06_本征值、本征向量与不变子空间
一、 基础设定
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数域：讨论基于实数域或复数域，统一记作 \(\mathbb{F} = \mathbb{R}\) 或 \(\mathbb{C}\)。
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线性算子：设 \(T\) 为有限维向量空间 \(V\) 上的线性算子，记作 \(T \in \mathscr{L}(V)\)。
二、 不变子空间
1. 不变子空间的定义
设 \(W\) 是 \(V\) 的子空间（记作 \(W \le V\)）。如果对于子空间 \(W\) 中的任意向量 \(v\)，其经过算子 \(T\) 映射后的结果 \(Tv\) 仍然属于 \(W\)，即：
则称子空间 \(W\) 为算子 \(T\) 的不变子空间。
2. 经典实例
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零子空间 \(\{0\}\)：因为 \(T(0) = 0 \in \{0\}\)。
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全空间 \(V\)：因为 \(T\) 的到达域是 \(V\)，显然恒成立。
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零空间 \(\text{null } T\)：\(\forall v \in \text{null } T\)，有 \(Tv = 0 \in \text{null } T\)。
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值域 \(\text{range } T\)：\(\forall v \in V\)，\(Tv\) 根据定义天然落在 \(\text{range } T\) 中。
【例 】多项式空间的微分算子
设 \(D: \mathscr{P}(\mathbb{R}) \to \mathscr{P}(\mathbb{R})\) 为求导算子，定义为 \(D(p(x)) = p'(x)\)。
对于任意非负整数 \(n\)，最高次数不超过 \(n\) 的多项式空间 \(\mathscr{P}_n(\mathbb{R})\) 是 \(D\)-不变的，因为求导会降低多项式的次数。此外，\(\text{null } D = \mathbb{R}\)（常数项多项式）。
3. 算子可交换性与不变子空间
性质：若存在另一个线性算子 \(S\)，且 \(S\) 与 \(T\) 满足复合运算的交换律（即 \(ST = TS\)），则 \(\text{range } S\) 是 \(T\) 的不变子空间。
证明：
\(\forall Sv \in \text{range } S\)，应用 \(T\) 作用得 \(T(Sv) = (TS)v = (ST)v = S(Tv) \in \text{range } S\)。
4. 限制算子与商算子
若 \(W\) 是 \(T\)-不变子空间，基于 \(W\) 可以定义两个新的重要算子：
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限制算子 \(T|_W : W \to W\)
由于 \(W\) 是不变的，算子 \(T\) 限制在 \(W\) 上仍然是一个良好定义的线性算子。
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商算子 \(T/W : V/W \to V/W\)
定义为：\((T/W)(v+W) = Tv + W\)。
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良定义性证明：若 \(v_1+W = v_2+W\)，则 \(v_1-v_2 \in W\)。由于 \(W\) 是 \(T\)-不变的，故 \(T(v_1-v_2) \in W\)，即 \(Tv_1 - Tv_2 \in W\)。从而 \(Tv_1+W = Tv_2+W\)。
-
线性证明：
\[ \begin{aligned} (T/W)\big(\lambda_1(v_1 + W) + \lambda_2(v_2 + W)\big) &= (T/W)\big((\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2) + W\big) \\ &= T(\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2) + W \\ &= \lambda_1 Tv_1 + \lambda_2 Tv_2 + W \\ &= \lambda_1(T/W)(v_1 + W) + \lambda_2(T/W)(v_2 + W) \end{aligned} \] -
【例】不变子空间的直和补
问题：如果 \(U\) 是 \(T\)-不变子空间，是否一定存在另一个不变子空间 \(W\)，使得 \(V = U \oplus W\)？（答案：不一定）
