy = \int_0^2 (y \cdot 0 + 1 \cdot 1) dy = 2\)

    • \(\int_{\vec{BO}} y dx + x dy = - \int_{\vec{OB}} y dx + x dy = -2\)

      总积分为 \(0 + 2 + (-2) = 0\)。

      (注：此例表明，对于某些特定的向量场，曲线积分与路径无关，仅与起点和终点有关。沿闭合路径积分值为 0。)

例 3：利用空间轮换对称性（空间曲线）

计算 \(\int_L (y^2-z^2)dx + (z^2-x^2)dy + (x^2-y^2)dz\)，其中 \(L\) 为球面 \(x^2+y^2+z^2=1\) 在第一卦限部分的边界。从球面外侧看，\(L\) 取顺时针方向。

解析：

边界 \(L\) 由分别位于 \(yz, zx, xy\) 坐标面上的三段圆弧 \(L_1, L_2, L_3\) 组成。

单独考察 \(L_1\)（在 \(yz\) 平面上），此时 \(x=0, dx=0\)。

参数方程化为：\(y=\cos t, z=\sin t\)。由于是从外侧看顺时针方向，参数 \(t\) 的范围是 \(\frac{\pi}{2} \to 0\)。

代入计算 \(L_1\) 上的积分：

\[ \int_{L_1} (y^2-z^2)dx + (z^2-x^2)dy + (x^2-y^2)dz = \int_{\frac{\pi}{2}}^0 [0 + \sin^2 t \cdot (\cos t)' - \cos^2 t \cdot (\sin t)'] dt \]
\[ = \int_0^{\frac{\pi}{2}} [\sin^2 t \cdot \sin t + \cos^2 t \cdot \cos t] dt \]

利用化简手段：\(\sin^2 t = 1-\cos^2 t\) 以及 \(\cos^2 t = 1-\sin^2 t\)，

\[ = \int_0^{\frac{\pi}{2}} [-(1-\cos^2 t)(\cos t)' + (1-\sin^2 t)(\sin t)'] dt = \frac{4}{3} \]

由于球面以及被积函数在 \(x, y, z\) 的轮换下具有完全的对称性，因此在 \(L_2, L_3\) 上的积分也均为 \(\frac{4}{3}\)。

最终总积分：\(I = 3 \cdot \frac{4}{3} = 4\)。

十二、 两类曲线积分的联系

第二型曲线积分可以通过引入曲线切向量的方向余弦，完全转化为第一型曲线积分（对弧长的积分）。这一联系在理论推导和复杂问题的简化中极为关键。

1. 向量形式的推导

设 \(\mathbb{R}^n\) 中的光滑定向曲线 \(L: \vec{x} = \vec{x}(t)\)。第二型曲线积分公式为：

\[ \int_L \vec{F} \cdot d\vec{x} = \int_\alpha^\beta \vec{F}(\vec{x}(t)) \cdot \vec{x}'(t) dt \]

在积分号内乘以并除以 \(|\vec{x}'(t)|\)：

\[ = \int_\alpha^\beta \left( \vec{F}(\vec{x}(t)) \cdot \frac{\vec{x}'(t)}{|\vec{x}'(t)|} \right) |\vec{x}'(t)| dt \]

注意到 \(\frac{\vec{x}'(t)}{|\vec{x}'(t)|} = \vec{\tau}\) 是曲线 \(L\) 正向的单位切向量，且 \(|\vec{x}'(t)| dt = ds\) 为弧长微元。因此：

\[ \int_L \vec{F} \cdot d\vec{x} = \int_L (\vec{F}(\vec{x}) \cdot \vec{\tau}) ds \]

2. 坐标形式的联系公式

切向量的方向可以通过它与各坐标轴的夹角来描述。令 \(\vec{\tau}\) 在各坐标轴上的分量分别为方向余弦 \(\cos\theta_j\)。

\[ \cos\theta_j = \frac{x_j'(t)}{|\vec{x}'(t)|} \]

  • 三维空间 (\(n=3\))： 设单位切向量的方向余弦为 \((\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)\)。

    \[ \int_L P dx + Q dy + R dz = \int_L (P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma) ds \]

  • 二维平面 (\(n=2\))： 设单位切向量的方向余弦为 \((\cos\alpha, \cos\beta)\)。

    \[ \int_L P dx + Q dy = \int_L (P\cos\alpha + Q\cos\beta) ds \]

