08_重积分
一、 重积分的引入与一般定义
1. 基本思想
设 \(f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\)，其中 \(D\) 为有界闭集。计算重积分的基本步骤为“分割、求和、取极限”：
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分割： 作分割 \(T = \{D_1, \dots, D_m\}\)，满足 \(\bigcup_{i=1}^m D_i = D\)，且各子区域的内部两两不交。
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求近似和： 对于 \(\forall 1 \le i \le m\)，任取介点 \(P_i \in D_i\)，得到黎曼和 \(\sum_{i=1}^m f(P_i) \cdot \sigma(D_i)\)，其中 \(\sigma(D_i)\) 表示子区域 \(D_i\) 的测度（如面积或体积）。
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取极限： \(\lim_{||T|| \to 0} \sum_{i=1}^m f(P_i) \sigma(D_i)\)。
其中，分割的细度（Norm）定义为子区域直径的最大值：\(||T|| = \max\{\text{diam}(D_i) \mid 1 \le i \le m\}\)。
二、 矩形区域上的二重积分
1. 闭矩形的面积
规定闭矩形 \(D = [a,b] \times [c,d]\) 的面积为 \((b-a) \times (d-c)\)，记作 \(\sigma(D)\)。若无特殊指明，矩形即指坐标轴平行的矩形。
2. 矩形区域的分割
设 \(D = [a,b] \times [c,d]\) 是 \(\mathbb{R}^2\) 中的闭矩形。
分别对区间 \([a,b]\) 和 \([c,d]\) 作分割：
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\(P_x: a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b\)
-
\(P_y: c = y_0 < y_1 < \dots < y_m = d\)
这两族平行线 \(x = x_i\) 和 \(y = y_j\) 将矩形 \(D\) 分成 \(k = n \times m\) 个小矩形：\([x_{i-1}, x_i] \times [y_{j-1}, y_j]\)。
将这 \(k\) 个小矩形按一定次序重排并编号为 \(D_1, D_2, \dots, D_k\)。记该分割为 \(P = P_x \times P_y\)。
分割 \(P\) 的细度定义为：\(||P|| = \max\{\text{diam}(D_i) \mid 1 \le i \le k\}\)。
3. 黎曼和与二重积分的定义
设 \(f(x,y)\) 是定义在 \(D\) 上的实值函数。\(\forall 1 \le i \le k\)，任取介点 \(\xi_i \in D_i\)，作黎曼和（Riemann和）：
可积性定义：
如果存在实数 \(A\)，使得 \(\forall \varepsilon > 0\)，\(\exists \delta > 0\)，不论分割 \(P\) 如何选取，也不论介点 \(\{\xi_i\}\) 如何选取，只要 \(||P|| < \delta\)，就恒有：
则称函数 \(f\) 在矩形 \(D\) 上可积（Integrable），实数 \(A\) 称为 \(f\) 在 \(D\) 上的二重积分，记作：
其中，\(f\) 称为被积函数，\(D\) 称为积分区域。极限过程常简记为：\(A = \lim_{||P|| \to 0} \sum_{i=1}^k f(\xi_i) \sigma(D_i)\)。
三、 可积的必要条件与达布和 (Darboux Sums)
1. 可积的必要条件
若 \(f(x,y)\) 在闭矩形 \(D = [a,b] \times [c,d]\) 上可积，则 \(f\) 在 \(D\) 上必须是有界的。（后续讨论均假定 \(f\) 在 \(D\) 上有界）。
2. 达布上和与达布下和
给定有界函数 \(f\) 和分割 \(P\)，令：
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\(M_i = \sup \{ f(x,y) \mid (x,y) \in D_i \}\)
-
\(m_i = \inf \{ f(x,y) \mid (x,y) \in D_i \}\)
定义：
-
达布上和： \(\overline{S}(f, P) = \sum_{i=1}^k M_i \sigma(D_i)\)
-
达布下和： \(\underline{S}(f, P) = \sum_{i=1}^k m_i \sigma(D_i)\)
显然，对于任意给定的分割 \(P\)，达布和与黎曼和满足以下确界关系：
四、 分割的加细及其性质
1. 分割的加细 (Refinement)
设 \(P = P_x \times P_y\) 与 \(P' = P'_x \times P'_y\) 是 \(D\) 的两个分割。如果 \(P'_x\) 是 \(P_x\) 的加细（即 \(P_x\) 中的分点全是 \(P'_x\) 的分点，允许 \(P'_x = P_x\)），且 \(P'_y\) 是 \(P_y\) 的加细，则称 \(P'\) 是 \(P\) 的加细。
2. 达布和的单调性定理
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定理 1： 设 \(P\) 与 \(P'\) 是闭矩形 \(D\) 的两个分割，且 \(P'\) 是 \(P\) 的加细，则有：
\[ \underline{S}(f, P) \le \underline{S}(f, P') \le \overline{S}(f, P') \le \overline{S}(f, P) \](即：加细分割会使下和变大，上和变小)
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定理 2： 设 \(P_1\) 与 \(P_2\) 是闭矩形 \(D\) 的任意两个分割，则恒有：
\[ \underline{S}(f, P_1) \le \overline{S}(f, P_2) \](证明思路：取 \(P_1\) 和 \(P_2\) 的共同加细 \(P' = P_{1,x} \cup P_{2,x} \times P_{1,y} \cup P_{2,y}\)，利用定理 1 传递不等式即可)
五、 上下积分与可积判别准则
1. 达布上积分与下积分
由定理 2 可知，任意下和都是上和集合的下界，任意上和都是下和集合的上界。因此定义：