反例：设 \(T \in \mathscr{L}(\mathbb{F}^2)\)，定义 \(T(x, y) = (y, 0)\)。
设 \(U = \{(x, 0) | x \in \mathbb{F}\}\)。
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\(U\) 是 \(T\)-不变的：因为 \(T(x, 0) = (0, 0) \in U\)。此时限制算子 \(T|_U = 0\)。
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空间 \(\mathbb{F}^2\) 中 \(U\) 的所有代数补空间形式为 \(W_k = \{(ky, y) | y \in \mathbb{F}\}\)。
-
检验 \(W_k\) 的不变性：\(T(ky, y) = (y, 0)\)。若要求 \((y, 0) \in W_k\)，则必须有 \((y, 0) = (ky', y')\)，推导得出 \(y' = 0 \implies y = 0\)。因此，对于非零向量，\(W_k\) 不是不变子空间。不存在满足条件的不变补空间。
三、 本征值与本征向量
1. 定义
对于 \(\forall T \in \mathscr{L}(V)\)，若存在标量 \(\lambda \in \mathbb{F}\) 及非零向量 \(v \in V \ (v \neq 0)\)，满足：
则称 \(\lambda\) 为算子 \(T\) 的本征值（特征值），\(v\) 为对应的本征向量（特征向量）。
2. 实例解析
旋转算子：\(T \in \mathscr{L}(\mathbb{F}^2)\)，\(T(w, z) = (-z, w)\)。
-
当 \(\mathbb{F} = \mathbb{R}\) 时：假设存在本征值 \(\lambda \in \mathbb{R}\)，则 \((-z, w) = \lambda(w, z)\)。即 \(-z = \lambda w\) 且 \(w = \lambda z\)。代入得 \(w = -\lambda^2 w \implies (\lambda^2+1)w = 0\)。若 \(w=0\) 则 \(z=0\)，但本征向量不能为零向量，故必有 \(\lambda^2+1=0\)。在实数域无解，故实空间中此算子无本征值。
-
当 \(\mathbb{F} = \mathbb{C}\) 时：\(\lambda^2+1=0 \implies \lambda = \pm i\)。当 \(\lambda = i\) 时，\(w = iz, z = -iw\)，对应的本征向量形如 \(t(i, 1) \ (t \neq 0)\)。
3. 本征值的等价刻画
定理： 设有限维空间 \(\dim V < \infty\)，\(T \in \mathscr{L}(V)\)，\(\lambda \in \mathbb{F}\)。以下命题等价：
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\(\lambda\) 是 \(T\) 的本征值。
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算子 \(T - \lambda I\) 不是单射。
-
算子 \(T - \lambda I\) 不是满射。
-
算子 \(T - \lambda I\) 不可逆。
推导逻辑：\(Tv = \lambda v \iff (T - \lambda I)v = 0 \iff v \in \text{null}(T - \lambda I)\)。既然 \(v \neq 0\)，说明零空间非平凡，故不是单射（有限维空间下单射、满射、可逆互为等价）。
4. 本征向量的线性无关性
定理：属于不同本征值的本征向量是线性无关的。
-
证明（极小反例法）：设 \(\lambda_1, \dots, \lambda_m\) 互不相同，对应的本征向量 \(v_1, \dots, v_m\) 线性相关。
选取其中长度最短的线性相关关系（假设前 \(t\) 个向量相关）：
\(l_1v_1 + l_2v_2 + \dots + l_t v_t = 0 \quad (\text{其中 } l_i \neq 0)\)
两边同时作用算子 \(T\)：\(l_1\lambda_1v_1 + \dots + l_t\lambda_t v_t = 0\)
将原式两边同时乘以 \(\lambda_t\)：\(l_1\lambda_tv_1 + \dots + l_t\lambda_t v_t = 0\)
两式相减得：
\(l_1(\lambda_1 - \lambda_t)v_1 + \dots + l_{t-1}(\lambda_{t-1} - \lambda_t)v_{t-1} = 0\)
因为 \(\lambda_i\) 互不相同且 \(l_i \neq 0\)，这构成了一个更短的非平凡线性关系，与假设矛盾！故必定线性无关。
推论：若 \(\dim V < \infty\)，则算子 \(T\) 互不相同的本征值个数 \(m \le \dim V\)。
四、 多项式算子与极小多项式
