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向量代数与空间解析几何基础

一、 内积的定义与性质

定义：

对于 \(\mathbb{R}^n\) 空间中的任意两个向量 \(x = (x_1, \dots, x_n)\) 和 \(y = (y_1, \dots, y_n)\)，定义 \(x\) 与 \(y\) 的内积为各个对应分量乘积之和，记作 \(x \cdot y\)。即：

\[ x \cdot y = \sum_{i=1}^n x_i y_i \]

内积的基本性质：

内积满足以下四条基本性质：

  1. (i) 非负性： \(\forall x \in \mathbb{R}^n\)，有 \(x \cdot x \ge 0\)，且 \(x \cdot x = 0 \iff x = 0\)。

  2. (ii) 对称性： \(\forall x, y \in \mathbb{R}^n\)，有 \(x \cdot y = y \cdot x\)。

  3. (iii) 分配律： \(\forall x, y, z \in \mathbb{R}^n\)，有 \((x+y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z\)。

  4. (iv) 结合律（数乘相容性）： \(\forall x, y \in \mathbb{R}^n\) 及 \(\forall \lambda \in \mathbb{R}\)，有 \((\lambda x) \cdot y = \lambda(x \cdot y)\)。

二、 欧氏范数（长度）与距离

由内积的非负性，可以通过内积来定义 \(\mathbb{R}^n\) 空间中的欧氏范数（或称为长度）。

定义：

\(\forall x \in \mathbb{R}^n\)，令 \(x\) 的范数 \(|x|\) 为：

\[ |x| = \sqrt{x \cdot x} \]

范数与距离的关系：

  • 向量的范数即为该点到原点的距离：\(|x| = \rho(x, 0)\)

  • 两点之间的距离即为它们差向量的范数：\(\rho(x, y) = |x - y|\)

三、 内积与范数的基本定理

\(\mathbb{R}^n\) 中的内积与范数满足以下重要性质：

  1. 正齐次性： \(\forall x \in \mathbb{R}^n\), \(\forall \lambda \in \mathbb{R}\)，有

    $$

    |\lambda x| = |\lambda| \cdot |x| $$

  2. 柯西-施瓦茨不等式： \(\forall x, y \in \mathbb{R}^n\)，有

    $$

    |x \cdot y| \le |x| \cdot |y| $$

  3. 三角不等式： \(\forall x, y \in \mathbb{R}^n\)，有

    \[ |x+y| \le |x| + |y| \]

四、 向量的夹角与正交

夹角的定义：

当 \(x \neq 0\) 且 \(y \neq 0\) 时，由柯西-施瓦茨不等式，可得：

\[ -1 \le \frac{x \cdot y}{|x| \cdot |y|} \le 1 \]

定义 \(\theta\) 为：

\[ \theta = \arccos \frac{x \cdot y}{|x| \cdot |y|}, \quad 0 \le \theta \le \pi \]

称 \(\theta\) 为非零向量 \(x\) 与 \(y\) 的夹角。由此内积公式可写作几何形式：\(x \cdot y = |x| |y| \cos \theta\)。

正交：

当 \(\theta = \frac{\pi}{2}\) 时（即 \(x \cdot y = 0\)），称向量 \(x\) 与 \(y\) 正交。

五、 \(\mathbb{R}^n\) 空间的标准基与方向余弦

1. 标准正交基

定义：

给定 \(n \in \mathbb{Z}^+\)，\(\forall 1 \le i \le n\)，令

\[ \vec{e}_i = (0, \dots, 0, 1, 0, \dots, 0) \]

（即仅第 \(i\) 个分量为 \(1\)，其余全为 \(0\)）。

称向量组 \(\{\vec{e}_1, \dots, \vec{e}_n\}\) 为 \(\mathbb{R}^n\) 的标准正交基。

此时，对于任意向量 \(\vec{x} = (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n\)，都可以将其唯一表示为基向量的线性组合：

\[ \vec{x} = \sum_{i=1}^n x_i \vec{e}_i = \sum_{i=1}^n (\vec{x} \cdot \vec{e}_i) \vec{e}_i \]

其中，\(x_i = \vec{x} \cdot \vec{e}_i\) 即为向量在各坐标轴上的投影。

2. 方向余弦

设 \(\vec{u} \in \mathbb{R}^n\) 为非零向量，由内积公式可知：

\[ \vec{u} \cdot \vec{e}_i = |\vec{u}| |\vec{e}_i| \cos(\vec{u}, \vec{e}_i) = |\vec{u}| \cos(\vec{u}, \vec{e}_i) \]

将向量 \(\vec{u}\) 单位化，可得：

\[ \frac{\vec{u}}{|\vec{u}|} = \left( \frac{\vec{u} \cdot \vec{e}_1}{|\vec{u}|}, \dots, \frac{\vec{u} \cdot \vec{e}_n}{|\vec{u}|} \right) = (\cos(\vec{u}, \vec{e}_1), \dots, \cos(\vec{u}, \vec{e}_n)) \]

其中，每个 \(\cos(\vec{u}, \vec{e}_i)\) 都称为向量 \(\vec{u}\) 的方向余弦。

注：特别地，当 \(n=2\) 或 \(3\) 时，方向余弦常记作 \(\cos(\vec{u}, x), \cos(\vec{u}, y), \cos(\vec{u}, z)\)。

六、 \(\mathbb{R}^3\) 中的外积与混合积

1. 外积（叉积）

定义： \(\forall \vec{u} = (x_1, y_1, z_1), \vec{v} = (x_2, y_2, z_2) \in \mathbb{R}^3\)，定义 \(\vec{u}\) 与 \(\vec{v}\) 的外积为：

\[ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{e}_1 & \vec{e}_2 & \vec{e}_3 \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \end{vmatrix} \vec{e}_1 + \begin{vmatrix} z_1 & x_1 \\ z_2 & x_2 \end{vmatrix} \vec{e}_2 + \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{vmatrix} \vec{e}_3 \]

外积的几何性质：

  1. 方向： \(\vec{u} \times \vec{v}\) 垂直于 \(\vec{u}\) 且垂直于 \(\vec{v}\)，并且 \(\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{u} \times \vec{v}\}\) 符合右手法则（与标准基 \(\{\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3\}\) 手性一致）。

  2. 长度：

    可以通过代数验证恒等式：\(|\vec{u} \times \vec{v}|^2 + (\vec{u} \cdot \vec{v})^2 = |\vec{u}|^2 |\vec{v}|^2\)

    从而得出：

    \[ |\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}| |\vec{v}| \sin\theta \]

    这在几何上表示由向量 \(\vec{u}\) 与 \(\vec{v}\) 所张成的平行四边形的面积。

2. 混合积

定义：

设 \(\vec{u}, \vec{v}\) 如上，\(\vec{w} = (x_3, y_3, z_3) \in \mathbb{R}^3\)。

定义这三个向量的混合积为：

\[ (\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w} = \begin{vmatrix} x_3 & y_3 & z_3 \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{vmatrix} = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) \]

几何意义： 混合积的绝对值表示由向量 \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) 所张成的平行六面体的体积（带有符号，取决于三者的旋向）。

七、 \(\mathbb{R}^3\) 中的空间解析几何

1. 直线方程

已知直线 \(L \subset \mathbb{R}^3\)。设点 \(M_0 \in L\)，向量 \(\vec{v}\) 是 \(L\) 的一个方向向量。

此时对于 \(\forall M \in L\)，必有 \(\vec{M_0M} \parallel \vec{v}\)。

由上述共线关系，可导出直线 \(L\) 的多种方程表达形式：

  • 参数矢量式： \(M = M_0 + t\vec{v}, \quad t \in \mathbb{R}\)

  • 参数坐标式： 若 \(M_0=(x_0,y_0,z_0), \vec{v}=(m,n,l), M=(x,y,z)\)，则有

    \[ \begin{cases} x = x_0 + tm \\ y = y_0 + tn \\ z = z_0 + tl \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R} \]

  • 点向式（对称式）： 消去参数 \(t\)，得

    \[ \frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{l} \]

    （注：若其中某分量 \(m=0\)，则对应上式表示为 \(x=x_0\) 及 \(\frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{l}\)）

直线作为两个平面的交线：

若直线 \(L\) 是平面 \(\Pi_1\) 与 \(\Pi_2\) 的交线，且两平面的法向量分别为 \(\vec{n}_1, \vec{n}_2\)（\(\vec{n}_1\) 与 \(\vec{n}_2\) 不平行）。

则 \(\vec{n}_1 \times \vec{n}_2\) 就是直线 \(L\) 的一个方向向量。由此，取交线上一点 \(M_0\)，直线方程可表示为：

\[ M = M_0 + t(\vec{n}_1 \times \vec{n}_2), \quad t \in \mathbb{R} \]

2. 平面方程

已知平面 \(\Pi \subset \mathbb{R}^3\)。设点 \(M_0 \in \Pi\)，向量 \(\vec{n}\) 是 \(\Pi\) 的一个法向量。

此时对于 \(\forall M \in \Pi\)，必有 \(\vec{M_0M} \perp \vec{n}\)。

由正交关系，可导出平面的方程：

  • 点法式（向量式）： \(\vec{M_0M} \cdot \vec{n} = 0\)

  • 坐标形式方程： 若 \(M_0=(x_0,y_0,z_0), \vec{n}=(a,b,c)\)，则

    \[ a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0 \]

    展开并令 \(d = ax_0+by_0+cz_0\)，可得一般式 \(ax+by+cz=d\)。

平面的其他决定方式：

  • 不共线三点决定的平面： 设 \(M_1, M_2, M_3\) 是 \(\Pi\) 中不共线的三点。则 \(\vec{M_1M_2} \times \vec{M_1M_3}\) 为 \(\Pi\) 的法向量。

    方程为：\(\vec{M_1M} \cdot (\vec{M_1M_2} \times \vec{M_1M_3}) = 0\)。用坐标表示即为行列式：

    \[ \begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0 \]

  • 点与两个不共线向量决定的平面： 设 \(M_0 \in \Pi\)，\(\vec{u}\) 与 \(\vec{v}\) 是平行于 \(\Pi\) 的两个不共线向量。则平面可以通过双参数表示：

    \[ M = M_0 + s\vec{u} + t\vec{v}, \quad s, t \in \mathbb{R} \]