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下积分： \(\underline{\int}_D f d\sigma = \sup \{ \underline{S}(f, P) \mid P \text{ 是 } D \text{ 的一个分割} \}\)
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上积分： \(\overline{\int}_D f d\sigma = \inf \{ \overline{S}(f, P) \mid P \text{ 是 } D \text{ 的一个分割} \}\)
由定义及定理 2，对任意分割 \(P\) 恒有：
2. 可积判别准则
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定理 3： \(f\) 在 \(D\) 上可积的充要条件是上积分等于下积分，即 \(\underline{\int}_D f d\sigma = \overline{\int}_D f d\sigma \triangleq A\)。
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可积的等价条件（达布准则）： 有界函数 \(f\) 在闭矩形 \(D\) 上可积 \(\iff\) \(\forall \varepsilon > 0\)，\(\exists\) 分割 \(P\)，使得：
\[ \overline{S}(f, P) - \underline{S}(f, P) < \varepsilon \]
六、 不可积函数的反例：二维 Dirichlet 函数
利用达布和的性质，我们可以严格证明某些函数是不可积的。
例： 设 \((x,y) \in \mathbb{R}^2\)，如果 \(x, y \in \mathbb{Q}\)（即坐标均为有理数），称 \((x,y)\) 为有理点。定义二维 Dirichlet 函数如下：
判断 \(D(x,y)\) 在闭矩形 \(R = [0,1] \times [0,1]\) 上是否可积。
证明：
对于 \(R\) 的任意分割 \(P\)，由于任何一个子矩形 \(D_i\) 内既包含有理点，也包含无理点，因此在每个子矩形上：
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上确界 \(M_i = 1\)
-
下确界 \(m_i = 0\)
从而得到达布上和与下和：
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\(\overline{S}(f, P) = \sum_{i=1}^k 1 \cdot \sigma(D_i) = \sigma(R) = 1\)
-
\(\underline{S}(f, P) = \sum_{i=1}^k 0 \cdot \sigma(D_i) = 0\)
对其取确界，得到上积分与下积分：
因为 \(\overline{\int}_R f d\sigma \neq \underline{\int}_R f d\sigma\)，由可积判别准则可知，\(D(x,y)\) 在 \(R\) 上不可积。
七、 二重积分的基本性质
设函数 \(f\) 和 \(g\) 都在闭矩形 \(D\) 上可积。
1. 线性性质
-
若 \(c\) 为常数，则 \(cf\) 也在 \(D\) 上可积，且：
\[ \iint_D (cf) d\sigma = c \iint_D f d\sigma \] -
\(f \pm g\) 也在 \(D\) 上可积，且：
\[ \iint_D (f \pm g) d\sigma = \iint_D f d\sigma \pm \iint_D g d\sigma \]
2. 非负性与保号性
-
非负性： 若 \(\forall x \in D\)，有 \(f(x) \ge 0\)，则：
\[ \iint_D f d\sigma \ge 0 \] -
保号性（单调性）： 若 \(\forall x \in D\)，有 \(f(x) \ge g(x)\)，则：
\[ \iint_D f d\sigma \ge \iint_D g d\sigma \]
八、 二重积分的计算：累次积分与 Fubini 定理
二重积分的实际计算通常通过将其转化为两次一元定积分（即累次积分）来完成。
1. 累次积分的定义
设 \(D = [a,b] \times [c,d]\)，函数 \(f: D \to \mathbb{R}\)。
若 \(\forall x \in [a,b]\)，关于 \(y\) 的一元函数 \(f(x,y)\) 在 \([c,d]\) 上可积，则可定义一个关于 \(x\) 的新函数：
若函数 \(\varphi(x)\) 在 \([a,b]\) 上也可积，则可得到：
这个积分称为累次积分，通常简记为：
(先关于 \(y\) 积分，再关于 \(x\) 积分)。同理，也可以定义先关于 \(x\) 后关于 \(y\) 的累次积分：\(\int_c^d dy \int_a^b f(x,y) dx\)。
2. Fubini 定理 (矩形区域)
设函数 \(f\) 在闭矩形 \(D = [a,b] \times [c,d]\) 上可积。
如果对于 \(\forall x \in [a,b]\)，函数 \(f(x,y)\) 关于 \(y\) 在 \([c,d]\) 上可积，令 \(\varphi(x) = \int_c^d f(x,y) dy\)。
则 \(\varphi(x)\) 在 \([a,b]\) 上一定可积，且二重积分等于该累次积分：
(注：对另一个次序的累次积分也成立相同的结论。)
推论：
若 \(f(x,y)\) 在 \(D = [a,b] \times [c,d]\) 上连续，则二重积分存在，且两种次序的累次积分均存在且相等：
3. 计算实例
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例 1： 设 \(D = [0,1]^2\)，计算 \(A = \iint_D f(x,y) dxdy\)，其中被积函数为分段函数：
\[ f(x,y) = \begin{cases} 1-x-y, & x+y \le 1 \\ 0, & x+y > 1 \end{cases} \]解： \(\forall x \in [0,1]\)，关于 \(y\) 的积分为：
\[ \int_0^1 f(x,y) dy = \int_0^{1-x} (1-x-y) dy = \left[ -\frac{1}{2}(1-x-y)^2 \right]_{y=0}^{1-x} = \frac{1}{2}(1-x)^2 \]进而求二次积分：
\[ A = \int_0^1 dx \int_0^1 f(x,y) dy = \int_0^1 \frac{1}{2}(1-x)^2 dx = \left[ -\frac{1}{6}(1-x)^3 \right]_0^1 = \frac{1}{6} \] -