1. 算子的多项式
设 \(p(x) \in \mathscr{P}(\mathbb{F})\)，多项式 \(p(x) = a_0 + a_1 x + \dots + a_m x^m\) 作用于算子 \(T\) 定义为：
性质：由于多项式乘法满足交换律 \(p(x)q(x) = q(x)p(x)\)，故算子多项式也满足交换律：\(p(T)q(T) = q(T)p(T)\)。
2. 复数域上本征值的存在性
定理：对于任意有限维复向量空间（\(\mathbb{F} = \mathbb{C}, \dim V < \infty\)），\(T \in \mathscr{L}(V)\) 必定存在至少一个本征值。
证明：
设 \(\dim V = n\)。任取 \(v \in V, v \neq 0\)。
考虑 \(n+1\) 个向量：\(v, Tv, T^2v, \dots, T^nv\)。由维度定理，它们必定线性相关。
因此存在不全为 \(0\) 的系数，使得：\(l_0v + l_1Tv + \dots + l_m T^m v = 0 \ (m \le n, l_m \neq 0)\)。
定义多项式 \(p(x) = l_0 + l_1x + \dots + l_mx^m\)，则有 \(p(T)v = 0\)。
根据代数基本定理，在复数域中将 \(p(x)\) 分解为一次因式：
\(p(x) = l_m (x - \lambda_1) \dots (x - \lambda_m)\)
因此：\(l_m(T - \lambda_1 I) \dots (T - \lambda_m I)v = 0\)。
由于 \(v \neq 0\)，这一串算子作用下去最终变成了零向量，这意味着必定在某一步，一个非零向量被算子 \((T - \lambda_i I)\) 映射成了零向量。
即存在非零向量 \(u\) 使得 \((T - \lambda_i I)u = 0 \implies Tu = \lambda_i u\)。故 \(\lambda_i\) 是本征值。
3. 零化多项式与极小多项式
由于有限维空间中 \(\mathscr{L}(V)\) 的维数也是有限的（\(n^2\)），必定存在多项式使得 \(p(T) = \mathbf{0}\) （即算子映射任何向量都为 0）。
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集合 \(I = \{ q(x) \in \mathscr{P}(\mathbb{F}) | q(T) = 0 \}\) 是非空的。
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在集合 \(I\) 中，存在一个次数最低的首一多项式，称为 \(T\) 的极小多项式，记作 \(q(x)\)。
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唯一性与整除性：若有任意多项式 \(f(x)\) 使得 \(f(T) = 0\)。利用多项式带余除法：
\(f(x) = s(x)q(x) + r(x)\)，其中 \(r(x) = 0\) 或 \(\deg r < \deg q\)。
代入算子 \(T\) 得 \(0 = f(T) = s(T)q(T) + r(T) = 0 + r(T) \implies r(T) = 0\)。
因为 \(q(x)\) 已经是使算子为零的最低次多项式，故 \(r(x)\) 只能为 \(0\)恒等式。即极小多项式 \(q(x)\) 整除任何零化多项式 \(f(x)\)。由此也容易证明极小多项式是唯一的。
五、 准素分解（空间分解）定理
通过分析线性算子的零化多项式的代数结构，可以将其所在的整个线性空间进行严密的几何分解。
设 \(f(T) = 0\)，且 \(f(x)\) 可以分解为互素多项式的乘积：\(f(x) = p_1(x)^{e_1} \dots p_r(x)^{e_r}\)（其中 \(p_i(x)\) 为不可约多项式）。
则全空间 \(V\) 可以分解为不变子空间的直和：
其中 \(V_i = \text{null } p_i(T)^{e_i}\)，且每个 \(V_i\) 都是 \(T\)-不变子空间。
【证明】
第一步：子空间独立性的确立
目标：证明若 \(v_1 + v_2 + \dots + v_r = 0\)（其中 \(v_i \in V_i\)），则必有 \(v_1 = v_2 = \dots = v_r = 0\)。
对于每一个 \(i \in \{1, \dots, r\}\)，定义多项式 \(f_i(x)\) 为剔除第 \(i\) 个特征因子后的乘积：
根据子空间 \(V_j = \text{null } p_j(T)^{e_j}\) 的定义：
-
对于 \(j \neq i\)：多项式 \(f_i(x)\) 包含了因子 \(p_j(x)^{e_j}\)。因此，当 \(f_i(T)\) 作用于 \(v_j \in V_j\) 时，由于算子可交换，有：
\[ f_i(T)v_j = \left( \prod_{k \neq i, j} p_k(T)^{e_k} \right) \cdot \underbrace{p_j(T)^{e_j} v_j}_{0} = 0 \]