3. 空间距离公式

利用向量的外积与内积，可以简洁地表达空间中的距离问题：

  • 点到直线的距离： 设点为 \(P\)，直线 \(L\) 过点 \(S\) 且方向向量为 \(\vec{v}\)。

    通过平行四边形面积关系可得：

    \[ d = |SP| \sin\theta = \frac{|SP| |\vec{v}| \sin\theta}{|\vec{v}|} = \frac{|\vec{SP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|} \]

  • 点到平面的距离： 设点为 \(P\)，平面 \(\Pi\) 过点 \(S\) 且法向量为 \(\vec{n}\)。

    通过向量在法向量上的投影关系可得：

    \[ h = |SP| |\cos\theta| = \frac{|SP| |\vec{n}| |\cos\theta|}{|\vec{n}|} = \frac{|\vec{SP} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} \]

多元函数微分学

一、 多元函数的全微分与可微性概念

为了引出多元函数的全微分，先回顾一元函数可导的本质：

函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_0\) 处可导（或可微），是指极限 \(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = A\) 存在。

等价地说，存在常数 \(A \in \mathbb{R}\)，使得当 \(\Delta x \to 0\) 时，有函数的局部线性逼近：

\[ f(x_0+\Delta x) = f(x_0) + A\Delta x + o(\Delta x) \]

其中 \(A\Delta x\) 构成函数增量的主要线性部分。

对于二元函数 \(z=f(x,y)\)，自变量的增量由一维的 \(\Delta x\) 变为了二维向量 \(\begin{pmatrix} \Delta x \\ \Delta y \end{pmatrix}\)。相应的线性变换也应推广为 \(A\Delta x + B\Delta y\)。

可微的严谨定义：

设 \(D \subset \mathbb{R}^2\)，\(f: D \to \mathbb{R}\)，且 \((x_0, y_0)\) 为 \(D\) 的内点（\((x_0, y_0) \in \text{int} D\)）。

称函数 \(z = f(x,y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 可微，是指：

存在常数 \(A, B \in \mathbb{R}\)，使得

\[ f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) = f(x_0, y_0) + A\Delta x + B\Delta y + o\left(\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}\right) \]

成立（当 \(\Delta x \to 0, \Delta y \to 0\) 时）。

  • 全微分的记号：

    其中线性主部 \(A\Delta x + B\Delta y\) 称为函数 \(f\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处的全微分，记作：

    \[ df(x_0, y_0) = A\Delta x + B\Delta y \]

    或记为 \(dz(x_0, y_0)\)。

  • 可微与连续的关系：

    由上述定义直接可知：若函数 \(f\) 在点 \((x_0, y_0)\) 可微，当 \(\Delta x \to 0, \Delta y \to 0\) 时，增量 \(\Delta z \to 0\)。因此，函数在某点可微必然蕴含着在该点连续。

二、 偏导数的定义与计算

1. 偏导数的定义

定义： 设 \(D \subset \mathbb{R}^2\)，\(f: D \to \mathbb{R}\)，\((x_0, y_0) \in D\)。

固定 \(y = y_0\)，将 \(f(x, y_0)\) 看作关于 \(x\) 的一元函数。如果该一元函数在点 \(x_0\) 处的导数存在，即极限：

\[ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x} \]

存在，则称函数 \(f\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处关于 \(x\) 可求偏导。

该极限值称为 \(f\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处关于 \(x\) 的偏导数，记作：

\[ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0), \quad f_x(x_0, y_0), \quad \text{或} \quad D_1 f(x_0, y_0) \]

(注：若记 \(z = f(x,y)\)，也可记作 \(\frac{\partial z}{\partial x}(x_0, y_0)\)。关于 \(y\) 的偏导数定义同理。)

偏导函数： 若 \(f\) 在区域 \(D\) 内的每一点都可关于 \(x\) 求偏导，则可定义一个新的函数 \((x,y) \mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\)，称为 \(f\) 在 \(D\) 上关于 \(x\) 的偏导函数，通常简称为偏导数，记作 \(\frac{\partial f}{\partial x}\) 或 \(f_x\)。

2. 偏导数的计算

计算某一点的偏导数通常有两种方法：先代入后求导，或先求导函数后代入。

例 1： 求 \(f(x,y) = x^3 + 2x^2y - y^3\) 在点 \((1,3)\) 处的偏导数。

  • 解法一（先代入后求导）：

    \(f(x,3) = x^3 + 6x^2 - 27\)

    \(\Rightarrow \frac{\partial f}{\partial x}(1,3) = \left. \frac{d f(x,3)}{dx} \right|_{x=1} = (3x^2 + 12x)|_{x=1} = 15\)

  • 解法二（先求偏导函数再代入）：

    将 \(y\) 视作常数对 \(x\) 求导：\(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 3x^2 + 4xy\)

    \(\Rightarrow \frac{\partial f}{\partial x}(1,3) = 3(1)^2 + 4(1)(3) = 15\)

例 2： 求三元函数 \(u = \sin(x + y^2 - e^z)\) 的偏导数。

  • \(\frac{\partial u}{\partial x} = \cos(x + y^2 - e^z) \cdot 1 = \cos(x + y^2 - e^z)\)

  • \(\frac{\partial u}{\partial y} = \cos(x + y^2 - e^z) \cdot 2y = 2y\cos(x + y^2 - e^z)\)

  • \(\frac{\partial u}{\partial z} = \cos(x + y^2 - e^z) \cdot (-e^z) = -e^z\cos(x + y^2 - e^z)\)

三、 偏导数的几何意义与连续性辨析

1. 几何意义

对于曲面 \(z = f(x,y)\)，偏导数 \(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)\) 的几何意义是：

用平面 \(y = y_0\) 截该曲面，得到一条空间曲线 \(L\)（其方程为 \(z = f(x, y_0), y = y_0\)）。

偏导数 \(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)\) 就是这条曲线 \(L\) 在点 \((x_0, y_0, f(x_0,y_0))\) 处的切线对 \(x\) 轴的斜率（即切线与 \(x\) 轴正向夹角的正切值）。

2. 偏导数存在与连续性的关系

问题： 若 \(z = f(x,y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处关于 \(x\) 及关于 \(y\) 的偏导数都存在，能否推导出 \(f\) 在该点连续？

结论：不能。

原因辨析： 偏导数存在仅仅意味着函数在过该点且平行于坐标轴的 两条直线（十字交叉） 上是连续的。但这不能保证函数沿其他方向（或任意路径）趋近该点时极限一致，因此无法保证整体连续性。

四、 可微与偏导数的关系

为了完备体系，先补充三元函数可微的定义：

定义（\(\mathbb{R}^3\)中的可微）： 设 \(w = f(x,y,z)\) 在 \((x_0,y_0,z_0)\) 处可微，是指存在常数 \(A,B,C \in \mathbb{R}\)，使得：

\[ f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y, z_0+\Delta z) = f(x_0, y_0, z_0) + A\Delta x + B\Delta y + C\Delta z + o\left(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}\right) \]

1. 可微的必要条件定理

定理： 如果二元函数 \(f(x,y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处可微，则它在该点处关于 \(x\) 和 \(y\) 的偏导数必然存在，并且：

\[ f_x(x_0, y_0) = A, \quad f_y(x_0, y_0) = B \]

(即全微分定义式中的系数 \(A, B\) 唯一确定为其对应的偏导数)

证明：

已知 \(f\) 在 \((x_0, y_0)\) 可微，即当 \((\Delta x, \Delta y) \to (0,0)\) 时有：

\[ f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - f(x_0, y_0) = A\Delta x + B\Delta y + o\left(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\right) \]

令 \(\Delta y = 0\)，上式变为：

\[ f(x_0+\Delta x, y_0) - f(x_0, y_0) = A\Delta x + o(|\Delta x|) \]

两边同除以 \(\Delta x\) 并取极限 \(\Delta x \to 0\)：

\[ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \left( A + \frac{o(|\Delta x|)}{\Delta x} \right) = A \]

根据偏导数定义，即证得 \(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = A\)。同理可证 \(\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = B\)。

全微分的表达式：

由必要条件可知，若 \(z = f(x,y)\) 可微，其全微分可唯一写为：

\[ df(x_0, y_0) = f_x(x_0, y_0)\Delta x + f_y(x_0, y_0)\Delta y \]

特别地，取 \(z=x\) 时，\(dx = \Delta x\)；取 \(z=y\) 时，\(dy = \Delta y\)。因此习惯上将全微分记作：

\[ df = f_x dx + f_y dy \quad \text{或} \quad dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy \]

五、 可微性的判定方法

判断函数 \(z = f(x,y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 是否可微，有标准的“两步走”判别法：

第一步（必要条件检验）：

检查 \(f\) 在点 \((x_0, y_0)\) 是否连续；检查 \(f_x(x_0, y_0)\) 与 \(f_y(x_0, y_0)\) 是否存在。

若其中任意一个不存在，则 \(f\) 在该点不可微。

第二步（极限定义检验）：

若偏导数均存在，考察以下极限：

\[ \lim_{(\Delta x, \Delta y) \to (0,0)} \frac{f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - f(x_0, y_0) - f_x(x_0, y_0)\Delta x - f_y(x_0, y_0)\Delta y}{\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}} \]

  • 若该极限 \(= 0\)，则函数在 \((x_0, y_0)\) 可微。

  • 否则，不可微。

判定实例：

考察函数 \(f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}, & x^2+y^2 \neq 0 \\ 0, & x^2+y^2 = 0 \end{cases}\) 在原点 \((0,0)\) 的可微性。

解：

  1. 求偏导：

    当 \(x \neq 0\) 时，\(f(x,0) = 0 \Rightarrow f_x(0,0) = \lim_{x \to 0} \frac{0-0}{x} = 0\)。同理 \(f_y(0,0) = 0\)。偏导数存在。

  2. 应用极限检验：

    当 \((\Delta x, \Delta y) \neq (0,0)\) 时，考察式子：

    \[ \frac{f(\Delta x, \Delta y) - f(0,0) - 0\cdot\Delta x - 0\cdot\Delta y}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}} = \frac{\frac{\Delta x \Delta y}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}} = \frac{\Delta x \Delta y}{\Delta x^2 + \Delta y^2} \]

    令直线 \(\Delta y = k \Delta x\) 趋向于原点，极限为 \(\frac{k}{k^2+1}\)。极限值随 \(k\) 的不同而不同，因此二重极限不存在，自然不等于 \(0\)。