例 2： 设 \(D = [0,\pi] \times [0,1]\)，计算 \(\iint_D y \sin(xy) dxdy\)。
解： 观察被积函数，先对 \(x\) 积分更容易凑微分。
\[ \iint_D y \sin(xy) dxdy = \int_0^1 dy \int_0^\pi y \sin(xy) dx \]内层积分：\(\int_0^\pi y \sin(xy) dx = \left[ -\cos(xy) \right]_{x=0}^\pi = 1 - \cos(\pi y)\)
外层积分：\(\int_0^1 (1 - \cos(\pi y)) dy = \left[ y - \frac{1}{\pi}\sin(\pi y) \right]_0^1 = 1 - 0 = 1\)
九、 零面积集与 Lebesgue 可积性定理
为了更精确地刻画哪些函数是可积的，需要引入“零面积集”的概念，来度量函数间断点的多少。
1. 零面积集的定义
设 \(E \subset \mathbb{R}^2\)。如果 \(\forall \varepsilon > 0\)，存在有限个闭矩形 \(D_1, \dots, D_m\)，使得：
则称 \(E\) 为一个零面积集。（注：等价地，定义中的“闭矩形”也可以换作“开矩形”）。
2. Lebesgue 可积性定理
设函数 \(f\) 在闭矩形 \(D = [a,b] \times [c,d]\) 上有界。
若 \(f\) 在 \(D\) 上的所有间断点构成的集合 \(E\) 是一个零面积集，则 \(f\) 在 \(D\) 上可积。
(该定理表明，有界函数允许存在间断点，只要间断点“足够少”——构成零面积集，就依然是黎曼可积的)。
3. 常见的零面积集实例
几何上直观的一维对象在二维空间中通常具有零面积。
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实例 1：直线段
集合 \(E = \{(x,y) \mid x+y=1, x \ge 0, y \ge 0\}\) 是零面积集。
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实例 2：连续函数的图像
设一元函数 \(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) 连续，则其图像 \(G(f) = \{(x, f(x)) \mid x \in [a,b]\}\) 是 \(\mathbb{R}^2\) 中的零面积集。
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实例 3：光滑/分段光滑曲线
设连续曲线参数方程为 \(\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}\) (\(\alpha \le t \le \beta\))。如果 \(x(t)\) 与 \(y(t)\) 中至少有一个在 \([\alpha, \beta]\) 上连续可微（导数连续），则该曲线：
\[ E = \{(x(t), y(t)) \mid t \in [\alpha, \beta]\} \]是一个零面积集。
证明核心思路： 不妨设 \(y(t)\) 连续可微，则 \(y'(t)\) 有界，即 \(|y'(t)| \le M\)。由于 \(x(t)\) 在闭区间上连续，故一致连续。对区间细分后，由微分中值定理，纵向上的极差 \(\Delta y \le M \Delta t\)。将其包围在小矩形内，矩形面积和 \(\sum \sigma(D_i) \le \sum \varepsilon M \Delta t_i = \varepsilon M (\beta - \alpha)\)。由于 \(\varepsilon\) 可任意小，故总面积趋于 0。
十、 几乎处处相等函数与一般有界集上的积分
1. 改变零面积集上的函数值
定理： 设函数 \(f, g\) 在闭矩形 \(D = [a,b] \times [c,d]\) 上有界，且使得 \(f\) 与 \(g\) 取值不相等的点集 \(E = \{x \in D : f(x) \neq g(x)\}\) 是一个零面积集。若 \(f\) 和 \(g\) 中有一个在 \(D\) 上可积，则另一个也在 \(D\) 上可积，且它们的积分值严格相等：
证明核心思路：将函数拆分为 \(f(x) = g(x) + (f(x)-g(x))\)。后者的非零点全部集中在零面积集上，其积分为0，从而不改变原积分的值。
2. 一般有界集合上积分的定义
设 \(E \subset \mathbb{R}^2\) 为任意有界集合，函数 \(f: E \to \mathbb{R}\)。
为了将任意形状的集合化归为矩形问题，定义辅助函数 \(f_E(\vec{x})\) 如下（即在 \(E\) 外部补零）：
定义： 任取一个包含 \(E\) 的有界闭矩形 \(D\)（即 \(D \supset E\)）。如果辅助函数 \(f_E\) 在闭矩形 \(D\) 上可积，则称函数 \(f\) 在集合 \(E\) 上可积。并定义 \(f\) 在 \(E\) 上的二重积分为 \(f_E\) 在 \(D\) 上的积分，记作：
3. 一般集合上可积的判定条件
定理： 设 \(E \subset \mathbb{R}^2\) 为有界集合，\(f: E \to \mathbb{R}\) 为有界函数。如果满足以下两个条件：
-
集合 \(E\) 的边界 \(\partial E\) 是一个零面积集；
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\(f\) 在 \(E\) 上的间断点集合 也是一个零面积集；
那么，函数 \(f\) 在 \(E\) 上一定可积。
十一、 一般区域上二重积分的性质与面积定义
1. 线性性质
设 \(E \subset \mathbb{R}^2\) 为有界集合。若 \(f, g\) 在 \(E\) 上可积，则对于 \(\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}\)，线性组合 \(\alpha f + \beta g\) 在 \(E\) 上也可积，且满足：
2. 积分关于积分区域的可加性
设 \(E_1, E_2 \subset \mathbb{R}^2\) 为有界集合，且它们的交集 \(E_1 \cap E_2\) 是一个零面积集（即两个区域仅在边界相交或重合面积为0）。
若 \(f\) 在 \(E_1\) 和 \(E_2\) 上都分别可积，则 \(f\) 在并集 \(E_1 \cup E_2\) 上也可积，且：
3. 平面有界集合的面积
定义： 设 \(E \subset \mathbb{R}^2\) 为有界集合。若常数函数 \(f(x,y) \equiv 1\) 在 \(E\) 上可积，则称集合 \(E\) 是可求面积的（或有面积的）。并将其积分值定义为集合 \(E\) 的面积，记作 \(\sigma(E)\)：
核心性质：