将算子 \(f_i(T)\) 作用于已知等式 \(v_1 + v_2 + \dots + v_r = 0\) 的两边：
利用上述性质，等式左边除了第 \(i\) 项外全部变为零：
现在得到了关于 \(v_i\) 的两个约束条件：
-
\(p_i(T)^{e_i} v_i = 0\) （由 \(v_i \in V_i\) 的定义所得）
-
\(f_i(T) v_i = 0\) （由上述推导所得）
由于 \(p_i(x)^{e_i}\) 与 \(f_i(x)\) 是互素的（它们没有共同的不可约因子），根据多项式的裴蜀定理，存在多项式 \(a(x)\) 和 \(b(x)\) 使得：
代入算子 \(T\) 并作用于 \(v_i\)：
由此得出 \(v_i = 0\)。
结论
由于上述推导对任意 \(i\) 均成立，我们证明了当子空间向量之和为零时，每个分量必须为零。这满足了直和的充分必要条件，确立了子空间的独立性：
第二步：空间和的证明 (\(V = V_1 + V_2 + \dots + V_r\))
为了证明全空间 \(V\) 中的任意向量都能由这些子空间中的向量拼凑而成，需要借助多项式的裴蜀定理。
1. 构造互素多项式族
令 \(f_i(x)\) 为总零化多项式 \(f(x)\) 剔除第 \(i\) 个因子后剩余的部分：
由于各个 \(p_i(x)\) 是彼此不同的不可约多项式，那么多项式族 \((f_1(x), f_2(x), \dots, f_r(x))\) 的最大公因式为 \(1\)。
2. 引入裴蜀恒等式并转化为算子
根据多项式理论，既然最大公因式为 \(1\)，必定存在一组多项式 \(u_1(x), \dots, u_r(x)\)，使得它们的线性组合恒等于 \(1\)：
将线性算子 \(T\) 代入上述恒等式，常数 \(1\) 变为恒等算子 \(I\)，得到算子等式：
3. 对任意向量进行分解
对于空间 \(V\) 中的任意向量 \(v\)，将上述算子等式两边同时作用于 \(v\)：
现在，向量 \(v\) 被拆分成了 \(r\) 个项的和。我们将其中的第 \(i\) 项记为 \(v_i\)，即 \(v_i = u_i(T)f_i(T)v\)。
4. 验证分量 \(v_i\) 的空间归属
我们需要证明这个构造出来的 \(v_i\) 确实属于对应的子空间 \(V_i\)（即证明它能被 \(p_i(T)^{e_i}\) 零化）。
将算子 \(p_i(T)^{e_i}\) 作用于 \(v_i\)，由于多项式算子之间满足乘法交换律，有：
因为 \(f(T) = \mathbf{0}\) 是算子 \(T\) 的零化多项式，所以 \(u_i(T)f(T)v = 0\)。
这完美地证明了 \(v_i \in \text{null } p_i(T)^{e_i}\)，即 \(v_i \in V_i\)。
结论
综上所述，任意向量 \(v \in V\) 都可以成功分解为各个 \(V_i\) 中向量的和，这就证明了 \(V = V_1 + V_2 + \dots + V_r\)。
再结合第一步中已经证明的子空间独立性，即可正式确立全空间的不变子空间直和关系：
六、 算子可对角化的条件
1. 极小多项式判定准则
定理：设 \(T \in \mathscr{L}(V)\)，则 \(T\) 是可对角化的 当且仅当 \(T\) 的极小多项式 \(p(x)\) 没有重根（即由互不相同的线性因式组成）。
形式化表述：
2. 证明
-
充分性 (\(\Leftarrow\)) 证明：
已知极小多项式 \(p(x) = (x - \lambda_1) \dots (x - \lambda_r)\)。根据准素分解定理，全空间可以分解为：
\[ V = V_1 \oplus V_2 \oplus \dots \oplus V_r \]其中 \(V_i = \text{null}(T - \lambda_i I)\)。
这意味着，对于任意 \(v \in V_i\)，都有 \((T - \lambda_i I)v = 0 \implies Tv = \lambda_i v\)。即 \(V_i\) 正是对应于本征值 \(\lambda_i\) 的本征子空间。
在每个 \(V_i\) 中取一组基 \(\{\varepsilon_{i1}, \dots, \varepsilon_{im_i}\}\)，将所有这些基合并起来 \(\{\varepsilon_{11}, \dots, \varepsilon_{rm_r}\}\)，由于是直和，这必定构成全空间 \(V\) 的一组基。由于这组基完全由本征向量组成，故算子 \(T\) 在这组基下是可对角化的。
-
必要性 (\(\Rightarrow\)) 证明：
已知 \(T\) 是可对角化的，则存在一组基，使得 \(T\) 的矩阵表现为对角阵 \(\text{diag}(\lambda_1 E_{m_1}, \dots, \lambda_r E_{m_r})\)（将相同的本征值归在一起，\(E\) 为单位阵）。
构造多项式 \(P(x) = (x - \lambda_1) \dots (x - \lambda_r)\)（没有重根）。
将对角阵代入该多项式进行检验，由于对角阵的多项式运算等于对角线上各元素分别进行多项式运算，我们发现对于每一个分块 \(\lambda_i E_{m_i}\)，因式 \((x - \lambda_i)\) 会使其变为零块，从而整个矩阵变为零阵。
