一、商空间的基本定义与代数结构

1. 核心概念：陪集 (Coset) 与商空间

设 \(V\) 是在数域 \(\mathbb{F}\) 上的一个线性空间，\(U\) 是 \(V\) 的一个子空间（记作 \(U \le V\)）。

陪集定义：对于任意向量 \(v \in V\)，集合 \(v + U = \{v + u \mid u \in U\}\) 称为 \(U\) 在 \(V\) 中的一个陪集。
商空间定义：所有这些陪集构成的集合称为 \(V\) 模 \(U\) 的商空间，记作 \(V/U\)。

\[ V/U = \{v + U \mid v \in V\} \]

2. 陪集的等价条件

两个陪集相等的充要条件是它们的代表元之差属于子空间 \(U\)：

\[ v_1 + U = v_2 + U \iff v_1 - v_2 \in U \]

(注：这说明陪集的代表元的选取不是唯一的，只要两个向量的“差”在 \(U\) 内，它们就代表同一个陪集。)

3. 商空间上的线性运算

为了使集合 \(V/U\) 本身也构成一个线性空间，我们需要在陪集之间定义加法和数乘运算：

加法：\((a + U) + (b + U) = (a + b) + U\)
数乘：\(\lambda(a + U) = \lambda a + U \quad (\forall \lambda \in \mathbb{F})\)

(注：商空间的零元素就是 \(0 + U = U\) 本身。)

二、自然映射及其性质

为了建立原空间 \(V\) 与商空间 \(V/U\) 之间的联系，我们引入自然映射。

1. 映射定义

定义映射 \(\pi : V \to V/U\)，其规则为：

\[ \pi(v) = v + U \]

即，将 \(V\) 中的任意向量投影到它所在的陪集上。

2. \(\pi\) 的线性性质证明

定理：自然映射 \(\pi\) 是一个线性映射。

证明：对于任意标量 \(\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{F}\) 和任意向量 \(v_1, v_2 \in V\)，有：

\[ \pi(\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2) = (\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2) + U \]

根据商空间的加法和数乘定义，可将其展开为：

\[ = (\lambda_1 v_1 + U) + (\lambda_2 v_2 + U) \]

\[ = \lambda_1(v_1 + U) + \lambda_2(v_2 + U) \]

\[ = \lambda_1\pi(v_1) + \lambda_2\pi(v_2) \]

故 \(\pi\) 保持了加法和数乘，是线性映射。

3. \(\pi\) 的核

定理：\(\ker \pi = U\)。

推导过程：映射 \(\pi\) 的核是指所有映射到商空间零元素（即 \(U\)）的原空间向量的集合。

\[ \ker \pi = \{v \in V \mid \pi(v) = U\} \]

\[ \ker \pi = \{v \in V \mid v + U = 0 + U\} \]

根据陪集的等价条件，\(v + U = 0 + U \iff v - 0 \in U \iff v \in U\)。

因此，\(\ker \pi = U\)。

三、商空间的维数公式

1. 维数公式推导 (基于秩-零化度定理)

已知自然映射 \(\pi : V \to V/U\) 是满射，因此它的像空间（值域）即为整个商空间：\(\text{range } \pi = V/U\)。

根据线性映射的秩-零化度定理：

\[ \dim V = \dim(\ker \pi) + \dim(\text{range } \pi) \]

代入已知条件 \(\ker \pi = U\) 和 \(\text{range } \pi = V/U\)，得到：

\[ \dim V = \dim U + \dim V/U \]

移项即可得到商空间的维度公式：

\[ \dim V/U = \dim V - \dim U \]

2. 维度公式的构造性证明 (寻找商空间的基)

除了定理推导，通过直接构造基也能证明上述维度公式。

第一步：基的扩充

设 \(\dim U = m\)，\(\dim V = m+n\)。

取 \(U\) 的一组基 \(u_1, \dots, u_m\)，将其扩充为整个空间 \(V\) 的一组基：\(u_1, \dots, u_m, u_{m+1}, \dots, u_{m+n}\)。

目标：证明扩充出来的向量对应的陪集 \(u_{m+1}+U, \dots, u_{m+n}+U\) 是商空间 \(V/U\) 的一组基。

第二步：证明“生成性”

对于商空间中的任意元素 \(v + U\)。因为 \(v \in V\)，它可以由 \(V\) 的基线性表出：

\[ v = \sum_{i=1}^{m+n} k_i u_i \]

代入陪集：

\[ v + U = \left( \sum_{i=1}^{m+n} k_i u_i \right) + U \]

\[ = \left( \sum_{i=1}^{m} k_i u_i + \sum_{i=m+1}^{m+n} k_i u_i \right) + U \]

因为 \(u_1, \dots, u_m\) 是 \(U\) 的基，所以前半部分的求和 \(\sum_{i=1}^{m} k_i u_i \in U\)，它在陪集加法中会被 \(U\) “吸收”掉（相当于加上了零元素）：

\[ v + U = \sum_{i=m+1}^{m+n} k_i u_i + U = \sum_{i=m+1}^{m+n} k_i (u_i + U) \]

这说明任意陪集都能由这 \(n\) 个陪集线性表出。

第三步：证明“线性无关”

令这 \(n\) 个陪集的线性组合为商空间的零元素 \(U\)：

\[ \sum_{i=m+1}^{m+n} k_i (u_i + U) = U \]

\[ \implies \left( \sum_{i=m+1}^{m+n} k_i u_i \right) + U = U \]

这意味着括号内的求和向量必定属于 \(U\)：

\[ \implies \sum_{i=m+1}^{m+n} k_i u_i \in U \]

