§1.2 频率与概率（Frequency and Probability）

从试验记录到概率模型

前置知识：样本空间、互斥与事件运算。

频率（frequency）是观测比例；概率（probability）是模型赋予事件的可能性数值。用频率估计概率，用公理推导概率公式。

频率及其性质

在相同条件下重复进行 \(n\) 次试验，事件 \(A\) 出现 \(n_A\) 次，则

\[ f_n(A)=\frac{n_A}{n}. \]

\(n_A\) 是次数（count）；\(f_n(A)\) 是比例，同样次数的不同试验批次可有不同频率。

对于同一批试验记录：

\[ 0\le f_n(A)\le1,\qquad f_n(S)=1. \]

若 \(A_1,\ldots,A_k\) 两两互斥，计数不重叠，故

\[ f_n\left(\bigcup_{i=1}^{k}A_i\right)=\sum_{i=1}^{k}f_n(A_i). \]

频率的稳定性（Stability of Relative Frequency）

公平硬币的正面频率随试验次数增加趋于在 \(0.5\) 附近稳定，但不必逐步靠近。

自绘。三组固定种子的模拟数据；横轴为对数刻度，不是课堂观测记录。来源与许可。

用频率稳定值解释 \(P(A)\) 或 \(\Pr(A)\)，称为概率的统计性解释（statistical interpretation）：

• 有限次试验的频率通常不精确等于概率。
• 频率可以持续波动，不必单调逼近或最终固定。
• 一次观察到 \(f_n(A)=0\)，不能推出 \(P(A)=0\)。
• 稳定性需要合适的重复试验模型。

概率的公理化定义（Axiomatic Definition）

在给定样本空间上，概率 \(P\) 为事件赋予实数，并满足三条公理。

非负性（Non-negativity）

\[ P(A)\ge0\qquad\text{对任意事件 }A. \]

规范性（Normalization）

\[ P(S)=1. \]

可列可加性（Countable Additivity）

若 \(A_1,A_2,\ldots\) 两两互斥，即 \(A_i\cap A_j=\varnothing\)（\(i\ne j\)），则

\[ P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right) =\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i). \]

仅适用于可列、两两互斥的事件；重叠事件不能直接相加，不可列个单点不能照此求和。

公理不指定具体概率值；命中率等数值由题意、模型或观测确定。

由公理推出的基本性质

不可能事件的概率为零

\[ P(\varnothing)=0. \]

证明：可列可加性中取 \(A_1=S\)、其余 \(A_i=\varnothing\)，得 \(1=1+\sum_{i=2}^{\infty}P(\varnothing)\)，再用非负性。

有限可加性（Finite Additivity）

若 \(A_1,\ldots,A_n\) 两两互斥，则

\[ P\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i). \]

证明：在这些事件后补上可列个空集，再应用第三条公理。

补事件公式（Complement Rule）

由于 \(A\cup A^c=S\) 且 \(A\cap A^c=\varnothing\)，

\[ P(A^c)=1-P(A). \]

这常用于“至少一个”的题目：先求“一个都没有”，再用 \(1\) 减去。

单调性（Monotonicity）与差事件

若 \(A\subseteq B\)，可以把 \(B\) 分成互斥的两部分 \(A\) 与 \(B-A\)，于是

\[ P(B)=P(A)+P(B-A),\qquad P(B-A)=P(B)-P(A)\ge0. \]

因此 \(P(A)\le P(B)\)。再由 \(\varnothing\subseteq A\subseteq S\) 得到

\[ 0\le P(A)\le1. \]

对任意两个事件，正确的差事件公式是

\[ P(B-A)=P(B)-P(AB),\qquad P(A-B)=P(A)-P(AB). \]

因为 \(B=(AB)\cup(B-A)\)，两部分互斥。只有在 \(A\subseteq B\) 时，才可以把 \(P(AB)\) 换成 \(P(A)\)。

加法公式与容斥原理

两个事件（Addition Rule）

\[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB). \]

证明：将 \(A\cup B=A\cup(B-A)\) 互斥分解，再用差事件公式；减去一次重复计入的交集。

若 \(A,B\) 互斥，才简化为 \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\)。

三个事件

\[ \begin{aligned} P(A\cup B\cup C) &=P(A)+P(B)+P(C)\\ &\quad-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC). \end{aligned} \]