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\(E\) 为零面积集 \(\iff \sigma(E) = 0\)。
-
\(E\) 是可求面积的 \(\iff \sigma(\partial E) = 0\) （即集合有面积的充要条件是其边界的面积为零）。
4. 积分中值定理
定理： 设 \(K\) 是由 \(\mathbb{R}^2\) 中有限条光滑曲线围成的有界闭区域。若函数 \(f, g: K \to \mathbb{R}\) 都在 \(K\) 上连续，且 \(g\) 在 \(K\) 上不变号（即恒非负或恒非正），则必定存在一点 \(\xi \in K\)，使得：
推论： 若取 \(g(x,y) \equiv 1\)，则存在 \(\xi \in K\)，使得二重积分等于该点的函数值乘以区域面积：
十二、 一般区域上二重积分的计算 (化为累次积分)
在计算一般区域上的积分时，黎曼和的极限形式为 \(\lim_{||P|| \to 0} \sum_{i=1}^m f(\xi_i) \sigma(D_i)\)，但在实际计算中，我们依赖 Fubini 定理将其转化为累次积分。
1. X 型区域上的积分
定义： 若积分区域 \(E\) 可以用两个介于常数之间的界限和两个函数界限表示：
其中 \(y_1(x)\) 和 \(y_2(x)\) 都在 \([a,b]\) 上连续，这类区域称为 X 型区域（即穿过区域内部且平行于 y 轴的直线与边界最多有两个交点）。
定理： 如果 \(f\) 在 X 型区域 \(E\) 上可积，并且对于 \(\forall x \in [a,b]\)，单变量积分 \(\int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y) dy\) 存在，那么二重积分可以化为先对 \(y\)、后对 \(x\) 的累次积分：
推论： 若上述区域条件成立，且 \(f(x,y)\) 在 \(E\) 上连续，则 \(f\) 必定在 \(E\) 上可积（因为 \(\partial E\) 为零面积集），且上述累次积分计算公式直接成立。
2. Y 型区域上的积分
定义： 若积分区域 \(E\) 可表示为：
其中 \(x_1(y)\) 和 \(x_2(y)\) 都在 \([c,d]\) 上连续，这类区域称为 Y 型区域。
定理： 如果 \(f(x,y)\) 在 Y 型区域 \(E\) 上连续，则 \(f\) 在 \(E\) 上可积，且可以化为先对 \(x\)、后对 \(y\) 的累次积分：
十三、 二重积分的变量代换与雅可比行列式
1. 从一元积分的换元法启发
对于一元定积分的换元公式，若设 \(x = \varphi(t)\) 且导数 \(\varphi'(t)\) 不变号（单调），换元公式可以写为积分区间（视为集合）的形式：
这里 \(|\varphi'(t)| dt\) 刻画了映射过程中一维微元长度的局部放大率（放缩比例）。二重积分的换元同样需要寻找二维面积微元的放缩比例。
2. 平面映射与面积微元的变换 (引理)
设映射 \(\varphi\):
是定义在开集 \(U \subset \mathbb{R}^2\) 上的一个连续可微映射，且其雅可比行列式 (Jacobian Determinant) 在 \(U\) 上处处不为零：
设 \((u_0, v_0) \in U\)。在 \(uv\) 平面上取一个以 \((u_0, v_0)\) 为顶点，边长分别为 \(h\) 和 \(k\) 且平行于坐标轴的微小矩形，记作 \(A_{hk}\)。
当 \(A_{hk}\) 经过映射 \(\varphi\) 变换到 \(xy\) 平面上时，会发生扭曲，变成一个曲边四边形 \(\varphi(A_{hk})\)。通过对映射的坐标函数进行泰勒一阶展开，该曲边四边形的面积可以近似为由两个切向量张成的平行四边形的面积。
3. 面积局部放大率的极限
通过计算可知，映射后的曲边四边形面积 \(\sigma(\varphi(A_{hk}))\) 与原矩形面积 \(\sigma(A_{hk}) = |hk|\) 之比，当矩形无限缩小时 \((h,k) \to (0,0)\) 的极限，恰好等于雅可比行列式的绝对值：
推导依据：利用泰勒展开的线性项构成切向量，利用向量的叉积模长近似计算微小平行四边形的面积。
这一结论表明，雅可比行列式的绝对值 \(\left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right|\) 正是二维映射中的面积局部放大率，它起到了将 \(uv\) 平面的面积微元转化为 \(xy\) 平面面积微元的作用，即建立对应关系：\(d\sigma_{xy} \approx \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right| dudv\)。
4. 二重积分的变量代换定理 在明确了雅可比行列式的几何意义后，我们可以得出二重积分的一般变量代换公式。
设映射 \(\varphi\):
是开集 \(U \subset \mathbb{R}^2\) 上的一个连续可微映射，并且其雅可比行列式满足 \(\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \neq 0, \forall (u,v) \in U\)。
设 \(\Delta \subset U\) 是由有限条分段光滑的曲线段围成的闭区域，并且映射 \(\varphi\) 是 \(\Delta\) 上的单射。令目标积分区域为 \(D = \varphi(\Delta)\)。若二元函数 \(f\) 在区域 \(D\) 上连续，则有如下变量代换公式：
直观理解： 在黎曼和的近似极限推导中，左侧积分微元为 \(\sigma(D_i)\)，右侧变换后的微元为 \(\sigma(\Delta_i)\)。根据前述引理，面积微元的局部放缩比例近似为 \(\sigma(D_i) \approx \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right|_{\xi_i} \sigma(\Delta_i)\)，从而在积分计算中补上了这一缩放因子，保证了积分值在坐标变换下的等价性。
十四、 二重积分计算实例分析
在实际应用 Fubini 定理将二重积分转化为累次积分时，积分次序的选择和转换是核心解题技巧。
1. 恰当选择积分次序（避开繁琐的区域分割）
计算重积分时，根据积分区域的几何形状选择合适的变量顺序，可以极大简化计算过程。
例 1： 计算 \(\iint_D xy dxdy\)，其中 \(D\) 为抛物线 \(y^2 = x\) 和直线 \(y = x - 2\) 所围成的闭区域。
-
求交点： 联立方程组可得两曲线的交点坐标为 \(A(1, -1)\) 和 \(B(4, 2)\)。
-
解法一（视为 X 型区域，需要分割）： 若先对 \(y\) 后对 \(x\) 积分，由于下边界函数发生了改变，需要用直线 \(x=1\) 将区域 \(D\) 分割成左右两部分 \(D_1\) 和 \(D_2\)。