十三、 利用两类积分联系计算隐式曲线积分

当空间曲线由两个空间曲面的交线隐式给出，且直接参数化非常困难时，利用法向量的叉乘求出切向量，并转化为第一型曲线积分是一种高效的求解策略。

例 4：三维隐式曲线求积分

计算 \(\oint_L y dx + z dy + x dz\)，其中 \(L\) 为球面 \(x^2+y^2+z^2=1\) 和平面 \(x+y+z=1\) 的交线。从 \(x\) 轴正向看去，沿逆时针方向。

解析：

步骤 1：求交线 \(L\) 的切向量

曲线 \(L\) 是曲面 \(F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0\) 和 \(G(x,y,z)=x+y+z-1=0\) 的交线。其切向量必垂直于两个曲面在交点处的法向量 \(\nabla F\) 和 \(\nabla G\)。

通过计算叉积可求得切向量方向：

\[ \nabla F \times \nabla G = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2x & 2y & 2z \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(y-z)\vec{i} + 2(z-x)\vec{j} + 2(x-y)\vec{k} \]

提取公因子并结合题设的方向要求，确定正向切向量取 \(\vec{v} = (z-y, x-z, y-x)\)。

步骤 2：求单位切向量的方向余弦

计算该切向量的模长平方：

\[ |\vec{v}|^2 = (z-y)^2 + (x-z)^2 + (y-x)^2 = 2(x^2+y^2+z^2) - 2(xy+yz+xz) \]

在曲线上有 \(x^2+y^2+z^2=1\) 且 \(x+y+z=1\)。

利用恒等式 \((x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(xy+yz+xz)\)，可得 \(2(xy+yz+xz) = 1^2 - 1 = 0\)。

故 \(|\vec{v}|^2 = 2(1) - 0 = 2\)，即模长 \(|\vec{v}| = \sqrt{2}\)。

因此，单位切向量（方向余弦）为：

\[ \vec{\tau} = \left( \frac{z-y}{\sqrt{2}}, \frac{x-z}{\sqrt{2}}, \frac{y-x}{\sqrt{2}} \right) \]

步骤 3：转化为第一型曲线积分计算

应用两类积分的联系公式：

\[ I = \int_L \vec{F} \cdot \vec{\tau} ds = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_L [y(z-y) + z(x-z) + x(y-x)] ds \]

展开积分号内的被积函数：

\[ (*) = yz - y^2 + zx - z^2 + xy - x^2 = (xy+yz+zx) - (x^2+y^2+z^2) \]

代入前述关系式 \(xy+yz+zx = 0\) 且 \(x^2+y^2+z^2 = 1\)，得到：

\[ (*) = 0 - 1 = -1 \]

所以积分化简为一个纯几何量的第一型曲线积分：

\[ I = -\frac{1}{\sqrt{2}} \int_L ds \]

步骤 4：求交线的周长 \(s\)

平面 \(x+y+z=1\) 截取坐标轴得到三个点 \((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\)，这三点都在单位球面上。因此交线 \(L\) 正好是以这三点为顶点的等边三角形的外接圆。

等边三角形的边长 \(a = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}\)。

其外接圆半径 \(R = \frac{\sqrt{3}}{3} a = \frac{\sqrt{6}}{3}\)。

交线 \(L\) 的总弧长 \(s = 2\pi R = \frac{2\pi\sqrt{6}}{3}\)。

最终结果：

\[ I = -\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2\pi\sqrt{6}}{3} = -\frac{2\pi\sqrt{3}}{3} \]

十四、 格林公式 (Green's Theorem) 的基础与推导

格林公式沟通了沿着平面闭曲线的线积分与该闭曲线所包围的平面区域上的二重积分。它是牛顿-莱布尼茨公式在二维平面上的自然推广。

1. 平面区域与边界的正向

  • 连通性： 设 \(D\) 是平面上的区域。若 \(D\) 没有“洞”，则称 \(D\) 为单连通区域；若存在“洞”，则称为多连通区域。

  • 边界正向的定义： 设 \(D\) 为平面闭区域，其边界记为 \(\partial D\)。规定 \(\partial D\) 的正向为：当一个人沿着 \(\partial D\) 行走时，区域 \(D\) 总是位于这个人的左手边。

2. 核心推导逻辑（以 \(x\)-型区域为例）

设 \(D\) 是一个 \(x\)-型区域：\(D = \{(x,y): \varphi(x) \le y \le \psi(x), x \in [a,b]\}\)，且边界曲线分段光滑。

计算闭曲线积分 \(\oint_{\partial D} P dx\) 时，将边界分为四段：上下两条曲线 \(C_2, C_4\) 和左右两条直线段 \(C_1, C_3\)：