因此 \(P(T) = \mathbf{0}\)，且因为本征值必须是极小多项式的根，所以极小多项式必然就是这个没有重根的 \(P(x)\)。
3. 应用实例
通过观察多项式方程，可以直接判断矩阵（算子）的对角化性质：
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幂等矩阵 \(A^2 = A\)：对应的零化多项式为 \(x^2 - x = 0 \implies x(x - 1) = 0\)。根为 \(0, 1\)，无重根。必然可对角化，相似于形如 \(\begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) 的矩阵。
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对合矩阵 \(A^2 = E\)：对应的零化多项式为 \(x^2 - 1 = 0 \implies (x - 1)(x + 1) = 0\)。根为 \(1, -1\)，无重根。必然可对角化，相似于形如 \(\begin{pmatrix} E_s & 0 \\ 0 & -E_t \end{pmatrix}\) 的矩阵。
-
方程 \(A^2 - 2A - 3E = \mathbf{0}\)：对应多项式 \(x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (x - 3)(x + 1) = 0\)。根为 \(3, -1\)，无重根。必然可对角化。
七、 复数域上的上三角化定理
在复数域中，虽然不是所有算子都能对角化，但所有线性算子都可以化为上三角矩阵。
定理：设 \(\mathbb{F} = \mathbb{C}\) 且 \(\dim V < \infty\)，\(T \in \mathscr{L}(V)\)。则必定存在 \(V\) 的一组基 \(v_1, \dots, v_n\)，使得算子 \(T\) 在该基下的矩阵表示为上三角矩阵：
证明（利用商空间进行数学归纳法）：
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归纳基础：当 \(\dim V = 1\) 时，任取非零向量 \(v\) 构成基，\(Tv = \lambda v\)，矩阵就是一个标量，显然是上三角的。
-
归纳假设：假设对于所有 \(\dim = n\) 的复向量空间，定理成立。
-
递推步（证明 \(\dim V = n+1\) 成立）：
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由于是在复数域 \(\mathbb{C}\) 上，算子 \(T\) 必定存在至少一个本征值 \(\lambda_1\) 及对应的本征向量 \(v_1\)（即 \(Tv_1 = \lambda_1 v_1\)）。
-
令 \(U = \text{span}(v_1)\)。由于 \(v_1\) 是本征向量，\(U\) 显然是一个一维的 \(T\)-不变子空间。
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构造商空间 \(V/U\)。其维数为 \(\dim(V/U) = \dim V - \dim U = (n+1) - 1 = n\)。
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在商空间上定义商算子 \(T/U\)。由归纳假设，存在 \(V/U\) 的一组基 \(v_2+U, \dots, v_{n+1}+U\)，使得 \(T/U\) 在这组基下的矩阵是上三角阵 \((a_{ij})\)。
-
这意味着对于这组基，有：
\((T/U)(v_i+U) = a_{2i}(v_2+U) + \dots + \lambda_i(v_i+U)\)
即：\(T v_i + U = (a_{2i}v_2 + \dots + \lambda_i v_i) + U\)
-
这等价于：\(T v_i - (a_{2i}v_2 + \dots + \lambda_i v_i) \in U\)。
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由于 \(U = \text{span}(v_1)\)，所以存在标量 \(a_{1i}\) 使得：
\(T v_i - (a_{2i}v_2 + \dots + \lambda_i v_i) = a_{1i}v_1 \implies T v_i = a_{1i}v_1 + a_{2i}v_2 + \dots + \lambda_i v_i\)
-
这说明了 \(Tv_i\) 可以被 \(v_1, v_2, \dots, v_i\) 线性表出。
-
最后，我们需要验证 \(\{v_1, v_2, \dots, v_{n+1}\}\) 是 \(V\) 的一组基（即验证它们线性无关）：
设 \(l_1v_1 + l_2v_2 + \dots + l_{n+1}v_{n+1} = 0\)。