\[ \iint_D xy dxdy = \int_0^1 dx \int_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}} xy dy + \int_1^4 dx \int_{x-2}^{\sqrt{x}} xy dy = \dots = \frac{45}{8} \] -
解法二（视为 Y 型区域，更简单）： 若先对 \(x\) 后对 \(y\) 积分，整个区域的左边界始终为抛物线 \(x = y^2\)，右边界始终为直线 \(x = y + 2\)，无需分割区域。区域可以一次性表示为 \(D = \{(x,y): y^2 \le x \le y+2, -1 \le y \le 2\}\)。
\[ \iint_D xy dxdy = \int_{-1}^2 dy \int_{y^2}^{y+2} xy dx = \int_{-1}^2 \left( y \cdot \frac{x^2}{2} \Big|_{x=y^2}^{x=y+2} \right) dy \]\[ = \frac{1}{2} \int_{-1}^2 y [(y+2)^2 - y^4] dy = \frac{45}{8} \]
2. 交换累次积分的次序以突破解题障碍
某些被积函数在特定的积分次序下难以甚至无法求出初等原函数，此时必须通过绘制积分区域的图形，强行交换积分次序来求解。
例 2： 计算 \(\iint_D \sin(x^2) dxdy\)，其中 \(D\) 为 \(y=0\), \(x=\sqrt{\pi/2}\) 和 \(y=x\) 所围成的闭区域。
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无效尝试： 若尝试先对 \(x\) 再对 \(y\) 求累次积分 \(\int_0^{\sqrt{\pi/2}} dy \int_y^{\sqrt{\pi/2}} \sin(x^2) dx\)，内层的 \(\int \sin(x^2) dx\) 无法用初等函数表示，计算陷入死胡同。
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交换次序： 根据图形，将区域改写为外层对 \(x\) 积分：
\[ \iint_D \sin(x^2) dxdy = \int_0^{\sqrt{\pi/2}} dx \int_0^x \sin(x^2) dy = \int_0^{\sqrt{\pi/2}} x \sin(x^2) dx \]此时内层积分产生了一个因子 \(x\)，恰好可以利用凑微分法计算外层积分。令 \(t = x^2\)：
\[ \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} \sin(t) dt = \frac{1}{2} \]
习题示例： 改变累次积分 \(\int_a^b dx \int_a^x f(x,y) dy\) 的次序。
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原积分区域表示为 \(D = \{(x,y): a \le y \le x, a \le x \le b\}\)。通过作图可知该区域为一个等腰直角三角形，顶点为 \((a,a), (b,a), (b,b)\)。
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若将其重新描述为先对 \(x\) 后对 \(y\) 的累次积分，区域不等式变为 \(D = \{(x,y): y \le x \le b, a \le y \le b\}\)。
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最终改变次序的结果为：\(\int_a^b dy \int_y^b f(x,y) dx\)。
3. 利用二重积分求解空间几何体体积
二重积分的几何意义即为“曲顶柱体的体积”。
例 3： 求抛物柱面 \(2y^2 = x\)，平面 \(\frac{x}{4} + \frac{y}{2} + \frac{z}{2} = 1\) 和平面 \(z=0\) 所围成的立体的体积。
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确定被积函数： 该立体是由平面封顶的曲顶柱体，顶部曲面方程可化为 \(z = 2 - y - \frac{x}{2}\)。
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确定积分底面区域： 积分区域 \(D\) 是在 \(xy\) 平面上，由直线 \(\frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 1\) (即 \(x = 4 - 2y\)) 和抛物线 \(x = 2y^2\) 投影围成的区域。联立边界方程 \(2y^2 = 4 - 2y\)，解得交点的纵坐标为 \(y = -2\) 或 \(y = 1\) (对应的横坐标分别为 \(x = 8\) 和 \(x = 2\))。
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所以底面区域为 Y 型区域：\(D = \{(x,y): 2y^2 \le x \le 4 - 2y, -2 \le y \le 1\}\)。
-
体积计算：
\[ V = \iint_D \left(2 - y - \frac{x}{2}\right) dxdy = \int_{-2}^1 dy \int_{2y^2}^{4-2y} \left(2 - y - \frac{x}{2}\right) dx = \dots = \frac{81}{10} \]
十五、 二重积分变量代换的经典应用
利用一般变量代换，可以将复杂的积分区域转化为简单的规则区域（如矩形），从而极大简化计算。
1. 线性变换实例
例： 计算 \(I = \iint_D e^{\frac{x-y}{x+y}} dxdy\)，其中 \(D\) 是由直线 \(x=0, y=0, x+y=1\) 围成的三角形区域。
-
作变换： 观察指数部分，引入参数 \(u, v\)，令 \(u = x-y\)，\(v = x+y\)。反解得：
\[ x = \frac{u+v}{2}, \quad y = \frac{v-u}{2} \] -
确定新区域 \(\Delta\)： 将边界条件代入，原区域 \(D\) 在 \(uv\) 平面上的原像为 \(\Delta = \{(u,v) \mid u+v \ge 0, v-u \ge 0, v \le 1\}\)。
-
计算雅可比行列式：
\[ \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{vmatrix} = \frac{1}{2} \] -
化为累次积分：