  • 沿垂直直线段 \(C_1\) (\(x=a\)) 和 \(C_3\) (\(x=b\))，由于 \(dx=0\)，积分均为 0。

  • 总积分化为上下边界的积分：

    \[ \oint_{\partial D} P dx = \int_a^b P(x, \varphi(x)) dx + \int_b^a P(x, \psi(x)) dx = -\int_a^b [P(x, \psi(x)) - P(x, \varphi(x))] dx \]

  • 应用牛顿-莱布尼茨公式，上式可转化为对偏导数的积分：

    \[ = -\int_a^b \left[ \int_{\varphi(x)}^{\psi(x)} \frac{\partial P}{\partial y}(x,y) dy \right] dx = -\iint_D \frac{\partial P}{\partial y} dxdy \]

    同理，对于可分解为有限个 \(y\)-型区域的 \(D\)，有 \(\oint_{\partial D} Q dy = \iint_D \frac{\partial Q}{\partial x} dxdy\)。

3. 格林定理 (Green's Theorem) 正式表述

设 \(D \subset \mathbb{R}^2\) 是由有限条分段光滑曲线围成的闭区域。如果函数 \(P(x,y), Q(x,y)\) 及其一阶偏导数 \(\frac{\partial P}{\partial y}, \frac{\partial Q}{\partial x}\) 在 \(D\) 上连续，则有：

\[ \oint_{\partial D} P dx + Q dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy \]

(其中 \(\partial D\) 取区域 \(D\) 的正向边界)。

注：格林公式的右边可方便地记忆为行列式形式：\(\iint_D \begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\ P & Q \end{vmatrix} dxdy\)。

十五、 曲线积分求平面区域面积

利用格林公式，可以将计算区域面积（二重积分）反向转化为计算边界上的线积分。

1. 面积公式

在格林公式中：

  • 若令 \(Q(x,y)=x, P(x,y)=0\)，则 \(\oint_{\partial D} x dy = \iint_D 1 dxdy = \sigma(D)\)。

  • 若令 \(Q(x,y)=0, P(x,y)=-y\)，则 \(\oint_{\partial D} (-y) dx = \iint_D 1 dxdy = \sigma(D)\)。

    综合上述两式，得到最常用的求面积的曲线积分公式：

    \[ \sigma(D) = \frac{1}{2} \oint_{\partial D} x dy - y dx \]

2. 实例：计算椭圆面积

求椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) (\(a, b > 0\)) 所围图形的面积。

解析：

选取参数方程 \(x = a\cos\theta, y = b\sin\theta, \theta \in [0, 2\pi]\)。此时 \(\theta\) 从 \(0\) 到 \(2\pi\) 恰好对应正向边界。

代入面积公式：

\[ \sigma(D) = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} [a\cos\theta \cdot (b\sin\theta)' - b\sin\theta \cdot (a\cos\theta)'] d\theta \]
\[ = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} (ab\cos^2\theta + ab\sin^2\theta) d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} ab d\theta = \pi ab \]

十六、 格林公式的应用技巧与特殊情形

在实际解题中，往往需要结合图形特点，采用“闭合曲线”、“隔离奇点”等技巧来满足格林公式的使用条件。

1. 常规应用

例： 计算 \(I = \int_L \sqrt{x^2+y^2} dx + y[xy + \ln(x+\sqrt{x^2+y^2})] dy\)，其中 \(L\) 为由 \(y=\sin x\) (\(0 \le x \le \pi\)) 与 \(y=0\) 所围区域 \(D\) 的正向边界。

解析：

设 \(P = \sqrt{x^2+y^2}\), \(Q = y[xy + \ln(x+\sqrt{x^2+y^2})]\)。

分别求偏导：\(\frac{\partial Q}{\partial x} = y^2 + \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\), \(\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\)。

直接应用格林公式化简得：

\[ I = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy = \iint_D y^2 dxdy \]

化为累次积分：

\[ I = \int_0^\pi dx \int_0^{\sin x} y^2 dy = \int_0^\pi \frac{1}{3} \sin^3 x dx = \frac{4}{9} \]

2. 补线法 (曲线不闭合的处理)

例： 计算 \(I = \int_L (e^x\sin y - my) dx + (e^x\cos y - m) dy\)，其中 \(L\) 为上半圆周 \((x-a)^2+y^2=a^2\) (\(a>0\))，方向从 \(A(2a,0)\) 到原点 \(O(0,0)\)。