三重交集先加三次、再减三次，需补回一次。

有限个事件：容斥原理（Inclusion–Exclusion Principle）

\[ P\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right) =\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1} \sum_{1\le i_1<\cdots<i_k\le n} P(A_{i_1}\cap\cdots\cap A_{i_k}). \]

各重交集交替加减，无需互斥；应用见配对问题。

概率为零不等于不可能

总有 \(P(\varnothing)=0\)、\(P(S)=1\)，但反向推断一般不成立：

\[ P(A)=0\ \not\Rightarrow\ A=\varnothing, \qquad P(B)=1\ \not\Rightarrow\ B=S. \]

反例：在 \([0,1]\) 上均匀取一个数。取

\[ A=\{0.3\},\qquad B=[0,1]\setminus\{0.3\}. \]

\(P(A)=0\) 但 \(A\) 非空；\(P(B)=1\) 但 \(B\ne S\)。概率为 1 称几乎必然（almost surely），允许零概率例外。

均匀取点时，若单点概率同为 \(c>0\)，任取 \(m>1/c\) 个点，由有限可加性其概率为 \(mc>1\)，矛盾；故单点概率为零，无需不可列求和。

具体长度比计算见几何概型。

作业｜习题一 B1：包含关系与互斥

题目。\(P(A)=P(B)=0.3,P(C)=0.4\)；\(A\) 发生则 \(C\) 必然发生，\(B,C\) 互斥。求：（1）\(C\) 发生而 \(A\) 不发生；（2）\(A,B\) 至少一个发生；（3）三个都不发生的概率。

解析。由题意 \(A\subseteq C\)，\(BC=\varnothing\)，所以 \(AB=\varnothing\)，且 \(A\cup B\cup C=B\cup C\)。于是

\[ P(CA^c)=P(C)-P(A)=0.1, \]

\[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)=0.6, \]

\[ P(A^cB^cC^c)=1-P(B\cup C)=1-0.3-0.4=0.3. \]

只用包含与互斥，无需独立性。

例题：射击与事件分解

设 \(A=\{\text{甲击中}\}\)，\(B=\{\text{乙击中}\}\)，已知

\[ P(A)=0.7,\qquad P(B)=0.6,\qquad P(AB)=0.4. \]

目标不被击中即两人都没有击中：

\[ P(A^cB^c)=1-P(A\cup B) =1-[0.7+0.6-0.4]=0.1. \]

甲击中而乙没有击中：

\[ P(AB^c)=P(A)-P(AB)=0.7-0.4=0.3. \]

四类概率依次为：都击中 \(0.4\)、仅甲 \(0.3\)、仅乙 \(0.2\)、都未中 \(0.1\)，和为 \(1\)。交集概率已知，无需假设独立。

例题：至少两人参加与容斥

设 \(A,B,C\) 分别表示三人参加，且

\[ P(A)=P(B)=P(C)=0.4, \quad P(AB\cup AC\cup BC)=0.3, \quad P(ABC)=0.05. \]

“至少两人”含三人全参加。记两两交集概率和为 \(T\)；\(AB,AC,BC\) 的各重交集均为 \(ABC\)，容斥得

\[ 0.3=T-3P(ABC)+P(ABC)=T-2\times0.05, \qquad T=0.4. \]

故至少一人参加的概率为

\[ P(A\cup B\cup C)=1.2-0.4+0.05=0.85. \]

思考题

题 1：\(P(A\cup B)=0.6\)、\(P(A)=0.3\)，求 \(P(A^cB)\)。由互斥分解 \(A\cup B=A\cup(A^cB)\)，答案为 \(0.6-0.3=0.3\)。

题 2：\(P(AB)=P(A^cB^c)\)，\(P(A)=p\)，求 \(P(B)\)。设共同值为 \(c\)，由德摩根律和加法公式，

\[ c=1-P(A\cup B)=1-p-P(B)+c, \qquad P(B)=1-p. \]

这只是两块区域的概率相等，不意味着 \(A\) 与 \(B\) 互逆。

题 3：若“\(A,B\) 至少一个发生时 \(C\) 必发生”，则 \(A\cup B\subseteq C\)，所以一定有

\[ P(A\cup B)\le P(C). \]

包含关系只保证不等式，等号可能成立但不必成立。

易错点

• 相加前检查两两互斥；有重叠用容斥。
• 包含关系给概率不等式，不自动给等号。
• 概率为 0／1 不等于事件为空集／全集。

参考资料

主课件第 34–51 页；原始第一章课件第 26–44 页。