    结论： 该函数在 \((0,0)\) 处不可微。（这是“偏导数存在但不可微”的经典反例）

2. 可微的充分条件定理

虽然偏导数存在不能推导可微，但若加上“连续”的条件，就能得到充分条件。

定理： 设 \(D \subset \mathbb{R}^2\)，\(f: D \to \mathbb{R}\)，\((x_0, y_0) \in \text{int} D\)。

如果在 \((x_0, y_0)\) 的某个邻域内，偏导数 \(f_x(x,y)\) 与 \(f_y(x,y)\) 均存在，并且 \(f_x\) 与 \(f_y\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处连续，则 \(f\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处可微。

(注：满足偏导数连续的函数称为连续可微函数，记作 \(C^1\) 类函数)

证明（利用拉格朗日中值定理）：

考察函数增量 \(\Delta z = f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - f(x_0, y_0)\)。将其拆分为两部分（分别仅改变一个变量）：

\[ \Delta z = [f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - f(x_0, y_0+\Delta y)] + [f(x_0, y_0+\Delta y) - f(x_0, y_0)] \]

对第一项（关于 \(x\) 的一元函数）和第二项（关于 \(y\) 的一元函数）分别应用拉格朗日中值定理：

\(\exists \theta_1, \theta_2 \in (0,1)\)，使得

\[ \Delta z = f_x(x_0+\theta_1\Delta x, y_0+\Delta y)\Delta x + f_y(x_0, y_0+\theta_2\Delta y)\Delta y \]

由于 \(f_x\) 和 \(f_y\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处连续，当 \((\Delta x, \Delta y) \to (0,0)\) 时：

\(f_x(x_0+\theta_1\Delta x, y_0+\Delta y) = f_x(x_0, y_0) + o(1)\)

\(f_y(x_0, y_0+\theta_2\Delta y) = f_y(x_0, y_0) + o(1)\)

代回 \(\Delta z\) 表达式得：

\[ \Delta z = (f_x(x_0, y_0) + o(1))\Delta x + (f_y(x_0, y_0) + o(1))\Delta y \]
\[ \Delta z = f_x(x_0, y_0)\Delta x + f_y(x_0, y_0)\Delta y + o(1)\Delta x + o(1)\Delta y \]

我们需要证明后面的余项是 \(o\left(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\right)\)。考察：

\[ \lim_{(\Delta x, \Delta y) \to (0,0)} \left| \frac{o(1)\Delta x}{\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}} \right| \le \lim_{(\Delta x, \Delta y) \to (0,0)} |o(1)| \cdot 1 = 0 \]

同理对 \(\Delta y\) 的余项也成立。这表明余项确实是高阶无穷小。

由此完全符合可微的定义，定理证毕。

3. 连续可微的概念补充

在可微的充分条件定理中，我们提到了偏导数连续的概念。在此给出正式定义：

定义： 若偏导函数 \(f_x(x,y)\) 与 \(f_y(x,y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 的某邻域内存在，且在点 \((x_0, y_0)\) 处连续，则称函数 \(f(x,y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处连续可微。

六、 可微性的几何意义：切平面与法线

1. 切平面的定义

为了严谨定义曲面的切平面，先回顾空间曲线的切线定义。对于空间曲线 \(l\)，若点 \(Q\) 沿曲线趋于点 \(P\) 时，割线 \(PQ\) 与某条直线 \(PT\) 的夹角 \(\theta \to 0\) （即 \(\sin\theta \to 0\)），这等价于点 \(Q\) 到直线 \(PT\) 的距离与弦长 \(|PQ|\) 之比趋于 \(0\)：

\[ \lim_{Q \to P \atop Q \in l} \frac{d(Q, PT)}{|PQ|} = 0 \]

此时称 \(PT\) 是曲线 \(l\) 过点 \(P\) 的切线。

曲面切平面的定义：

设 \(P\) 是曲面 \(S\) 上的一点，设 \(T\) 是过点 \(P\) 的平面。若满足：

\[ \lim_{Q \to P \atop Q \in S} \frac{d(Q, T)}{|PQ|} = 0 \]

则称 \(T\) 是曲面 \(S\) 在点 \(P\) 的切平面。

2. 可微与切平面的等价定理

可微性的几何本质在于曲面在局部具有良好的“线性逼近”，即存在切平面。

定理： 设函数 \(z = f(x,y)\) （其中 \((x,y) \in D\)）是给定的二元函数，\((x_0, y_0) \in \text{int} D\)，\(z_0 = f(x_0, y_0)\)。则函数在点 \((x_0, y_0)\) 处可微的充分必要条件是：曲面 \(z = f(x,y)\) 在点 \((x_0, y_0, z_0)\) 处存在不平行于 \(z\) 轴的切平面。

注：平面与 \(z\) 轴平行等价于平面的法向量 \(\vec{n}=(a,b,c)\) 与 \(z\) 轴的方向向量 \((0,0,1)\) 正交，即 \(c=0\)；由此，平面与 \(z\) 轴不平行等价于平面法向量的 \(z\) 分量不为 \(0\)。

定理证明（仅证必要性 \(\implies\)）：

若 \(f\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处可微，由可微的定义，当 \((x,y) \to (x_0, y_0)\) 时有：

\[ f(x,y) - f(x_0, y_0) = f_x(x_0, y_0)(x-x_0) + f_y(x_0, y_0)(y-y_0) + o\left(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\right) \]

断言： 平面 \(T: z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x-x_0) + f_y(x_0, y_0)(y-y_0)\) 即为曲面 \(z=f(x,y)\) 在点 \((x_0, y_0, z_0)\) 处的切平面。

验证断言：

任取曲面上的点 \(Q(x, y, f(x,y))\) 且 \((x,y) \neq (x_0, y_0)\)，点 \(P\) 为 \((x_0, y_0, z_0)\)。

首先考察弦长 \(|QP|\)：

\[ |QP| = \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (f(x,y) - f(x_0, y_0))^2} \ge \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} \]

其次考察点 \(Q\) 到平面 \(T\) 的距离 \(d(Q, T)\)。平面 \(T\) 的法向量为 \(\vec{n} = (f_x(x_0,y_0), f_y(x_0,y_0), -1)\)，代入点到平面的距离公式得：

\[ d(Q, T) = \frac{|f(x,y) - f(x_0, y_0) - f_x(x_0, y_0)(x-x_0) - f_y(x_0, y_0)(y-y_0)|}{\sqrt{f_x(x_0, y_0)^2 + f_y(x_0, y_0)^2 + 1}} \]

由可微性展开式可知，上式的分子部分恰好是高阶无穷小 \(o\left(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\right)\)。

因此，比值 \(\frac{d(Q,T)}{|QP|}\) 满足：

\[ \frac{d(Q, T)}{|QP|} \le \frac{1}{\sqrt{f_x^2 + f_y^2 + 1}} \cdot \frac{\left|o\left(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\right)\right|}{\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}} \]

当 \((x,y) \to (x_0, y_0)\) 时，上式右端趋于 \(0\)。从而 \(\lim_{(x,y) \to (x_0, y_0)} \frac{d(Q, T)}{|QP|} = 0\)，断言成立，定理得证。

3. 法线的定义与方程

定义： 设曲面 \(S\) 在点 \(P\) 处的切平面存在，则过点 \(P\) 且以切平面法向量为方向向量的直线，称为曲面在点 \(P\) 处的法线。

推论（法线方程）： 若函数 \(z = f(x,y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处可微，则曲面在点 \(P(x_0, y_0, z_0)\) （其中 \(z_0 = f(x_0, y_0)\)）处的法线方程为：

\[ \frac{x-x_0}{f_x(x_0, y_0)} = \frac{y-y_0}{f_y(x_0, y_0)} = \frac{z-z_0}{-1} \]

应用实例：

求抛物面 \(z = ax^2 + by^2\) 在点 \(M(x_0, y_0, z_0)\) 处的切平面方程与法线方程。

解： 分别求偏导数：

\[ \frac{\partial z}{\partial x}(x_0, y_0) = 2ax_0, \quad \frac{\partial z}{\partial y}(x_0, y_0) = 2by_0 \]

所以，该点处的切平面方程为：

\[ z - z_0 = 2ax_0(x - x_0) + 2by_0(y - y_0) \]

法线方程为：

\[ \frac{x - x_0}{2ax_0} = \frac{y - y_0}{2by_0} = \frac{z - z_0}{-1} \]

七、 方向导数

偏导数刻画的是函数沿平行于坐标轴方向的变化率，而方向导数则是将其推广到了平面上的任意方向。

1. 方向导数的定义

设 \(D \subset \mathbb{R}^2\)，函数 \(f: D \to \mathbb{R}\)，点 \(P(x_0, y_0) \in \text{int} D\)。设 \(\vec{v} \in \mathbb{R}^2\) 是一个给定的单位向量。

考察函数 \(f\) 沿射线 \(P + t\vec{v}\) （\(t > 0\)）的增量与距离 \(t\) 之比的极限。

定义： 若单侧极限：

\[ \lim_{t \to 0^+} \frac{f(P + t\vec{v}) - f(P)}{t} \]

存在，则称该极限为函数 \(f\) 在点 \(P\) 处关于向量 \(\vec{v}\) 的方向导数。

该方向导数通常记作：

\[ \frac{\partial f}{\partial \vec{v}}(P), \quad \frac{\partial f}{\partial \vec{v}}(x_0, y_0), \quad \text{或} \quad f_{\vec{v}}(x_0, y_0) \]

2. 方向导数与偏导数的辨析

方向导数是一个单侧极限，这与偏导数（双侧极限）有着本质的区别。

注： 令标准基向量 \(\vec{e}_1 = (1, 0)\)。

函数在某点关于 \(x\) 的偏导数 \(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)\) 存在的充分必要条件是：该点处关于正方向 \(\vec{e}_1\) 的方向导数 \(\frac{\partial f}{\partial \vec{e}_1}(x_0, y_0)\) 与关于反方向 \(-\vec{e}_1\) 的方向导数 \(\frac{\partial f}{\partial (-\vec{e}_1)}(x_0, y_0)\) 都存在，且两者互为相反数。

这一结论可以直接通过展开反方向的方向导数定义得出：

\[ \frac{\partial f}{\partial (-\vec{e}_1)}(x_0, y_0) = \lim_{t \to 0^+} \frac{f(x_0 - t, y_0) - f(x_0, y_0)}{t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{f(x_0 - t, y_0) - f(x_0, y_0)}{-(-t)} \]