将其映射到商空间 \(V/U\) 中：\(l_1(v_1+U) + l_2(v_2+U) + \dots + l_{n+1}(v_{n+1}+U) = 0+U\)。
因为 \(v_1 \in U\)，所以 \(v_1+U = 0+U\)，式子化简为：\(l_2(v_2+U) + \dots + l_{n+1}(v_{n+1}+U) = 0+U\)。
由于 \(v_2+U, \dots, v_{n+1}+U\) 是商空间的基（线性无关），必定有 \(l_2 = \dots = l_{n+1} = 0\)。
代回原式得 \(l_1v_1 = 0\)，又因 \(v_1 \neq 0\)，故 \(l_1 = 0\)。
因此这组向量线性无关，构成了 \(V\) 的一组基。且在这个基下，\(T\) 的矩阵严格表现为上三角形式。证毕。
-
八、 上三角矩阵的等价刻画
从向量和子空间的角度给出上三角阵的等价条件。
定理：设 \(T \in \mathscr{L}(V)\)，存在 \(V\) 的一组基 \(v_1, \dots, v_n\)。以下三个命题是等价的：
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算子 \(T\) 在该基下的矩阵是上三角矩阵。
-
对于任意 \(j \in \{1, 2, \dots, n\}\)，均有 \(T v_j \in \text{span}(v_1, \dots, v_j)\)。
-
对于任意 \(j \in \{1, 2, \dots, n\}\)，子空间 \(\text{span}(v_1, \dots, v_j)\) 都是 \(T\)-不变子空间。
等价性证明：
-
(1) \(\implies\) (2)：
已知 \(T\) 是上三角阵，根据基和矩阵的定义：
\(T(v_1, \dots, v_n) = (v_1, \dots, v_n) \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ 0 & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & a_{nn} \end{pmatrix}\)
观察第 \(j\) 列，可直接得出 \(Tv_j = a_{1j}v_1 + a_{2j}v_2 + \dots + a_{jj}v_j\)。显然这个结果向量属于 \(\text{span}(v_1, \dots, v_j)\)。
-
(2) \(\implies\) (3) （数学归纳法）：
-
当 \(j=1\) 时，\(Tv_1 \in \text{span}(v_1)\)，故 \(\text{span}(v_1)\) 是不变子空间。
-
假设当 \(j=k\) 时，\(\text{span}(v_1, \dots, v_k)\) 是不变子空间。
-
当 \(j=k+1\) 时，空间可分解为 \(\text{span}(v_1, \dots, v_{k+1}) = \text{span}(v_1, \dots, v_k) \oplus \text{span}(v_{k+1})\)。
由条件 (2) 已知 \(T(v_{k+1}) \in \text{span}(v_1, \dots, v_{k+1})\)。
对于前 \(k\) 个向量生成的空间，由归纳假设，映射后依然落在其中，显然也属于更大的 \(\text{span}(v_1, \dots, v_{k+1})\)。
由此证明了新的生成空间依然是 \(T\)-不变的。
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-
(3) \(\implies\) (1)：
已知 \(\text{span}(v_1, \dots, v_j)\) 是不变子空间，则映射基向量 \(v_j\) 得到的结果 \(Tv_j\) 必包含在该空间内。
即 \(Tv_j = a_{1j}v_1 + \dots + a_{jj}v_j\)。这意味着在表示矩阵的第 \(j\) 列中，第 \(j\) 行以下的元素必定全为 \(0\)。对所有 \(j\) 均成立，故矩阵为上三角矩阵。
九、 上三角矩阵的进一步性质
1. 上三角矩阵的可逆性判定
定理：假设 \(T \in \mathscr{L}(V)\) 在某组基下的矩阵 \(\mathcal{M}(T)\) 是上三角矩阵，形如：
则 \(T\) 是可逆算子 \(\iff\) 对角线上的所有元素 \(\lambda_i \neq 0 \ (1 \le i \le n)\)。
证明思路：
-
若存在 \(\lambda_i = 0\)，则限制在子空间 \(\text{span}(v_1, \dots, v_i)\) 上的算子不是单射（其零空间维数 \(\ge 1\)），这意味着整个算子 \(T\) 存在非零的零空间向量，故 \(T\) 不可逆。
-
反之，若所有 \(\lambda_i \neq 0\)，则算子在每一步扩张的子空间上都是满射且单射的，最终导出整体可逆。
2. 对角线元素即为本征值
定理：假设 \(T \in \mathscr{L}(V)\) 在某组基下的矩阵是上三角矩阵，则该上三角矩阵主对角线上的元素恰好是 \(T\) 的所有本征值。
证明：