解析：

由于 \(L\) 不是闭合曲线，不可直接用格林公式。我们添加直线段 \(\vec{OA}\) (\(y=0, x: 0 \to 2a\)) 将其封闭。

令 \(D = \{(x,y): (x-a)^2+y^2 \le a^2, y \ge 0\}\)，则正向边界为 \(\partial D = L \cup \vec{OA}\)。

在 \(D\) 上，\(\frac{\partial Q}{\partial x} = e^x\cos y\), \(\frac{\partial P}{\partial y} = e^x\cos y - m\)。

应用格林公式：

\[ \oint_{\partial D} Pdx + Qdy = \iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dxdy = \iint_D m dxdy = m \cdot \sigma(D) = \frac{m\pi}{2}a^2 \]

而辅助线段上的积分为：

\[ \int_{\vec{OA}} Pdx + Qdy = \int_0^{2a} [e^x\sin 0 - m(0)] dx = 0 \]

故原积分为 \(I = \oint_{\partial D} - \int_{\vec{OA}} = \frac{m\pi}{2}a^2 - 0 = \frac{m\pi}{2}a^2\)。

3. 挖洞法 (隔离奇点)

当被积函数在区域内某点无定义（即偏导数不连续的奇点）时，必须避开该点才能使用格林公式。

经典例题： 计算 \(I = \oint_L \frac{x dy - y dx}{x^2+y^2}\)，其中 \(L\) 是包围原点的任意分段光滑正向闭曲线。

解析：

设 \(P = \frac{-y}{x^2+y^2}, Q = \frac{x}{x^2+y^2}\)。计算发现当 \((x,y) \neq (0,0)\) 时，恒有 \(\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}\)。但由于原点 \((0,0)\) 在 \(L\) 内部且为奇点，无法直接对 \(L\) 内全区域用格林公式。

操作步骤：

  1. 构造内边界： 在 \(L\) 内部作一个足够小的圆 \(L_\varepsilon: x^2+y^2=\varepsilon^2\)，取顺时针方向为边界（即内部区域的负方向，记为 \(-L_\varepsilon\)）。

  2. 构建多连通区域： 设 \(L\) 与 \(L_\varepsilon\) 之间的多连通区域为 \(D_\varepsilon\)，其正向边界为 \(L \cup (-L_\varepsilon)\)。

  3. 应用格林公式： 在 \(D_\varepsilon\) 内没有奇点，且 \(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0\)。

    $$

    \oint_{\partial D_\varepsilon} Pdx + Qdy = \iint_{D_\varepsilon} 0 dxdy = 0 $$

    即 $\int_L Pdx+Qdy + \int_{-L_\varepsilon} Pdx+Qdy = 0$，从而推出 $\int_L Pdx+Qdy = \int_{L_\varepsilon} Pdx+Qdy$ （注意此时等式右侧 $L_\varepsilon$ 恢复为常规的逆时针正方向）。

  4. 计算小圆上的积分： 由于在 \(L_\varepsilon\) 上 \(x^2+y^2=\varepsilon^2\) 是常数，分母可提出：

    \[ I = \frac{1}{\varepsilon^2} \int_{L_\varepsilon} (xdy - ydx) \]

    利用前述面积公式，\(\int_{L_\varepsilon} (xdy - ydx) = 2 \cdot \sigma(L_\varepsilon) = 2\pi\varepsilon^2\)。

    最终得到：\(I = \frac{1}{\varepsilon^2} \cdot 2\pi\varepsilon^2 = 2\pi\)。

    (注：这说明只要闭曲线包含原点，该积分值恒为 \(2\pi\)；若不包含原点，由格林公式可知积分为 \(0\)。)

十七、 曲线积分与路径的无关性及全微分

在物理学中，保守力场做功与路径无关。在数学上，这一特性与多元函数的全微分以及格林公式密切相关。

1. 四个等价命题 (核心定理)

设 \(D\) 是平面上的单连通开区域，若函数 \(P, Q\) 及其一阶偏导数 \(\frac{\partial P}{\partial y}, \frac{\partial Q}{\partial x}\) 在 \(D\) 内连续，则以下四个命题是完全等价的：

  1. 沿闭曲线积分为零： 对 \(D\) 内任意一条分段光滑的闭曲线 \(L\)，有 \(\oint_L Pdx + Qdy = 0\)。

  2. 积分与路径无关： 对 \(D\) 内任意分段光滑曲线 \(L\)，曲线积分 \(\int_L Pdx + Qdy\) 的值与路径无关，只与 \(L\) 的起点和终点有关。