3. 方向导数存在的反例与可微的关系

例题探讨： 考察二元函数 \(f(x,y) = |x^2 - y^2|^{\frac{1}{2}}\) 在原点 \((0,0)\) 处的方向导数与偏导数。

解： 任取 \(\mathbb{R}^2\) 中的一个单位向量 \(\vec{v} = (\cos\alpha, \sin\alpha)\)，\(\alpha \in [0, 2\pi)\)。

对于 \(\forall t > 0\)，有：

\[ \frac{f((0,0) + t\vec{v}) - f(0,0)}{t} = \frac{f(t\cos\alpha, t\sin\alpha) - 0}{t} = \frac{1}{t}\left[ t|\cos^2\alpha - \sin^2\alpha|^{\frac{1}{2}} \right] = |\cos^2\alpha - \sin^2\alpha|^{\frac{1}{2}} \]

取极限 \(t \to 0^+\)，得到沿任意方向 \(\vec{v}\) 的方向导数均存在：

\[ \frac{\partial f}{\partial \vec{v}}(0,0) = |\cos^2\alpha - \sin^2\alpha|^{\frac{1}{2}} \]

然而，考察关于 \(x\) 的偏导数（沿正向与反向）：

当 \(\vec{v} = \vec{e}_1 = (1,0)\) 时，\(\frac{\partial f}{\partial \vec{e}_1}(0,0) = |1^2 - 0^2|^{\frac{1}{2}} = 1\)；

当 \(\vec{v} = -\vec{e}_1 = (-1,0)\) 时，\(\frac{\partial f}{\partial (-\vec{e}_1)}(0,0) = |(-1)^2 - 0^2|^{\frac{1}{2}} = 1\)。

由于 \(\frac{\partial f}{\partial \vec{e}_1}(0,0) \neq -\frac{\partial f}{\partial (-\vec{e}_1)}(0,0)\)，这表明 \(\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\) 不存在。

结论： 即使一个函数在某点沿所有方向的方向导数都存在，也无法保证该点的偏导数存在（更无法保证可微）。

4. 可微与方向导数的定理（梯度概念的引入）

定理 1： 设 \(D \subset \mathbb{R}^2\)，\(f: D \to \mathbb{R}\)，\(P(x_0, y_0) \in \text{int} D\)。若 \(f\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处可微，则对于 \(\forall \vec{v} \in \mathbb{R}^2\) 的单位向量，方向导数 \(\frac{\partial f}{\partial \vec{v}}(P)\) 存在，且有：

\[ \frac{\partial f}{\partial \vec{v}}(P) = f_x(P)\cos\alpha + f_y(P)\cos\beta \]

其中 \(\cos\alpha, \cos\beta\) 是 \(\vec{v}\) 的方向余弦。

证明： 由于 \(f\) 在点 \(P\) 处可微，令增量 \((\Delta x, \Delta y) = t(v_1, v_2) = t\vec{v}\)，当 \(t \to 0^+\) 时，\((\Delta x, \Delta y) \to (0,0)\)。

根据可微的定义展开：

\[ f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - f(x_0, y_0) = f_x(P)\Delta x + f_y(P)\Delta y + o(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}) \]

即：

\[ f(P+t\vec{v}) - f(P) = f_x(P)tv_1 + f_y(P)tv_2 + o(t) \]

两边同除以 \(t\) 并取极限：

\[ \lim_{t \to 0^+} \frac{f(P+t\vec{v}) - f(P)}{t} = f_x(P)v_1 + f_y(P)v_2 \]

因为 \(\vec{v}\) 为单位向量，即 \((v_1, v_2) = (\cos\alpha, \cos\beta)\)，定理得证。

八、 梯度的定义与几何意义

1. 梯度的定义

定义： 设 \(D \subset \mathbb{R}^2\)，\(f: D \to \mathbb{R}\)，\(P(x_0, y_0) \in \text{int} D\)。若偏导数 \(f_x(P)\) 与 \(f_y(P)\) 都存在，则称向量 \((f_x(P), f_y(P))\) 为函数 \(f\) 在点 \(P\) 处的梯度。

记作：\(\text{grad} f(P)\)，\(\text{grad} f(x_0, y_0)\)，或 \(\nabla f(x_0, y_0)\)。

结合前述定理 1，可微函数的方向导数可以用内积公式简洁表达为：

\[ \frac{\partial f}{\partial \vec{v}}(P) = \text{grad} f(P) \cdot \vec{v} \]

注：对于 \(n\) 元函数，梯度的定义可直接类推为：\(\text{grad} f(P) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(P), \frac{\partial f}{\partial x_2}(P), \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(P)\right)\)，且上述定理 1 依然成立。

2. 梯度的几何意义：最大变化率

由内积的几何性质，方向导数可表示为：

\[ \frac{\partial f}{\partial \vec{v}}(P) = |\text{grad} f(P)| \cdot |\vec{v}| \cos\theta = |\text{grad} f(P)| \cos\theta \]

其中 \(\theta\) 是 \(\text{grad} f(P)\) 与向量 \(\vec{v}\) 的夹角。

由此得出重要结论：

  • 当 \(\theta = 0\)（即 \(\vec{v}\) 与梯度方向一致）时，方向导数取最大值，说明沿着梯度方向，函数值增加最快。

  • 当 \(\theta = \pi\)（即 \(\vec{v}\) 与梯度方向相反）时，方向导数取最小值，说明沿着梯度相反方向，函数值减少最快。

计算实例：

求三元函数 \(f(x,y,z) = xy^2 + yz^3\) 在点 \(P_0(2, -1, 1)\) 处的梯度及其模长。

解： 分别求三阶偏导数并代入点 \(P_0\)：

\(\frac{\partial f}{\partial x}(P_0) = y^2 \big|_{y=-1} = 1\)

\(\frac{\partial f}{\partial y}(P_0) = (2xy + z^3) \big|_{P_0} = 2(2)(-1) + 1^3 = -3\)

\(\frac{\partial f}{\partial z}(P_0) = 3yz^2 \big|_{P_0} = 3(-1)(1)^2 = -3\)

故梯度为：\(\text{grad} f(P_0) = (1, -3, -3)\)。

梯度的模长为：\(|\text{grad} f(P_0)| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{19}\)。

(注：若求沿任意非零向量 \(\vec{l}\) 的方向导数，需先将向量单位化：即计算沿 \(\frac{\vec{l}}{|\vec{l}|}\) 的方向导数。)

九、 向量值函数的导数与雅可比矩阵

1. 向量值函数可微的定义

将目标空间从 \(\mathbb{R}\) 推广至 \(\mathbb{R}^m\)。

定义： 设 \(D \subset \mathbb{R}^n\)，\(f: D \to \mathbb{R}^m\)，\(x_0 \in \text{int} D\)。

如果存在线性映射 \(A: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\)，使得：

\[ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{|f(x_0+\Delta x) - f(x_0) - A\Delta x|}{|\Delta x|} = 0 \quad \text{(式 2)} \]

则称 \(f\) 在点 \(x_0\) 处可微（或可导）。

此时，称 \(A\) 为 \(f\) 在点 \(x_0\) 处的全导数（简称为导数），记作 \(f'(x_0)\)。

\(f'(x_0)\Delta x\) 称为 \(f\) 在点 \(x_0\) 处的全微分，记作 \(df(x_0)\)。

（注：式 2 亦可写为局部线性展开的形式：\(f(x_0+\Delta x) - f(x_0) = A\Delta x + o(|\Delta x|)\)，其中 \(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{|o(\Delta x)|}{|\Delta x|} = 0\)）

2. 导数（线性映射）的矩阵表示：雅可比矩阵

设 \(f\) 在 \(x_0\) 处可微，其分量函数为 \(f_1, f_2, \dots, f_m\)（即 \(f(x) = \sum_{i=1}^m f_i(x)u_i\)）。

令 \(\{\vec{e}_1, \dots, \vec{e}_n\}\) 为 \(\mathbb{R}^n\) 的标准正交基，\(\{u_1, \dots, u_m\}\) 为 \(\mathbb{R}^m\) 的标准正交基。

为了探求线性映射 \(f'(x_0)\) 的矩阵表达式，我们计算 \(f'(x_0)\) 作用于基向量 \(\vec{e}_j\) 的结果：

任取 \(t \in \mathbb{R}\) 且 \(t \neq 0\)，当 \(t \to 0\) 时，\(t\vec{e}_j \to \vec{0}\)。

由可微定义式 (2) 变形可得：

\[ \lim_{t \to 0} \frac{|f(x_0+t\vec{e}_j) - f(x_0) - f'(x_0)(t\vec{e}_j)|}{|t\vec{e}_j|} = 0 \]
\[ \implies \lim_{t \to 0} \left| \frac{f(x_0+t\vec{e}_j) - f(x_0)}{t} - f'(x_0)\vec{e}_j \right| = 0 \]

根据极限性质，这意味着：

\[ \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0+t\vec{e}_j) - f(x_0)}{t} = f'(x_0)\vec{e}_j \]

将 \(f\) 按分量展开：

\[ \lim_{t \to 0} \sum_{i=1}^m \frac{f_i(x_0+t\vec{e}_j) - f_i(x_0)}{t} u_i = f'(x_0)\vec{e}_j \]

由于向量极限的收敛等价于各分量同时收敛，可得：

对于 \(\forall 1 \le i \le m\) 及 \(1 \le j \le n\)，偏导数 \(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x_0)\) 存在，并且：

\[ f'(x_0)\vec{e}_j = \sum_{i=1}^m \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x_0) u_i \]

对于任意增量向量 \(\Delta x = \sum_{j=1}^n h_j \vec{e}_j = (h_1, \dots, h_n)^T\)，线性映射的作用效果为：

\[ f'(x_0) \Delta x = f'(x_0) \sum_{j=1}^n h_j \vec{e}_j = \sum_{j=1}^n h_j f'(x_0)\vec{e}_j = \sum_{j=1}^n h_j \left( \sum_{i=1}^m \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x_0) u_i \right) = \sum_{i=1}^m \left( \sum_{j=1}^n h_j \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x_0) \right) u_i \]

将其写成矩阵乘法的形式，线性变换 \(f'(x_0)\) 在标准基下的矩阵称为雅可比矩阵 (Jacobian Matrix)，记作 \(J_f(x_0)\)：

\[ J_f(x_0) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(x_0) & \dots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(x_0) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(x_0) & \dots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}(x_0) \end{pmatrix} \]

此时，全微分可以用矩阵运算表示为：

\[ df(x_0) = J_f(x_0) \cdot \Delta x = J_f(x_0) \cdot dx \]