\[ I = \iint_\Delta e^{\frac{u}{v}} \cdot \frac{1}{2} dudv = \frac{1}{2} \int_0^1 dv \int_{-v}^v e^{\frac{u}{v}} du = \frac{1}{4}(e - e^{-1}) \]
2. 非线性变换实例
例： 设 \(D\) 由四条抛物线 \(y^2=px, y^2=qx, x^2=ay, x^2=by\) \((0 < p < q, 0 < a < b)\) 围成，计算 \(D\) 的面积 \(A\) 以及二重积分 \(\iint_D \frac{1}{xy} dxdy\)。
-
作变换： 提取曲线方程中的常数比例特征，令 \(u = \frac{y^2}{x}\)，\(v = \frac{x^2}{y}\)。反解得：
\[ x = u^{\frac{1}{3}}v^{\frac{2}{3}}, \quad y = u^{\frac{2}{3}}v^{\frac{1}{3}} \](注意此时隐含关系：\(xy = uv\))
-
确定新区域 \(\Delta\)： \(\Delta = \{(u,v) \mid p \le u \le q, a \le v \le b\}\)，原曲边区域变为一个标准闭矩形。
-
计算雅可比行列式：
\[ \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{1}{3}u^{-\frac{2}{3}}v^{\frac{2}{3}} & \frac{2}{3}u^{\frac{1}{3}}v^{-\frac{1}{3}} \\ \frac{2}{3}u^{-\frac{1}{3}}v^{\frac{1}{3}} & \frac{1}{3}u^{\frac{2}{3}}v^{-\frac{2}{3}} \end{vmatrix} = -\frac{1}{3} \] -
计算面积与积分：
-
面积：\(A = \iint_D dxdy = \iint_\Delta \left| -\frac{1}{3} \right| dudv = \frac{1}{3}(q-p)(b-a)\)
-
积分：\(\iint_D \frac{1}{xy} dxdy = \iint_\Delta \frac{1}{uv} \cdot \frac{1}{3} dudv = \frac{1}{3}(\ln q - \ln p)(\ln b - \ln a)\)
-
十六、 极坐标系下的二重积分
当积分区域是圆域、圆环域或其一部分，或者被积函数含有 \(x^2+y^2\) 的形式时，采用极坐标代换尤为简便。
1. 极坐标代换公式
极坐标变换 \(T\) 定义为：
其雅可比行列式为：
因此，面积微元转换关系为 \(dxdy = r drd\theta\)。
二重积分的极坐标形式：
(注：极坐标映射在原点 \((0,0)\) 处不单射，但原点构成的集合是零面积集，不影响可积性与积分值)。
2. 化为累次积分的常见区域类型
-
极点在区域 \(D\) 外部 (\(\theta\) 型区域)：
\[ \Delta = \{(r,\theta) \mid \alpha \le \theta \le \beta, r_1(\theta) \le r \le r_2(\theta)\} \]累次积分形式：\(\int_\alpha^\beta d\theta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r\cos\theta, r\sin\theta) r dr\)
-
极点在区域 \(D\) 内部： \(\theta\) 的范围是全空间 \(0 \le \theta \le 2\pi\)，径向范围 \(0 \le r \le r(\theta)\)。
-
极点在区域 \(D\) 边界上： \(\theta\) 的范围限定在某夹角 \([\alpha, \beta]\) 内，径向范围 \(0 \le r \le r(\theta)\)。
3. 计算实例：Viviani 体积问题
例： 求球体 \(x^2+y^2+z^2 \le R^2\) 被圆柱面 \(x^2+y^2 = Rx\) 所截下的立体（Viviani 体）的体积。
-
由对称性，只需求第一卦限内的体积，然后乘以 4。
-
在第一卦限，曲顶方程为 \(z = \sqrt{R^2-x^2-y^2}\)。
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底面投影区域 \(D = \{(x,y) \mid y \ge 0 \text{ 且 } x^2+y^2 \le Rx\}\)。
-
极坐标化： 边界方程化为 \(r^2 \le Rr\cos\theta \implies 0 \le r \le R\cos\theta\)。由于 \(y \ge 0, x \ge 0\)，角度范围 \(0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}\)。
-
体积公式：
\[ V = 4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_0^{R\cos\theta} \sqrt{R^2-r^2} \cdot r dr = \dots = \frac{4}{9} R^3 \left(\frac{3\pi}{2} - 2\right) \quad \text{(根据积分推导计算化简)} \]
十七、 极坐标变换的推广形式
1. 极点平移的极坐标变换
当积分区域是偏离原点的圆时，可将极点平移至圆心 \((x_0, y_0)\)：
平移不改变面积微元，此时雅可比行列式依然为 \(\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} = r\)。
例： 计算 \(\iint_D (x+y) dxdy\)，\(D\) 为圆周 \(x^2+y^2 = x+y\) 所围区域。
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方法一 (极点平移)： 圆心在 \((1/2, 1/2)\)，令 \(x = 1/2 + r\cos\theta, y = 1/2 + r\sin\theta\)。\(D\) 化为 \(0 \le r \le 1/\sqrt{2}, 0 \le \theta \le 2\pi\)。最终积分为 \(\frac{\pi}{2}\)。
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方法二 (直接极坐标化)： 令 \(x=r\cos\theta, y=r\sin\theta\)。边界化为 \(r \le \cos\theta + \sin\theta = \sqrt{2}\cos(\theta-\frac{\pi}{4})\)。由此确定角度域为 \(\theta \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]\)。结果同样可求。
2. 广义极坐标变换（针对椭圆域）