既然它属于 \(U\)，它就可以被 \(U\) 的基 \(u_1, \dots, u_m\) 线性表出：

\[ \sum_{i=m+1}^{m+n} k_i u_i = -\sum_{i=1}^{m} k_i u_i \]

（此处引入负号是为了方便移项）。将等式右侧移到左侧：

\[ \sum_{i=1}^{m+n} k_i u_i = 0 \]

因为 \(u_1, \dots, u_{m+n}\) 是 \(V\) 的一组基，它们本身是线性无关的。这就要求上式中所有的系数必须全为 \(0\)：

\[ \forall i \in \{1, \dots, m+n\}, \quad k_i = 0 \]

既然所有的 \(k_i = 0\)，当然也有 \(k_{m+1} = \dots = k_{m+n} = 0\)。

这证明了 \(u_{m+1}+U, \dots, u_{m+n}+U\) 是线性无关的。

结论：这 \(n\) 个陪集既能生成商空间，又线性无关，因此它们是 \(V/U\) 的一组基。商空间的维度为 \(n\)，恰好等于 \(\dim V - \dim U\)。证毕。

四、线性映射与商空间：诱导映射 (第一同构定理)

1. 诱导映射 \(\tilde{T}\) 的定义

设 \(T \in \mathcal{L}(V, W)\) 是一从空间 \(V\) 到空间 \(W\) 的线性映射。用 \(\text{null } T\) 表示 \(T\) 的零空间（即核，\(\ker T\)）。

可以定义一个从商空间 \(V/\text{null } T\) 到 \(W\) 的新映射，记为 \(\tilde{T}\)：

\[ \tilde{T}: V/\text{null } T \to W \]

其作用规则定义为：

\[ \tilde{T}(v + \text{null } T) = Tv \]

2. \(\tilde{T}\) 的映射良定义性

因为商空间中的同一个陪集可以有无数种不同的代表元表达形式（例如 \(v_1 + U = v_2 + U\)），在定义映射时，必须证明：无论选取哪个代表元，映射的结果必须唯一。

证明：

假设 \(v_1 + \text{null } T = v_2 + \text{null } T\) （即它们代表同一个陪集）。

根据陪集相等的等价条件：

\[ v_1 - v_2 \in \text{null } T \]

根据零空间的定义，任何属于零空间的向量，经过 \(T\) 映射后都等于零向量：

\[ T(v_1 - v_2) = 0 \]

利用 \(T\) 的线性性质展开：

\[ T(v_1) - T(v_2) = 0 \implies T(v_1) = T(v_2) \]

因此，\(\tilde{T}(v_1 + \text{null } T)\) 和 \(\tilde{T}(v_2 + \text{null } T)\) 的结果是完全相等的，证明了 \(\tilde{T}\) 是良定义的。

3. \(\tilde{T}\) 的线性性质证明

我们要证明 \(\tilde{T}\) 保持加法和数乘。对于任意标量 \(\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{F}\) 和商空间中的元素：

\[ \tilde{T} \left( (\lambda_1 v_1 + \text{null } T) + (\lambda_2 v_2 + \text{null } T) \right) \]

根据商空间的线性运算规则合并：

\[ = \tilde{T} \left( (\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2) + \text{null } T \right) \]

应用 \(\tilde{T}\) 的定义法则：

\[ = T(\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2) \]

利用原映射 \(T\) 的线性性质：

\[ = \lambda_1 T(v_1) + \lambda_2 T(v_2) \]

最后，再次转换回 \(\tilde{T}\) 的表达形式：

\[ = \lambda_1 \tilde{T}(v_1 + \text{null } T) + \lambda_2 \tilde{T}(v_2 + \text{null } T) \]

这严格证明了 \(\tilde{T}\) 是一个线性映射。

4. \(\tilde{T}\) 的核与单射性

定理：诱导映射 \(\tilde{T}\) 是一个单射（核只包含零元）。

证明：要找出所有映射到 \(W\) 中零向量的陪集。

对 \(\forall (v + \text{null } T) \in \text{null } \tilde{T}\)，有：

\[ \tilde{T}(v + \text{null } T) = 0 \]

根据定义，这等效于 \(T(v) = 0\)。

既然 \(T(v) = 0\)，那么 \(v\) 必定属于 \(\text{null } T\)。

如果代表元 \(v \in \text{null } T\)，那么它生成的陪集就是零元素的陪集：

\[ v + \text{null } T = 0 + \text{null } T \]

所以，\(\text{null } \tilde{T} = \{0 + \text{null } T\}\)。核中只有零元，证明了 \(\tilde{T}\) 必然是单射。

5. \(\tilde{T}\) 的值域与第一同构定理

定理：\(\text{range } \tilde{T} = \text{range } T\)。

推导：

根据定义，\(\tilde{T}\) 的值域为所有可能的像：

\[ \text{range } \tilde{T} = \{ \tilde{T}(v + \text{null } T) \mid v \in V \} = \{ T(v) \mid v \in V \} = \text{range } T \]

核心结论：线性代数第一同构定理

综上所述，如果我们把 \(\tilde{T}\) 的目标空间限制为它的值域 \(\text{range } T\)，那么 \(\tilde{T}\) 既是满射也是单射。

因此，\(\tilde{T}\) 构成了一个双射（即线性同构）。商空间与像空间是同构的，记作：

\[ V/\text{null } T \cong \text{range } T \]

**维度推论：

既然两个空间同构，它们的维数必然相等：

\[ \dim(\text{range } T) = \dim(V/\text{null } T) \]

\[ \dim(\text{range } T) = \dim V - \dim(\text{null } T) \]

移项，就得到了从商空间视角推导出的秩-零化度定理：

\[ \dim V = \dim(\text{null } T) + \dim(\text{range } T) \]

一、 商空间的基本定义与代数结构