考察算子 \(T - \lambda I\)。由于 \(T\) 是上三角矩阵，\(\lambda I\) 也是对角阵，因此 \(\mathcal{M}(T - \lambda I)\) 依然是上三角矩阵，其形式为：
根据上述可逆性判定定理，算子 \(T - \lambda I\) 不可逆当且仅当其对角线上至少有一个元素为 0。
即存在某个 \(i\)，使得 \(\lambda_i - \lambda = 0 \implies \lambda = \lambda_i\)。
又因为 \(T - \lambda I\) 不可逆等价于 \(\lambda\) 是 \(T\) 的本征值，故结论成立。
十、 本征子空间与空间的直和
为了更系统地研究对角化，将属于同一本征值的所有本征向量集合起来，考察其空间结构。
1. 本征子空间的定义
定义：设 \(T \in \mathscr{L}(V)\)，\(\lambda \in \mathbb{F}\)。属于 \(\lambda\) 的 本征子空间 定义为：
显然，\(E(\lambda, T)\) 是一个子空间，它由零向量和所有属于本征值 \(\lambda\) 的本征向量组成。且 \(E(\lambda, T)\) 显然是 \(T\)-不变子空间。
2. 本征子空间的直和性质
定理：若 \(\lambda_1, \dots, \lambda_m\) 是算子 \(T \in \mathscr{L}(V)\) 的互异本征值，则对应的本征子空间之和是直和，即：
证明逻辑：
根据直和的等价条件，只需证明：若 \(v_1 + v_2 + \dots + v_m = 0\)（其中 \(v_i \in E(\lambda_i, T)\)），则必然有 \(v_1 = v_2 = \dots = v_m = 0\)。
这等价于证明“属于不同本征值的非零本征向量线性无关”（见前文“三、4. 本征向量的线性无关性”）。若存在某个 \(v_i \neq 0\)，将构成非平凡的线性关系，导致矛盾。
十一、 算子可对角化的等价刻画
定理：设 \(\dim V = n\)，且 \(\lambda_1, \dots, \lambda_m\) 是 \(T \in \mathscr{L}(V)\) 的所有互不相同的本征值。以下五个命题相互等价：
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(a) \(T\) 是可对角化的。
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(b) \(V\) 中存在一组由 \(T\) 的本征向量组成的基。
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(c) 存在 \(n\) 个一维的 \(T\)-不变子空间 \(U_1, \dots, U_n\)，使得 \(V = U_1 \oplus \dots \oplus U_n\)。
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(d) 全空间是所有本征子空间的直和：\(V = E(\lambda_1, T) \oplus \dots \oplus E(\lambda_m, T)\)。
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(e) 全空间的维数等于各本征子空间维数之和：\(\dim V = \sum_{i=1}^m \dim E(\lambda_i, T)\)。
关键等价性推导：
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(a) \(\iff\) (b)：定义使然。矩阵为对角阵 \(\iff\) \(T(v_i) = \lambda_i v_i\)，即基向量均为本征向量。
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(b) \(\iff\) (c)：令 \(U_i = \text{span}(v_i)\)，由于 \(v_i\) 是本征向量，\(U_i\) 必然是一维不变子空间；反之，一维不变子空间的基向量必然是本征向量。
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(d) \(\implies\) (a)：在每个本征子空间 \(E(\lambda_i, T)\) 中选取一组基 \(v_{i1}, \dots, v_{ik_i}\)。由于是直和，把所有这些基合在一起构成全空间 \(V\) 的基。在这组基下，算子 \(T\) 的矩阵表现为分块对角阵 \(\text{diag}(\lambda_1 E_{k_1}, \dots, \lambda_m E_{k_m})\)，即实现了对角化。
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(d) \(\iff\) (e)：根据子空间直和的维数公式直接得出。因为 \(\sum E(\lambda_i, T)\) 已经是直和，其构成的子空间 \(W\) 满足 \(\dim W = \sum \dim E(\lambda_i, T)\)。若该和等于 \(\dim V\)，则 \(W = V\)。