对于包含椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \le 1\) 形式的被积函数或积分区域，使用广义极坐标：
雅可比行列式计算：
例： 求曲线 \((\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2})^2 = \frac{xy}{c^2}\) \((a,b,c>0)\) 围成的图形面积。
-
由于图形对称性，总面积为第一象限面积的 2 倍。
-
代入广义极坐标：\(r^4 = \frac{ab}{c^2} r^2 \sin\theta\cos\theta \implies r^2 = \frac{ab}{c^2}\sin\theta\cos\theta\)。
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新区域 \(\Delta = \{(r,\theta) \mid 0 \le r \le \sqrt{\frac{ab}{c^2}\sin\theta\cos\theta}, 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}\}\)。
-
总面积 \(A = 2 \iint_D dxdy = 2 \iint_\Delta abr dr d\theta = 2ab \int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_0^{\sqrt{\dots}} r dr = \dots = \frac{a^2b^2}{2c^2}\)。
十八、 \(n\) 重积分与三重积分的引入
1. \(n\) 重积分的一般定义
将二重积分的概念向高维推广：
-
闭长方体体积： 设 \(\Omega = \{x=(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n \mid a_i \le x_i \le b_i, i=1,\dots,n\}\)，其体积定义为 \(V(\Omega) = \prod_{i=1}^n (b_i - a_i)\)。
-
积分定义： 对于定义在 \(\Omega\) 上的实值函数 \(f\)，作分割 \(P = \{\Omega_1, \dots, \Omega_k\}\)，取介点 \(\xi_i \in \Omega_i\)，构造黎曼和 \(\sum_{i=1}^k f(\xi_i) V(\Omega_i)\)。当分割的细度 \(||P|| \to 0\) 时，若极限存在，则称此极限为 \(n\) 重积分，记作：
\[ \int \dots \int_\Omega f(x_1, \dots, x_n) dx_1 \dots dx_n \quad \text{或简记为} \quad \int_\Omega f dV \]
2. 勒贝格 (Lebesgue) 可积性定理
若函数 \(f\) 在闭长方体 \(\Omega\) 上有界，则 \(f\) 在 \(\Omega\) 上可积的充要条件是：\(f\) 的所有间断点构成的集合是一个零体积集。
（由此推论：一个有界闭区域 \(\Omega\) 是“有体积的”（Jordan 可测），当且仅当其边界 \(\partial \Omega\) 是一个零体积集）。
十九、 三重积分的计算方法 (化为累次积分)
设 \(\Omega \subset \mathbb{R}^3\) 是有体积的闭区域，\(f: \Omega \to \mathbb{R}\) 有界且连续。计算三重积分的核心是将其投影或截面化，转化为二重积分与一元定积分的嵌套（累次积分）。
1. “先一后二”法 (投影法 / 柱体法)
适用于区域的顶部和底部容易用函数表示的情况（即 XY 型区域）。
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设区域 \(\Omega\) 在 \(xy\) 平面上的投影为二重积分区域 \(D\)。
-
对于 \(D\) 内的任意一点 \((x,y)\)，区域在 \(z\) 方向上的下界和上界分别为面 \(z = z_1(x,y)\) 和 \(z = z_2(x,y)\)。
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积分公式：
\[ \iiint_\Omega f(x,y,z) dV = \iint_D dxdy \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z) dz \](即：先关于 \(z\) 求一元积分，再在 \(xy\) 平面上求二重积分)。
2. “先二后一”法 (截面法 / 切片法)
适用于区域在某坐标轴方向的截面面积容易求解的情况。
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设区域 \(\Omega\) 在 \(z\) 轴上的垂直投影为区间 \([e, h]\)。
-
对于任意固定的 \(z \in [e, h]\)，用垂直于 \(z\) 轴的平面去截 \(\Omega\)，得到的截面区域为 \(D_z = \{(x,y) \mid (x,y,z) \in \Omega\}\)。
-
积分公式：
\[ \iiint_\Omega f(x,y,z) dV = \int_e^h dz \iint_{D_z} f(x,y,z) dxdy \](即：先在固定 \(z\) 高度的截面 \(D_z\) 上计算二重积分，最后沿 \(z\) 轴对累积量进行一元定积分)。
二十、 典型曲面与直角坐标系下的三重积分实例
1. 双曲抛物面 (马鞍面)
标准的双曲抛物面方程为 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = z\)。
值得注意的是，形式为 \(z = xy\) 的曲面也是双曲抛物面。
证明思路： 对 \(xy\) 坐标系进行旋转变换。令 \(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}\)。代入 \(z=xy\)，并取旋转角 \(\theta = \frac{\pi}{4}\)，化简可得 \(z = \frac{u^2}{(\sqrt{2})^2} - \frac{v^2}{(\sqrt{2})^2}\)，这正是标准双曲抛物面的形式。
2. 直角坐标系计算实例
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例 1（先一后二法）： 设一非均匀金属块占据由双曲抛物面 \(z=xy\)，平面 \(x+y=1\) 和 \(z=0\) 围成的区域 \(\Omega\)，其密度函数为 \(\rho(x,y,z) = xy\)，求其质量。
-
分析区域： 由 \(z \ge 0\) 及 \(z=xy\) 推知 \(xy \ge 0\)，结合 \(x+y=1\) 可知在第一象限，即 \(x \ge 0, y \ge 0\)。