重要推论： 向量值函数 \(f\) 在点 \(x_0\) 处可微 \(\iff\) 其所有分量函数 \(f_1, \dots, f_m\) 在点 \(x_0\) 处可微。

十、 高阶偏导数

1. 记号与定义

当函数 \(z = f(x,y)\) 的偏导数 \(\frac{\partial f}{\partial x}\) 仍是一个关于 \((x,y)\) 的函数时，我们可以对其继续求偏导。

常见的二阶偏导数记号如下：

  • \(\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)(x_0, y_0)\)，也记作 \(f_{xy}(x_0, y_0)\)，或 \(\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}(x_0, y_0)\)，或 \(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x_0, y_0)\)。

  • \(\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)(x_0, y_0)\)，也记作 \(f_{xx}(x_0, y_0)\)，或 \(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}(x_0, y_0)\)，或 \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0, y_0)\)。

2. 混合偏导数不相等的反例

通常情况下，连续函数的混合偏导数与求导次序无关，但并非绝对。

考察经典反例：

\[ f(x,y) = \begin{cases} xy \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, & x^2+y^2 \neq 0 \\ 0, & x^2+y^2 = 0 \end{cases} \]

经推导计算可知，在原点处，先对 \(x\) 求导再对 \(y\) 求导，与先对 \(y\) 求导再对 \(x\) 求导的结果不一致：

\[ \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)(0,0) = -1 \]
\[ \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)(0,0) = 1 \]

这警示我们在处理高阶混合偏导数时，必须确认其连续性条件（即克莱罗定理 / Clairaut's Theorem 的前提条件）才能交换求导次序。

十一、 复合函数的求导法则（链式法则）

为了严谨地证明多元复合函数的链式法则，我们需要先引入线性映射范数的概念作为准备工作。

1. 准备工作：线性映射的范数

定义： 设 \(L: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) 为线性映射。定义 \(L\) 的范数（或称算子范数）为：

\[ \|L\| = \sup \{ |L(x)| : x \in \mathbb{R}^n \text{ 且 } |x|=1 \} \]

(注：因为单位球面是紧集，这里的上确界实际上是可以达到的，即等于最大值 \(\max\))

基本性质：

(1) 范数的有界性： \(\|L\| < +\infty\)。

证明： 任取 \(x = (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n\) 且 \(|x|=1\)。

由 \(\sum_{i=1}^n x_i^2 = 1 \implies \forall 1 \le i \le n, \text{有 } |x_i| \le 1\)。

记 \(\{e_i\}_{i=1}^n\) 为 \(\mathbb{R}^n\) 的标准正交基，利用线性映射的性质及三角不等式有：

\[ |L(x)| = \left|L\left(\sum_{i=1}^n x_i e_i\right)\right| = \left|\sum_{i=1}^n x_i L(e_i)\right| \le \sum_{i=1}^n |x_i| |L(e_i)| \le \sum_{i=1}^n |L(e_i)| \]

由于等式右侧是一个常数，因此取上确界依然有界，即 \(\|L\| \le \sum_{i=1}^n |L(e_i)| < +\infty\)。

(2) 线性映射的界： \(\forall x \in \mathbb{R}^n\), 有 \(|L(x)| \le \|L\| \cdot |x|\)。

证明：

  • 若 \(x = 0\)，则 \(|x|=0, L(x)=0\)，不等式两边均为 \(0\)，显然成立。

  • 若 \(x \neq 0\)，则 \(|x| \neq 0\)，于是：

    \[ |L(x)| = \left| L\left(|x| \cdot \frac{x}{|x|}\right) \right| = \left| |x| \cdot L\left(\frac{x}{|x|}\right) \right| = |x| \cdot \left|L\left(\frac{x}{|x|}\right)\right| \]

    因为向量 \(\frac{x}{|x|}\) 的模长为 \(1\)，根据范数定义，\(\left|L\left(\frac{x}{|x|}\right)\right| \le \|L\|\)。代入即得 \(|L(x)| \le |x| \cdot \|L\|\)。

(注：由性质(2)不难验证，范数也可等价定义为 \(\|L\| = \sup_{x \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}} \frac{|L(x)|}{|x|}\))。

2. 定理：复合函数求导的链式法则

定理陈述：

设 \(f: \Omega (\subset \mathbb{R}^k) \to \mathbb{R}^m\) 与 \(g: D (\subset \mathbb{R}^n) \to \mathbb{R}^k\) 分别是多元向量值函数，并且满足值域包含于定义域：\(g(D) \subset \Omega\)。

若 \(\vec{x}_0 \in \text{int} D\)，\(\vec{y}_0 = g(\vec{x}_0) \in \text{int} \Omega\)，且函数 \(g\) 与 \(f\) 分别在点 \(\vec{x}_0\) 与 \(\vec{y}_0\) 处可微。

则复合函数 \(z = f \circ g(x)\) 在点 \(\vec{x}_0\) 处也可微，且其全导数（雅可比矩阵）满足乘积关系：

\[ (f \circ g)'(\vec{x}_0) = f'(\vec{y}_0) \cdot g'(\vec{x}_0) \]

即雅可比矩阵的乘法：

\[ J_{f \circ g}(\vec{x}_0) = J_f(\vec{y}_0) \cdot J_g(\vec{x}_0) \]

严谨证明：

记线性映射 \(A = g'(\vec{x}_0)\)，\(B = f'(\vec{y}_0)\)。根据可微的定义，我们只需证明：

\[ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{|(f \circ g)(x_0+\Delta x) - (f \circ g)(x_0) - BA\Delta x|}{|\Delta x|} = 0 \quad \text{—— (式3)} \]

对于给定的 \(\Delta x \neq 0\)，令 \(\Delta y = g(x_0+\Delta x) - g(x_0)\)。考察 (式3) 的分子，利用三角不等式拆分：

\[ |f(y_0+\Delta y) - f(y_0) - BA\Delta x| \le |f(y_0+\Delta y) - f(y_0) - B\Delta y| + |B\Delta y - BA\Delta x| \]

我们要证明上述两项分别除以 \(|\Delta x|\) 后，当 \(\Delta x \to 0\) 时极限均为 \(0\)。

第一部分：处理第二项

\[ |B\Delta y - BA\Delta x| = |B(\Delta y - A\Delta x)| \le \|B\| \cdot |\Delta y - A\Delta x| \]

因为 \(A = g'(x_0)\)，由 \(g\) 的可微性知：

\[ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{|\Delta y - A\Delta x|}{|\Delta x|} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{|g(x_0+\Delta x) - g(x_0) - g'(x_0)\Delta x|}{|\Delta x|} = 0 \]

从而：\(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{|B\Delta y - BA\Delta x|}{|\Delta x|} = 0\)。

第二部分：处理第一项

我们已知 \(f\) 在 \(y_0\) 处可微，故：\(\lim_{\Delta y \to 0} \frac{|f(y_0+\Delta y) - f(y_0) - B\Delta y|}{|\Delta y|} = 0\)。

构造辅助函数 \(\alpha(\Delta y)\)：当 \(\Delta y \neq 0\) 时，\(\alpha(\Delta y) = \frac{|f(y_0+\Delta y) - f(y_0) - B\Delta y|}{|\Delta y|}\)；当 \(\Delta y = 0\) 时，令 \(\alpha(0) = 0\)。

则对 \(\forall \Delta y \in \mathbb{R}^k\)，均有恒等式：\(|f(y_0+\Delta y) - f(y_0) - B\Delta y| = \alpha(\Delta y) \cdot |\Delta y|\)。

分析 \(\alpha(\Delta y)\) 的极限特性：由构造知 \(\lim_{\Delta y \to 0} \alpha(\Delta y) = 0\) 且 \(\alpha(\vec{0}) = 0\)。

当 \(\Delta x \to 0\) 时，由于 \(g\) 连续，必有 \(\Delta y \to 0\)，从而 \(\alpha(\Delta y) \to 0\)，即 \(\lim_{\Delta x \to 0} \alpha(\Delta y) = 0\)。

我们现在需要控制比值 \(\frac{|\Delta y|}{|\Delta x|}\)。由第一部分的结论 \(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{|\Delta y - A\Delta x|}{|\Delta x|} = 0\)，可知当 \(\Delta x\) 充分小时，必有 \(\frac{|\Delta y - A\Delta x|}{|\Delta x|} < 1\)，即 \(|\Delta y - A\Delta x| < |\Delta x|\)。

利用反向三角不等式：

\[ |\Delta y| \le |\Delta y - A\Delta x| + |A\Delta x| < |\Delta x| + \|A\| \cdot |\Delta x| = (1 + \|A\|)|\Delta x| \]

即当 \(\Delta x\) 充分小时，\(\frac{|\Delta y|}{|\Delta x|} \le 1 + \|A\|\)（有界）。

综上，第一项除以 \(|\Delta x|\) 的极限为：

\[ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\alpha(\Delta y) \cdot |\Delta y|}{|\Delta x|} \le \lim_{\Delta x \to 0} \alpha(\Delta y) \cdot (1 + \|A\|) = 0 \]

两部分极限均为 \(0\)，(式3) 成立，链式法则定理证毕。

3. 链式法则的具体表现形式与树状图法

将雅可比矩阵乘法 \(J_z = J_f \cdot J_g\) 展开写成偏导数分量的形式，即可得到日常计算中常用的公式。

设 \(y = g(x)\), \(z = f(y) = f(g(x))\)。

一般形式：对于 \(\forall 1 \le i \le m, 1 \le j \le n\)，有

\[ \frac{\partial z_i}{\partial x_j} = \sum_{l=1}^k \frac{\partial z_i}{\partial y_l} \cdot \frac{\partial y_l}{\partial x_j} \]

常见特例 1：标量函数 (\(m=1\))

当 \(z\) 为标量函数时，上述公式退化为：

\[ \frac{\partial z}{\partial x_j} = \sum_{l=1}^k \frac{\partial z}{\partial y_l} \cdot \frac{\partial y_l}{\partial x_j}, \quad 1 \le j \le n \]

常见特例 2：二元函数的复合 (\(k=2, n=2\))

设 \(z = f(x,y)\)，且内外层变量分别为 \(x = x(u,v), y = y(u,v)\)，即内层映射为 \(g(u,v) = (x(u,v), y(u,v))\)。

此时链式法则展开为：

\[ \begin{cases} \frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u} \\ \frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v} \end{cases} \]