  3. 是某函数的全微分： \(Pdx + Qdy\) 是 \(D\) 内某一函数 \(u(x,y)\) 的全微分。即在 \(D\) 内存在原函数 \(u(x,y)\) 使得 \(du = Pdx + Qdy\)（等价于 \(\frac{\partial u}{\partial x} = P\), \(\frac{\partial u}{\partial y} = Q\)）。

  4. 偏导数相等（无旋条件）： 在 \(D\) 内处处成立 \(\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}\)。

2. 核心证明思路梳理

  • (1) \(\Rightarrow\) (2)： 通过将两条具有相同起终点的路径反向拼接成闭合曲线，利用积分可加性易证。

  • (4) \(\Rightarrow\) (1)： 直接利用格林公式 \(\iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})dxdy = 0\) 即可得出。

  • (2) \(\Rightarrow\) (3) (构造法)： 固取 \(D\) 内一点 \(A(x_0, y_0)\)，任取 \(B(x,y)\)。定义函数 \(u(x,y) = \int_A^B Pdx + Qdy\)。由于积分与路径无关，该积分值仅由坐标 \((x,y)\) 决定，即 \(u(x,y)\) 是一个单值函数。

    • 证明 \(\frac{\partial u}{\partial x} = P\)：利用导数定义 \(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x, y) - u(x,y)}{\Delta x}\)。这等价于计算从 \((x,y)\) 到 \((x+\Delta x, y)\) 沿水平线段的积分除以 \(\Delta x\)。此时 \(dy=0\)，积分变为 \(\frac{1}{\Delta x} \int_x^{x+\Delta x} P(t, y) dt\)。利用积分中值定理得到 \(P(x+\theta\Delta x, y)\)，取极限即为 \(P(x,y)\)。同理可证 \(\frac{\partial u}{\partial y} = Q\)。

  • (3) \(\Rightarrow\) (1)/(2) (牛顿-莱布尼茨公式)： 若存在 \(u\) 使得 \(du = Pdx + Qdy\)，沿任意参数曲线 \(x=x(t), y=y(t)\) 积分时，被积式即为 \(\frac{d}{dt}[u(x(t), y(t))] dt\)。积分结果为 \(u(x(\beta), y(\beta)) - u(x(\alpha), y(\alpha))\)，显然只与起终点有关。

十八、 原函数 (全微分) 的求法与计算实例

当验证了 \(\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}\) 后，可以通过折线法（沿平行于坐标轴的路径）简便地求出原函数 \(u(x,y)\)。

例题解析：

证明在整个平面上 \((e^x\sin y - my)dx + (e^x\cos y - mx)dy\) 是某函数的全微分，求该函数，并计算从 \((0,0)\) 到 \((1,1)\) 的积分 \(I\)。

1. 验证全微分条件

令 \(P(x,y) = e^x\sin y - my\), \(Q(x,y) = e^x\cos y - mx\)。

对于 \(\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2\)，计算偏导数：

\[ \frac{\partial P}{\partial y} = e^x\cos y - m, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = e^x\cos y - m \]

因为 \(\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}\) 恒成立，所以该表达式是全微分。

2. 利用折线法求原函数 \(u(x,y)\)

任取终点 \((x_1, y_1)\)，从原点 \((0,0)\) 积分到该点。为方便计算，选取折线路径：先沿 \(x\) 轴从 \(O(0,0)\) 到 \(A(x_1, 0)\)，再沿垂直线段从 \(A(x_1, 0)\) 到 \(B(x_1, y_1)\)。

\[ u(x_1, y_1) = \int_{\overline{OA}} Pdx+Qdy + \int_{\overline{AB}} Pdx+Qdy \]

  • 线段 \(OA\)： 方程为 \(y=0, dy=0\)，参数 \(t: 0 \to x_1\)。

    \[ \int_{\overline{OA}} = \int_0^{x_1} P(t, 0) dt = \int_0^{x_1} (e^t\sin 0 - m \cdot 0) dt = 0 \]

  • 线段 \(AB\)： 方程为 \(x=x_1, dx=0\)，参数 \(t: 0 \to y_1\)。

    \[ \int_{\overline{AB}} = \int_0^{y_1} Q(x_1, t) dt = \int_0^{y_1} (e^{x_1}\cos t - mx_1) dt = e^{x_1}\sin y_1 - mx_1y_1 \]

将变量换回 \((x,y)\)，得到原函数：

\[ u(x,y) = e^x\sin y - mxy \]

3. 计算积分值

利用原函数直接代入起终点坐标：

\[ I = u(1,1) - u(0,0) = (e^1\sin 1 - m \cdot 1 \cdot 1) - 0 = e\sin 1 - m \]