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(b) \(\implies\) (d)：由于 \(V\) 中存在由特征向量组成的基，那么 \(V\) 中的任意向量均可由这些特征向量线性表出，这意味着全空间 \(V\) 是所有特征子空间的和，即 \(V = E(\lambda_1, T) + \dots + E(\lambda_m, T)\)。又因为属于不同特征值的特征向量总是线性无关的，即不同特征子空间之和必定是直和，故 \(V = E(\lambda_1, T) \oplus \dots \oplus E(\lambda_m, T)\)。
十二、 经典实例分析
例1：代数重数 > 几何重数（不可对角化）
设算子 \(T \in \mathscr{L}(\mathbb{F}^2)\)，定义为 \(T(w, z) = (z, 0)\)。
其在标准基下的矩阵为：
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求解本征值：特征多项式 \(\lambda^2 = 0 \implies \lambda = 0\)（二重根）。
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求解本征子空间 \(E(0, T)\)：解方程 \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} w \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)，得到 \(z=0\)。
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因此，\(E(0, T) = \{(w, 0) \mid w \in \mathbb{F}\}\)。
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结论：本征子空间维数 \(\dim E(0, T) = 1\)。因为 \(1 < \dim V = 2\)，不满足定理中 (e) 的条件 \(\dim V = \sum \dim E(\lambda_i, T)\)，故该算子不可对角化。
例2：常规可对角化矩阵计算
考察矩阵：
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求本征值：通过解 \(\det(A - \lambda I) = 0\)，求得互异的本征值 \(\lambda_1 = 69, \lambda_2 = 46\)。
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求本征向量：
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对 \(\lambda_1 = 69\)，解 \((A - 69I)x = 0\)，得到本征向量 \(v_1 = (1, 4)^T\)。
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对 \(\lambda_2 = 46\)，解 \((A - 46I)x = 0\)，得到本征向量 \(v_2 = (7, 5)^T\)。
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结论：由于算子有两个互异本征值，且 \(\dim V = 2\)，两个一维本征子空间直接撑起了全空间（满足等价条件 e 和 d），故 \(A\) 必然可对角化。
十三、 \(n\) 个互异本征值与对角化定理
1. 互异本征值判定准则
定理：设 \(\dim V = n\)，\(T \in \mathscr{L}(V)\)。如果算子 \(T\) 拥有 \(n\) 个互不相同的本征值 \(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n\)，则 \(T\) 必然是可对角化的。
证明：
对于每一个本征值 \(\lambda_i\)，必定存在对应的非零本征向量 \(v_i\)，即 \(T v_i = \lambda_i v_i\) 且 \(v_i \neq 0\)。
根据前文定理（属于不同本征值的本征向量线性无关），向量组 \(v_1, v_2, \dots, v_n\) 是线性无关的。
由于空间 \(V\) 的维数 \(\dim V = n\)，这 \(n\) 个线性无关的本征向量恰好构成了全空间 \(V\) 的一组基。
既然存在由本征向量组成的基，根据定理 5.41，算子 \(T\) 必然可对角化。
2. 实例分析
例：设算子 \(T\) 在某组基下的矩阵表示为上三角矩阵：
分析：根据上三角矩阵的性质，主对角线上的元素即为矩阵的本征值。故 \(\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 5, \lambda_3 = 8\)。
由于该算子处于 3 维空间，且拥有 3 个互不相同的本征值，该算子必定可对角化。