(注：如果在特定点 \((u_0, v_0)\) 处求导，严格的写法应将各偏导数在其对应的求导点处代入，即 \(\frac{\partial z}{\partial x}\) 需在 \((x_0, y_0)\) 处计算，\(\frac{\partial x}{\partial u}\) 需在 \((u_0, v_0)\) 处计算)。

全导数（单变量复合）

若 \(z = f(x,y)\) 且 \(y = y(x)\)，则 \(z\) 本质上是关于 \(x\) 的一元函数，此时求导称为全导数：

\[ \frac{dz}{dx} = \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} \]

(在处理此类问题时，画出变量依赖关系的树状图能有效防止漏项。例如 \(z\) 指向 \(x\) 与 \(y\)，\(y\) 又指向 \(x\))。

4. 链式法则应用举例

例 1：极坐标变换下的偏导数恒等式

已知 \(u = u(x,y)\) 为可微函数，证明在极坐标变换 \(\begin{cases} x = r\cos\theta \\ y = r\sin\theta \end{cases}\) 下，有：

\[ \left(\frac{\partial u}{\partial r}\right)^2 + \frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial u}{\partial \theta}\right)^2 = \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2 \]

证明：

通过树状图 \(u \rightarrow (x, y) \rightarrow (r, \theta)\) 梳理依赖关系。

首先计算内层偏导数：

\(\frac{\partial x}{\partial r} = \cos\theta\), \(\frac{\partial x}{\partial \theta} = -r\sin\theta\)

\(\frac{\partial y}{\partial r} = \sin\theta\), \(\frac{\partial y}{\partial \theta} = r\cos\theta\)

应用链式法则：

\(\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r} = \frac{\partial u}{\partial x}\cos\theta + \frac{\partial u}{\partial y}\sin\theta\)

\(\frac{\partial u}{\partial \theta} = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \theta} = -\frac{\partial u}{\partial x}r\sin\theta + \frac{\partial u}{\partial y}r\cos\theta\)

将第二式两边同除以 \(r\)：\(\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta} = -\frac{\partial u}{\partial x}\sin\theta + \frac{\partial u}{\partial y}\cos\theta\)。

将两式分别平方并相加：

左边 \(= (\frac{\partial u}{\partial x}\cos\theta + \frac{\partial u}{\partial y}\sin\theta)^2 + (-\frac{\partial u}{\partial x}\sin\theta + \frac{\partial u}{\partial y}\cos\theta)^2\)

展开后，交叉项 \(2\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial y}\cos\theta\sin\theta\) 一正一负相互抵消，提取公因式 \((\sin^2\theta + \cos^2\theta) = 1\)：

左边 \(= \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2 =\) 右边。证毕。

例 2：计算全导数在某点的值

设 \(z = \arctan(xy)\)，其中 \(y = e^x\)。求 \(\frac{dz}{dx} \Big|_{x=0}\)。

解：

利用全导数公式：\(\frac{dz}{dx} = \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dx}\)。

分别求导代入：

\(\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y}{1+x^2y^2}\)

\(\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1+x^2y^2} \cdot e^x\)

从而 \(\frac{dz}{dx} = \frac{y + x e^x}{1+x^2y^2}\)。

当 \(x=0\) 时，由 \(y = e^x\) 知 \(y = e^0 = 1\)。

将 \(x=0, y=1\) 代入式中：

\(\frac{dz}{dx} \Big|_{x=0} = \frac{1 + 0}{1 + 0} = 1\)。

例 3：利用多元复合求导计算一元函数导数

求 \(y = x^x\) 的导数。

解： 将其视为多元函数的复合，令 \(y = u^v\)，其中内层函数为 \(u = x\) 且 \(v = x\)。

根据全导数公式，通过树状图 \(y \to (u, v) \to x\)：

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{\partial y}{\partial u} \cdot \frac{du}{dx} + \frac{\partial y}{\partial v} \cdot \frac{dv}{dx} \]

代入偏导数：

\[ \frac{dy}{dx} = v \cdot u^{v-1} \cdot 1 + u^v \ln u \cdot 1 \]

将 \(u=x, v=x\) 代回，得到：

\[ \frac{dy}{dx} = x \cdot x^{x-1} + x^x \ln x = x^x(1 + \ln x) \]

例 4：复杂多层嵌套复合函数的偏导数

设 \(u = f(x, y, z)\)，其中 \(y = \varphi(x, t)\) 且 \(t = \psi(x, z)\)。假设各函数均具有连续偏导数，求 \(\frac{\partial u}{\partial x}\) 与 \(\frac{\partial u}{\partial z}\)。

解：

首先画出变量依赖树状图：

\(u\) 依赖于 \(x, y, z\)；

\(y\) 依赖于 \(x, t\)；

\(t\) 依赖于 \(x, z\)。

根据路径累加法则（链式法则），求关于 \(x\) 的偏导数（追踪所有到达 \(x\) 的路径）：

\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial t} \cdot \frac{\partial \psi}{\partial x} \]

求关于 \(z\) 的偏导数（追踪所有到达 \(z\) 的路径）：

\[ \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial t} \cdot \frac{\partial \psi}{\partial z} + \frac{\partial f}{\partial z} \]

(注：为了书写简便，常使用下标表示对第几个变量求导，例如 \(\frac{\partial u}{\partial x}\) 也可写作 \(f_1 + f_2 \cdot \varphi_1 + f_2 \cdot \varphi_2 \cdot \psi_1\))。

十二、 一阶全微分形式不变性

考察二元函数 \(z = f(x,y)\)。

情形 1：\(x, y\) 为自变量

此时，函数的全微分为：

\[ dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy \]

情形 2：\(x, y\) 为中间变量

设 \(x = x(u,v), y = y(u,v)\) 也是可微函数，且 \(u, v\) 为自变量。

根据全微分定义，\(z\) 视为 \(u, v\) 的函数时：

\[ dz = \frac{\partial z}{\partial u} du + \frac{\partial z}{\partial v} dv \]

代入链式法则公式 \(\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}\) 及 \(\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}\)，得：

\[ dz = \left(\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}\right) du + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}\right) dv \]

重新组合项，提取 \(\frac{\partial z}{\partial x}\) 与 \(\frac{\partial z}{\partial y}\)：

\[ dz = \frac{\partial z}{\partial x} \left(\frac{\partial x}{\partial u}du + \frac{\partial x}{\partial v}dv\right) + \frac{\partial z}{\partial y} \left(\frac{\partial y}{\partial u}du + \frac{\partial y}{\partial v}dv\right) \]

由于括号内恰好分别是中间变量 \(x\) 和 \(y\) 的全微分 \(dx\) 与 \(dy\)，因此化简为：

\[ dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy \]

结论（一阶全微分形式不变性）：

无论 \(x\) 与 \(y\) 是直接自变量，还是受其他变量控制的中间变量，全微分的代数形式 \(dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy\) 始终保持不变。

十三、 高阶偏导数

1. 概念与记号

如果偏导函数 \(\frac{\partial z}{\partial x}\) 或 \(\frac{\partial z}{\partial y}\) 依然是可导函数，则可继续求导。

  • 纯偏导数： \(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)\)，记作 \(f_{xx}\) 或 \(f''_{xx}\)。

  • 混合偏导数： 既对 \(x\) 求导又对 \(y\) 求导的偏导数称为混合偏导数。如 \(\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)\)，记作 \(f_{xy}\) 或 \(f''_{xy}\)。

计算实例：

求函数 \(z = e^{x+2y}\) 的所有二阶偏导数及三阶偏导数 \(\frac{\partial^3 z}{\partial x^2 \partial y}\)。

解： 一阶偏导：

\(\frac{\partial z}{\partial x} = e^{x+2y}\), \(\quad \frac{\partial z}{\partial y} = 2e^{x+2y}\)。

二阶偏导：

\(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(e^{x+2y}) = e^{x+2y}\)

\(\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(e^{x+2y}) = 2e^{x+2y}\)

\(\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2e^{x+2y}) = 2e^{x+2y}\)

\(\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(2e^{x+2y}) = 4e^{x+2y}\)。

三阶偏导：

\(\frac{\partial^3 z}{\partial x^2 \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\right) = \frac{\partial}{\partial y}(e^{x+2y}) = 2e^{x+2y}\)。

2. 高阶偏导数的链式法则计算

处理含有中间变量的高阶偏导数时，必须将一阶偏导数依然视作复合函数，再次应用链式法则。

例题： 设 \(w = f(x^2+y^2+z^2, xyz)\)，且 \(f\) 具有二阶连续偏导数。求 \(\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}\)。

解： 令 \(u = x^2+y^2+z^2, v = xyz\)。

一阶导数（利用链式法则）：

\[ \frac{\partial w}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x} = 2x \frac{\partial f}{\partial u} + yz \frac{\partial f}{\partial v} \]

二阶导数时，对上式求 \(x\) 的偏导，注意乘积求导法则，且 \(\frac{\partial f}{\partial u}, \frac{\partial f}{\partial v}\) 仍为 \(u, v\) 的复合函数：

\[ \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(2x \frac{\partial f}{\partial u} + yz \frac{\partial f}{\partial v}\right) = 2 \frac{\partial f}{\partial u} + 2x \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial u}\right) + yz \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial v}\right) \]

对 \(\frac{\partial f}{\partial u}\) 再次使用链式法则：

\[ \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial u}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial u^2}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v}\frac{\partial v}{\partial x} = 2x \frac{\partial^2 f}{\partial u^2} + yz \frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v} \]

对 \(\frac{\partial f}{\partial v}\) 同理展开并代入原式合并，假设混合偏导数相等（即 \(f_{uv} = f_{vu}\)）：

\[ \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} = 4x^2 f''_{11} + 4xyz f''_{12} + y^2z^2 f''_{22} + 2f'_1 \]

十四、 混合偏导数相等的条件 (Schwarz 定理)

在上面的计算中，我们发现 \(z_{xy}\) 与 \(z_{yx}\) 的结果相同。这一结论在一定条件下具有普适性。

定理 (Schwarz 定理)： 如果函数 \(z = f(x,y)\) 的两个混合偏导数 \(f_{xy}\) 和 \(f_{yx}\) 都在点 \((x_0, y_0)\) 处存在，并且在该点处连续，则：

\[ f_{xy}(x_0, y_0) = f_{yx}(x_0, y_0) \]

严格证明思路：

为了研究混合偏导数，固定充分小的 \(\Delta x \neq 0\) 和 \(\Delta y \neq 0\)，构造一个二阶差分函数：

\[ I(\Delta x, \Delta y) = \frac{1}{\Delta x \Delta y} [f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - f(x_0+\Delta x, y_0) - f(x_0, y_0+\Delta y) + f(x_0, y_0)] \]

