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08_内积空间上的算子

一、 伴随算子 (Adjoint Operators)

伴随算子的存在性由里斯表示定理保证。设 \(T \in \mathcal{L}(V, W)\)，其伴随算子 \(T^* \in \mathcal{L}(W, V)\)。

  • 核心定义：对于 \(\forall v \in V, w \in W\)，满足 \(\langle Tv, w \rangle_W = \langle v, T^*w \rangle_V\)。

  • 矩阵表示：在单位正交基下，\(T^*\) 的矩阵是 \(T\) 的矩阵的共轭转置（\(C = \bar{A}^T\)）。实空间中即为转置矩阵 \(A^T\)。

1. 代数运算性质

  • \((S + T)^* = S^* + T^*\)

  • \((\lambda S)^* = \bar{\lambda} S^*\)

  • \((T^*)^* = T\)

  • \((ST)^* = T^*S^*\)

  • \(I^* = I\)

2. 零空间与值域的正交补关系

  • \(\ker(T^*) = (\text{im } T)^\perp\)

  • \(\text{im}(T^*) = (\ker T)^\perp\)

  • \(\ker(T) = (\text{im } T^*)^\perp\)

  • \(\text{im}(T) = (\ker T^*)^\perp\)

二、 自伴算子与正规算子 (Self-Adjoint & Normal Operators)

限定算子在同一内积空间上 \(T \in \mathcal{L}(V)\)。自伴算子必定是正规算子，反之不成立。

算子类型 定义方程 矩阵特征（单位正交基下） 核心性质 / 特征值
自伴算子 \(T = T^*\) 埃尔米特矩阵 / 对称矩阵 (\(A = \bar{A}^T\)) 特征值必为实数；\(\langle Tv, v \rangle \in \mathbb{R}\)。
正规算子 \(TT^* = T^*T\) 正规矩阵 (\(A\bar{A}^T = \bar{A}^TA\)) 模长保持：\(\lVert Tv \rVert = \lVert T^*v \rVert\)；若 \(Tv = \lambda v\)，则 \(T^*v = \bar{\lambda}v\)。

1. 自伴算子的不变子空间性质

若 \(U\) 是自伴算子 \(T\) 的不变子空间，则 \(U^\perp\) 也是 \(T\)-不变的。限制算子 \(T|_U\) 和 \(T|_{U^\perp}\) 依然是自伴的。不同特征值对应的特征向量相互正交。实空间上的自伴算子必存在实特征值。

2. 内积 \(\langle Tv, v \rangle = 0\) 的重要判定

  • 复内积空间：对 \(\forall v \in V\)，若 \(\langle Tv, v \rangle = 0\)，则必然 \(T = 0\)。

  • 任意空间（已知 \(T\) 自伴）：对 \(\forall v \in V\)，若 \(\langle Tv, v \rangle = 0\)，则必然 \(T = 0\)。

三、 谱定理 (Spectral Theorem)

谱定理给出了算子在标准正交基下可对角化的充要条件（\(\dim V < \infty\)）。

空间类型 前提条件 对角化的等价条件
复内积空间 \(T\) 是正规算子 \(V\) 存在一组标准正交基，使 \(T\) 的矩阵为对角矩阵。
实内积空间 \(T\) 是自伴算子 \(V\) 存在一组由 \(T\) 的特征向量组成的标准正交基，使 \(T\) 为对角矩阵。

  • 复数域谱定理：矩阵 \(A\) 可以写成 \(A = U \Lambda U^*\)（其中 \(\Lambda\) 是对角阵，\(U\) 是酉矩阵，即列向量复正交） \(\iff\) \(A\) 是正规矩阵（\(AA^* = A^*A\)）。

  • 实数域谱定理：矩阵 \(A\) 可以写成 \(A = Q \Lambda Q^T\)（其中 \(\Lambda\) 是对角阵，\(Q\) 是正交矩阵，即列向量实正交） \(\iff\) \(A\) 是实对称矩阵（\(A = A^T\)）。

复习：

正交矩阵：如果一个实数方阵 \(Q\) 满足其转置矩阵等于其逆矩阵，即：

\[ Q^T Q = Q Q^T = I \]

（其中 \(I\) 是单位矩阵），那么 \(Q\) 就是正交矩阵。也就意味着 \(Q^{-1} = Q^T\)。

酉矩阵：如果一个复数方阵 \(U\) 满足其共轭转置矩阵（通常记作 \(U^*\) 或 \(U^H\)）等于其逆矩阵，即：

\[ U^* U = U U^* = I \]

那么 \(U\) 就是酉矩阵。也就意味着 \(U^{-1} = U^*\)

四、 正算子与等距算子 (Positive & Isometries)

1. 正算子 (Positive Operators)

正算子是特征值非负的自伴算子。对于 \(T \in \mathcal{L}(V)\)，以下五个条件完全等价：

  • \(T\) 是正算子（\(T = T^*\) 且 \(\forall v, \langle Tv, v \rangle \ge 0\)）。

  • \(T\) 是自伴算子，且所有特征值 \(\lambda_i \ge 0\)。

  • \(T\) 存在正的平方根。（唯一）

  • \(T\) 存在自伴的平方根。（不唯一）

  • 存在算子 \(R\)，使得 \(T = R^* R\)。（不唯一）

唯一平方根定理：正算子 \(T\) 存在唯一的正算子 \(R\) 满足 \(T = R^2\)，记作 \(R = \sqrt{T}\)。

2. 等距算子 (Isometries)

等距算子保持长度不变。等距算子必定是正规算子，在复空间中其特征值满足 \(|\lambda_i| = 1\)。以下条件完全等价：

  • \(S\) 保范数（\(\|Sv\| = \|v\|\)）。

  • \(S\) 保内积（\(\langle Su, Sv \rangle = \langle u, v \rangle\)）。

  • \(S\) 将任意（或存在某一组）标准正交基映射为标准正交基。

  • \(S^* S = I\)。

  • \(SS^* = I\)（即 \(S^* = S^{-1}\)）。

  • 伴随算子 \(S^*\) 也是等距算子。

五、 结构分解：极分解与奇异值分解

对于任意线性算子 \(T \in \mathcal{L}(V)\)，算子 \(T^*T\) 必定是正算子。

两者具有一致的模长与零空间：\(\|Tv\| = \|\sqrt{T^*T}v\|\)，且 \(\ker T = \ker \sqrt{T^*T}\)。

1. 极分解 (Polar Decomposition)

任意算子 \(T\) 可分解为一个等距算子 \(S\) 与一个正算子 \(\sqrt{T^*T}\) 的复合：

\[ T = S\sqrt{T^*T} \]

2. 奇异值与奇异值分解 (SVD)

  • 奇异值的定义：算子 \(T\) 的奇异值是正算子 \(\sqrt{T^*T}\) 的所有特征值（必为非负实数）。

  • SVD 定理：设 \(s_1, \dots, s_n\) 为 \(T\) 的奇异值，必定存在 \(V\) 的两组标准正交基 \(e_1, \dots, e_n\) 和 \(f_1, \dots, f_n\)，使得：

    \[ Tv = s_1\langle v, e_1 \rangle f_1 + s_2\langle v, e_2 \rangle f_2 + \dots + s_n\langle v, e_n \rangle f_n \]

  • 矩阵视角：算子 \(T\) 将基底 \((e_i)\) 映射为基底 \((f_i)\) 的标量倍（\(Te_i = s_i f_i\)）。在此两组基下的矩阵表示为对角线元素为 \(s_i\) 的对角阵。