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积分表达： \(\Omega = \{(x,y,z) \mid 0 \le z \le xy, 0 \le y \le 1-x, 0 \le x \le 1\}\)。
-
计算：
\[ M = \iiint_\Omega xy dxdydz = \int_0^1 dx \int_0^{1-x} dy \int_0^{xy} xy dz = \int_0^1 dx \int_0^{1-x} x^2y^2 dy = \frac{1}{180} \]
-
-
例 2（先二后一截面法）： 计算 \(I = \iiint_\Omega z^2 dxdydz\)，其中 \(\Omega\) 由锥面 \(z^2 = \frac{h^2}{R^2}(x^2+y^2)\) 与平面 \(z=h\) 围成。
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截面面积： 对于固定的 \(z \in [0,h]\)，截面 \(D_z\) 是满足 \(x^2+y^2 \le \frac{R^2}{h^2}z^2\) 的圆，其面积为 \(\sigma(D_z) = \pi \frac{R^2z^2}{h^2}\)。
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计算：
\[ I = \int_0^h dz \iint_{D_z} z^2 dxdy = \int_0^h z^2 \cdot \left( \pi \frac{R^2 z^2}{h^2} \right) dz = \frac{\pi R^2}{h^2} \int_0^h z^4 dz = \frac{\pi R^2 h^3}{5} \]
-
二十一、 \(n\) 重积分的变量代换一般公式
设 \(U \subset \mathbb{R}^n\) (\(n \ge 2\)) 是开集，映射 \(T\):
满足以下条件：
-
\(T\) 在 \(U\) 上是单射。
-
各坐标函数在 \(U\) 上存在连续的偏导数。
-
雅可比行列式处处不为零：\(\frac{\partial(y_1, \dots, y_n)}{\partial(x_1, \dots, x_n)} \neq 0, \forall \mathbf{x} \in U\)。
设 \(\Omega\) 是 \(U\) 内具有分片光滑边界的有界闭区域，\(f\) 是定义在 \(T(\Omega)\) 上的连续函数，则有变量代换公式：
二十二、 三重积分的柱坐标变换
当积分区域具有绕 \(z\) 轴的旋转对称性（如圆柱体、旋转抛物面、圆锥面等），常使用柱坐标变换。
1. 坐标变换与雅可比行列式
柱坐标变换 \(T\):
雅可比行列式计算：
因此，体积微元 \(dV = r dr d\theta dz\)。
坐标面的几何意义：
\(r = C\)：以 \(z\) 轴为中心轴的圆柱面。
\(\theta = C\)：过 \(z\) 轴的半平面。
\(z = C\)：垂直于 \(z\) 轴的平面。
2. 柱坐标计算实例
例： 求抛物面 \(z = 6 - x^2 - y^2\) 与锥面 \(z = \sqrt{x^2+y^2}\) 所围立体的体积。
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联立边界找投影： 在柱坐标下，曲面方程化为 \(z = 6-r^2\) 和 \(z=r\)。联立解得 \(r^2+r-6=0 \implies r=2\)。
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确定新区域： \(\Omega_1 = \{(r,\theta,z) \mid 0 \le \theta \le 2\pi, 0 \le r \le 2, r \le z \le 6-r^2\}\)。
-
计算体积：
\[ V = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^2 dr \int_r^{6-r^2} r dz = 2\pi \int_0^2 r(6-r^2-r) dr = \frac{32}{3}\pi \]
二十三、 三重积分的球坐标变换
当积分区域是球体、球壳、或者边界包含顶点在原点的圆锥面时，球坐标系最为简便。
1. 坐标变换与雅可比行列式
球坐标变换 \(T\) 定义了径向距离 \(r\)、天顶角 \(\varphi\) (与 \(z\) 轴正半轴的夹角) 和方位角 \(\theta\)：
雅可比行列式计算：
因此，体积微元 \(dV = r^2\sin\varphi dr d\varphi d\theta\)。
坐标面的几何意义：
\(r = C\)：以原点为球心的球面。
\(\varphi = C\)：顶点在原点，以 \(z\) 轴为对称轴的圆锥面。
\(\theta = C\)：过 \(z\) 轴的半平面。
2. 球坐标计算实例
例： 求由圆锥面 \(z \ge \sqrt{x^2+y^2}\cot\beta\) 和球面 \(x^2+y^2+(z-a)^2 \le a^2\) 确定的主体体积 (\(a>0, \beta \in (0, \frac{\pi}{2})\))。
-
转化边界：
-
球面化为：\(r^2 \le 2ar\cos\varphi \implies 0 \le r \le 2a\cos\varphi\)。
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锥面化为：\(r\cos\varphi \ge r\sin\varphi\cot\beta \implies \cot\varphi \ge \cot\beta \implies 0 \le \varphi \le \beta\)。
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-
积分：
\[ V = \iiint_{\Omega} r^2\sin\varphi dr d\varphi d\theta = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\beta d\varphi \int_0^{2a\cos\varphi} r^2\sin\varphi dr = \frac{4\pi a^3}{3}(1-\cos^4\beta) \]
3. 广义球坐标变换
用于处理椭球区域 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} \le 1\)。
代换公式：\(x = ar\sin\varphi\cos\theta, y = br\sin\varphi\sin\theta, z = cr\cos\varphi\)。
此时雅可比行列式为：\(\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\varphi,\theta)} = abc r^2\sin\varphi\)。