  1. 先对 \(x\) 用中值定理： 令 \(\psi(y) = f(x_0+\Delta x, y) - f(x_0, y)\)，则 \(I = \frac{1}{\Delta x \Delta y}[\psi(y_0+\Delta y) - \psi(y_0)]\)。

    由拉格朗日中值定理，存在 \(\theta_1 \in (0,1)\)，使得 \(\psi(y_0+\Delta y) - \psi(y_0) = \psi'(y_0+\theta_1\Delta y)\Delta y\)。

    代入后得：\(I = \frac{1}{\Delta x} [f_y(x_0+\Delta x, y_0+\theta_1\Delta y) - f_y(x_0, y_0+\theta_1\Delta y)]\)。

  2. 再对该式用中值定理： 存在 \(\theta_2 \in (0,1)\)，使得 \(I = f_{yx}(x_0+\theta_2\Delta x, y_0+\theta_1\Delta y)\)。

  3. 同理，改变顺序先对 \(y\) 再对 \(x\) 用中值定理：可以得到存在 \(\theta_3, \theta_4 \in (0,1)\)，使得 \(I = f_{xy}(x_0+\theta_3\Delta x, y_0+\theta_4\Delta y)\)。

  4. 取极限： 既然两者等价，则 \(f_{yx}(x_0+\theta_2\Delta x, y_0+\theta_1\Delta y) = f_{xy}(x_0+\theta_3\Delta x, y_0+\theta_4\Delta y)\)。

    令 \((\Delta x, \Delta y) \to (0,0)\)，由于 \(f_{xy}\) 和 \(f_{yx}\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处连续，极限穿透函数，得到：

    \[ f_{yx}(x_0, y_0) = f_{xy}(x_0, y_0) \]

    定理证毕。

推论： 该定理的结论对于 \(n\) 元函数的高阶混合偏导数同样成立。今后除非特别指出，均默认相应的混合偏导数连续，从而混合偏导数与求导顺序无关。

3. 连续性条件缺失的反例

为了强调定理中“连续”条件的必要性，考察以下在原点处不可微、偏导数性质病态的函数：

\[ f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}, & (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases} \]

通过极限定义计算原点处的导数状况：

\(f_x(0,0) = 0, \quad f_y(0,0) = 0\)。

当 \((x,y) \neq (0,0)\) 时，关于 \(x\) 的偏导数为：

\[ f_x(x,y) = \frac{y(x^2+y^2) - xy \cdot 2x}{(x^2+y^2)^2} \]

于是 \(f_x(x,0) = 0\)。

计算在原点的纯二阶偏导数：

\[ f_{xx}(0,0) = \lim_{x \to 0} \frac{f_x(x,0) - f_x(0,0)}{x} = 0 \]

计算在原点的混合偏导数 \(f_{xy}(0,0)\)：

\[ f_{xy}(0,0) = \lim_{y \to 0} \frac{f_x(0,y) - f_x(0,0)}{y} = \lim_{y \to 0} \frac{\frac{y^3}{y^4} - 0}{y} = \lim_{y \to 0} \frac{1}{y^2} \]

该极限为 \(\infty\)（不存在），表明在原点处高阶混合偏导数甚至可能不存在，更不可能连续或相等。这充分说明了 Schwarz 定理中连续性前提的重要性。

十五、 多元函数的中值定理

1. 凸区域的定义

设 \(D \subset \mathbb{R}^n\) 为一个区域。如果对于区域内的任意两点 \(\vec{x}_1, \vec{x}_2 \in D\)，连接这两点的线段也都完全包含于 \(D\) 中，即：

\[ \forall \lambda \in (0,1), \quad \lambda \vec{x}_1 + (1-\lambda)\vec{x}_2 \in D \]

则称 \(D\) 为凸区域。

2. 多元函数的微分中值定理

借助于一元函数的拉格朗日中值定理与复合函数求导法则，可以推导出多元函数的中值定理。

定理： 设二元函数 \(f(x,y)\) 在凸开区域 \(D \subset \mathbb{R}^2\) 上可微，则对于 \(\forall (x_0, y_0) \in D\) 以及 \((x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) \in D\)，存在 \(\theta \in (0,1)\)，使得：

\[ f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - f(x_0, y_0) = f_x(x_0+\theta\Delta x, y_0+\theta\Delta y)\Delta x + f_y(x_0+\theta\Delta x, y_0+\theta\Delta y)\Delta y \]

注：对于 \(n\) 元函数，该定理同样成立。若令 \(\vec{x}_0 = (x_1, \dots, x_n)\)，增量为 \(\Delta\vec{x} = (\Delta x_1, \dots, \Delta x_n)\)，则存在 \(\theta \in (0,1)\) 使得：

\[ f(\vec{x}_0+\Delta \vec{x}) - f(\vec{x}_0) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(\vec{x}_0+\theta\Delta \vec{x}) \cdot \Delta x_i \]

证明思路（利用一元辅助函数）：

定义辅助函数 \(\varphi(t) = f(x_0+t\Delta x, y_0+t\Delta y)\)，其中 \(t \in [0,1]\)。

由复合函数的连续性及可微性可知，\(\varphi(t)\) 在闭区间 \([0,1]\) 上连续，在开区间 \((0,1)\) 上可导。

由一元函数的拉格朗日中值定理，存在 \(\theta \in (0,1)\)，使得 \(\varphi(1) - \varphi(0) = \varphi'(\theta)(1-0) = \varphi'(\theta)\)。

利用链式法则求导得：

\[ \varphi'(t) = f_x(x_0+t\Delta x, y_0+t\Delta y)\Delta x + f_y(x_0+t\Delta x, y_0+t\Delta y)\Delta y \]

将 \(t=\theta\) 代入上述等式，即证得结论。

3. 推论与区域形状的反例

推论： 设二元函数 \(f(x,y)\) 在开区域 \(D \subset \mathbb{R}^2\) 上可微：

  1. 若对于 \(\forall (x,y) \in \text{int} D\)，恒有 \(f_x(x,y) = 0\)（且 \(D\) 为矩形域如 \([a,b]\times[c,d]\) 等规范区域），则 \(f(x,y)\) 仅与 \(y\) 相关，即 \(f(x,y) = \varphi(y)\)。

  2. 若对于 \(\forall (x,y) \in \text{int} D\)，恒有偏导数 \(f_x(x,y) = f_y(x,y) = 0\)，则 \(f(x,y)\) 在 \(D\) 上为常值函数。

对于一般区域的警示（反例）：

如果区域 \(D\) 不是凸区域（例如是一个 U 型区域），那么“恒有 \(f_x(x,y) = 0 \implies f\) 仅依赖于 \(y\)” 这一推论不一定成立。

因为在 U 型区域中，对于同一个 \(y\) 值，其对应的 \(x\) 可能属于两个不连通的区间。此时函数在左侧分支和右侧分支上虽然对 \(x\) 偏导均为 0（水平方向无变化），但这两侧可以分别取不同的、关于 \(y\) 的表达式。这表明在应用导数推导函数的整体性质时，区域的连通性与凸性是至关重要的前提。

十六、 多元函数的泰勒公式 (Taylor's Formula)

为了将一元函数的泰勒展开自然地推广到多元函数，我们先引入微分算子的记号。

1. 微分算子记号

定义算子：

\[ \left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x} + \Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^m f(x,y) = \sum_{i=0}^m C_m^i \Delta x^i \Delta y^{m-i} \frac{\partial^m f}{\partial x^i \partial y^{m-i}}(x,y) \]

(当 \(m=0\) 时，约定该算子直接作用的结果为 \(f(x,y)\) 本身)

例如，当 \(m=2\) 时：

\[ \left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x} + \Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^2 f = f_{xx}\Delta x^2 + 2f_{xy}\Delta x \Delta y + f_{yy}\Delta y^2 \]

2. 带有拉格朗日型余项的泰勒定理

定理： 设二元函数 \(f(x,y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 的某邻域 \(U((x_0,y_0), \delta)\) 内具有直到 \(n+1\) 阶的连续偏导数。那么对于该邻域中的任意一点 \((x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)\)，存在 \(\theta \in (0,1)\)，使得：

\[ f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) = f(x_0, y_0) + \sum_{m=1}^n \frac{1}{m!} \left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x} + \Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^m f(x_0, y_0) + R_n \]

其中，\(R_n\) 称为拉格朗日型余项，其表达式为：

\[ R_n = \frac{1}{(n+1)!} \left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x} + \Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^{n+1} f(x_0+\theta\Delta x, y_0+\theta\Delta y) \]

证明思路：

同样构造一元辅助函数 \(\varphi(t) = f(x_0+t\Delta x, y_0+t\Delta y)\)，其中 \(t \in [0,1]\)。

断言：\(\varphi(t)\) 在 \([0,1]\) 上具有直到 \(n+1\) 阶的连续导数。

理由是利用归纳法和链式法则可得断言成立，且导数公式可以用上述算子简洁表示：

\[ \varphi^{(m)}(t) = \left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x} + \Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^m f(x_0+t\Delta x, y_0+t\Delta y), \quad 0 \le m \le n+1 \]

对一元函数 \(\varphi(t)\) 应用带有拉格朗日余项的麦克劳林公式（在 \(t=0\) 处展开，求 \(\varphi(1)\) 的值）：

\[ \varphi(1) = \varphi(0) + \varphi'(0) + \frac{\varphi''(0)}{2!} + \dots + \frac{\varphi^{(n)}(0)}{n!} + \frac{\varphi^{(n+1)}(\theta)}{(n+1)!} \]

将 \(\varphi(1), \varphi(0)\) 以及各阶导数 \(\varphi^{(m)}(0)\) 和 \(\varphi^{(n+1)}(\theta)\) 的算子表达式代入上式，即可得到多元函数的拉格朗日型泰勒公式。定理得证。

3. 带有皮亚诺型余项的泰勒公式

在局部逼近与极值分析中，常常不需要精确知道拉格朗日余项的具体数值，只需要了解其随增量减小的阶数。

令 \(\rho = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\)，即两点间的距离。当 \(\rho \to 0\) 时：

由于 \(|\Delta x| \le \rho\) 且 \(|\Delta y| \le \rho\)，可以估计拉格朗日型余项 \(R_n\) 的大小：

\[ R_n = \frac{1}{(n+1)!} \sum_{i=0}^{n+1} C_{n+1}^i \Delta x^i \Delta y^{n+1-i} \frac{\partial^{n+1}f}{\partial x^i \partial y^{n+1-i}}(x_0+\theta\Delta x, y_0+\theta\Delta y) \]

因为 \(f\) 的 \(n+1\) 阶偏导数连续故在局部有界，且每一项都含有总次数为 \(n+1\) 的增量乘积（被 \(\rho^{n+1}\) 控制），因此 \(R_n\) 是比 \(\rho^n\) 更高阶的无穷小，即：

\[ R_n = o(\rho^n) \quad (\text{当 } \rho \to 0 \text{ 时}) \]

将该余项替换进展开式，即可得到带有皮亚诺型余项的泰勒公式：

\[ f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) = f(x_0, y_0) + \sum_{m=1}^n \frac{1}{m!} \left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x} + \Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^m f(x_0, y_0) + o(\rho^n) \]

十七、 多元函数的极值与最值

1. 极值的定义

设二元函数 \(f(x,y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 的某邻域 \(U((x_0, y_0), \delta_0)\) 内有定义。

如果存在 \(\delta \in (0, \delta_0)\)，使得对于该邻域内的任意一点 \((x, y) \in U((x_0, y_0), \delta)\)，都满足：

\[ f(x,y) \le f(x_0, y_0) \quad (\text{或 } f(x,y) \ge f(x_0, y_0)) \]

则称点 \((x_0, y_0)\) 为函数 \(f\) 的极大值点（或极小值点）。

相应地，函数值 \(f(x_0, y_0)\) 称为函数的极大值（或极小值）。极大值与极小值统称为极值。

2. 极值的必要条件与驻点

定理（极值的必要条件）： 若点 \((x_0, y_0)\) 是二元函数 \(f(x,y)\) 的极值点，并且 \(f\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处的两个偏导数都存在，则必有：

\[ f_x(x_0, y_0) = 0 \quad \text{且} \quad f_y(x_0, y_0) = 0 \]

(推导思路：若 \(f(x,y)\) 在 \((x_0, y_0)\) 取到极值，则固定 \(y=y_0\) 时，一元函数 \(f(x, y_0)\) 在 \(x_0\) 处也必取到极值，由一元函数费马引理知其导数必为 0；对 \(y\) 同理。)

驻点的定义： 若函数 \(f(x,y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 的一阶偏导数均等于零，即满足 \(f_x=f_y=0\)，则称 \((x_0, y_0)\) 为 \(f\) 的驻点（也称为稳定点、临界点）。

注：驻点是极值点的必要条件，但并非充分条件。例如，函数 \(f(x,y) = xy\) 在 \((0,0)\) 处偏导数均为 0，是驻点。但原点处的空间曲面呈现“马鞍面”形状，该点并非极值点。

3. 极值的充分条件与 Hesse 矩阵判别法

为了给出判断驻点是否为极值点的充分条件，引入黑塞（Hesse）矩阵的概念。

定义： 设二元函数 \(f\) 在点 \((x_0, y_0)\) 的某邻域内具有二阶连续偏导数，定义 \(f\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处的黑塞矩阵 (Hessian Matrix) 为：

\[ H_f(x_0, y_0) = \begin{pmatrix} f_{xx}(x_0, y_0) & f_{xy}(x_0, y_0) \\ f_{yx}(x_0, y_0) & f_{yy}(x_0, y_0) \end{pmatrix} \]

(简记为 \(H\)。由于二阶混合偏导数连续，此矩阵为对称矩阵)。

结合线性代数中二次型的正负定性，我们有以下定理。

定理（极值的充分条件）： 设函数 \(f\) 在点 \((x_0, y_0)\) 的某邻域内有二阶连续偏导数，且 \((x_0, y_0)\) 是 \(f\) 的驻点。根据黑塞矩阵 \(H\) 的性质，有：

  1. \(H\) 为正定矩阵： \(f\) 在 \((x_0, y_0)\) 处取得极小值。

  2. \(H\) 为负定矩阵： \(f\) 在 \((x_0, y_0)\) 处取得极大值。

  3. \(H\) 为不定矩阵： \(f\) 在 \((x_0, y_0)\) 处不取极值。

证明要点：

利用带皮亚诺余项的二阶泰勒公式展开函数增量 \(\Delta z\)。由于一阶项为 0，增量主要由二阶微分决定：

\[ \Delta z = \frac{1}{2} (\Delta x, \Delta y) H \begin{pmatrix} \Delta x \\ \Delta y \end{pmatrix} + o(\Delta x^2 + \Delta y^2) \]

若 \(H\) 正定，由于二次型连续且在单位圆周上有正的最小值 \(2q > 0\)，可将其放缩为 \(\Delta z = (q + o(1))(\Delta x^2 + \Delta y^2)\)。当增量趋于 0 时，主部为正，恒有 \(\Delta z > 0\)，故为极小值。负定矩阵同理。

4. 极值判别法的实用形式

为了方便计算，通常记二阶偏导数为：

\[ A = f_{xx}(x_0, y_0), \quad B = f_{xy}(x_0, y_0), \quad C = f_{yy}(x_0, y_0) \]

通过计算行列式 \(\Delta = AC - B^2\)，可将 Hesse 矩阵的正负定性转换为直观的判别条件。假设 \((x_0, y_0)\) 为驻点：

  1. 若 \(AC - B^2 > 0\) 且 \(A < 0\) (\(H\)负定)：函数有极大值。

  2. 若 \(AC - B^2 > 0\) 且 \(A > 0\) (\(H\)正定)：函数有极小值。

  3. 若 \(AC - B^2 < 0\) (\(H\)不定)：点 \((x_0, y_0)\) 不是极值点。

  4. 若 \(AC - B^2 = 0\)：判别法失效，可能取极大值、极小值或不取极值（例如 \(f(x,y)=x^4+y^4\) 取极小值，而 \(f(x,y)=x^3+y^3\) 不取极值），需借助其他方法另行判定。

推论（极值的二阶必要条件）： 若 \(f\) 在某点取得极小值，则其 Hesse 矩阵必为半正定矩阵；若取得极大值，则必为半负定矩阵。

5. 闭区域上的最值问题

根据闭区域上连续函数的性质，若二元函数 \(f(x,y)\) 在有界闭区域 \(D\) 上连续，则它在该区域上必能取到最大值和最小值。

最值点出现的可能位置：

  1. 区域 \(D\) 的内部： 此时最值点也是极值点，因此它必然是偏导数等于零的驻点，或者是偏导数不存在的奇异点。

  2. 区域 \(D\) 的边界上： 这是条件最值问题，可转化为一元函数求极值来处理。

求解一般步骤：

  1. 求出函数在区域 \(D\) 内部的所有驻点及偏导数不存在的点，并计算这些点处的函数值。

  2. 求出函数在区域边界 \(\partial D\) 上的最大值和最小值。

  3. 比较上述所有计算出的函数值，其中最大者即为全区域的最大值，最小者即为全区域的最小值。

6. 最值应用实例

例 1：区域内极值与边界最值的比较

求函数 \(z = x^2 - y^2\) 在有界闭区域 \(D = \{(x,y) \mid x^2 + y^2 \le 4\}\) 内的最大值和最小值。

解：

  1. 寻内部极值点：

    令 \(z_x = 2x = 0, z_y = -2y = 0\)，解得唯一驻点 \((0,0) \in \text{int} D\)。

    计算二阶导数：\(A = 2, B = 0, C = -2\)。判别式 \(AC - B^2 = -4 < 0\)。

    因此 \((0,0)\) 不是极值点（在此处 \(z=0\)）。

  2. 分析边界最值：

    区域边界为圆周 \(x^2 + y^2 = 4\)。将 \(y^2 = 4 - x^2\) 代入原函数，将边界最值转化为求一元函数最值：

    \(z = x^2 - (4 - x^2) = 2x^2 - 4\)。

    由于点在边界上，自变量范围为 \(x \in [-2, 2]\)。

    • 当 \(x = 0\) 时（对应边界点 \((0, \pm 2)\)），取得最小值 \(z = -4\)。

    • 当 \(x = \pm 2\) 时（对应边界点 \((\pm 2, 0)\)），取得最大值 \(z = 4\)。

  3. 结论：

    比较得知，函数在闭区域 \(D\) 上的最大值为 \(4\)，最小值为 \(-4\)。

例 2：实际几何优化问题

在已知周长为 \(2p\) 的一切三角形中，求其面积最大的三角形。

解：

  1. 建立目标函数：

    设三角形的三边长分别为 \(x, y, z\)，已知约束 \(x+y+z = 2p\)。

    根据海伦公式，面积 \(S = \sqrt{p(p-x)(p-y)(p-z)}\)。

    将 \(z = 2p - x - y\) 代入得 \(p-z = x+y-p\)。为求极值，我们只需考虑根号内函数 \(f(x,y)\) 的最大值：

    \(f(x,y) = (p-x)(p-y)(x+y-p)\)

    定义域为 \(D = \{(x,y) \mid 0 \le x \le p, 0 \le y \le p, x+y \ge p\}\)。

  2. 寻内部极值点：

    分别对 \(x, y\) 求偏导并令其为 0：

    \(\begin{cases} f_x = (p-y)(2p-2x-y) = 0 \\ f_y = (p-x)(2p-x-2y) = 0 \end{cases}\)

    因在内部探讨（边长不为 \(p\)），解此方程组得唯一驻点：\(x = \frac{2}{3}p, y = \frac{2}{3}p\)。

  3. 验证充分条件：

    在此点计算二阶偏导数：

    \(A = f_{xx} = -2(p-y) = -\frac{2}{3}p\)

    \(C = f_{yy} = -2(p-x) = -\frac{2}{3}p\)

    \(B = f_{xy} = -3p + 2x + 2y = -\frac{1}{3}p\)

    验证判别式：\(AC - B^2 = (-\frac{2}{3}p)^2 - (-\frac{1}{3}p)^2 = \frac{1}{3}p^2 > 0\)，且 \(A < 0\)。

    故点 \((\frac{2}{3}p, \frac{2}{3}p)\) 是 \(f\) 的极大值点。

  4. 结论：

    由于在区域边界（退化为线段）上 \(f(x,y)=0\)，因此内部的极大值即为全区域最大值。

    此时第三边 \(z = 2p - x - y = \frac{2}{3}p\)。

    由此得证：周长固定的三角形中，等边三角形的面积最大。