02_子空间、向量空间的和、积与商
一、 子空间与和空间
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子空间判定：非空集合 \(U \le V\) 的充要条件是：\(0 \in U\)，且对线性组合封闭（即 \(\forall u, v \in U, \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F} \implies \alpha u + \beta v \in U\)）。
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和空间定义：\(U_1 + \dots + U_m \triangleq \{u_1 + \dots + u_m \mid u_i \in U_i\}\)。该空间等于这些子空间并集的张成空间 \(L(\bigcup_{i=1}^m U_i)\)。
二、 直和及其等价条件
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直和定义：若和空间中的任意向量 \(w\) 都有唯一的分解式 \(w = u_1 + \dots + u_m\)，则称该和为直和，记作 \(\oplus\)。
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等价判定定理（互为充要条件）：
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和空间为直和（\(U_1 \oplus \dots \oplus U_m\)）。
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零向量表示法唯一：\(0 = w_1 + \dots + w_m \implies w_1 = w_2 = \dots = w_m = 0\)。
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交集为零：任意子空间与其外其余子空间之和的交集均为 \(\{0\}\)。
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维数可加：\(\dim(U_1 + \dots + U_m) = \sum_{i=1}^m \dim(U_i)\)（限有限维空间）。
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基的并集为基：各子空间的基合并后，构成和空间的基。
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三、 积空间与自然映射
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积空间定义与运算：由笛卡尔积 \(V_1 \times \dots \times V_m\) 构成，内部的加法与数乘按对应分量进行运算。
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维数公式：\(\dim(V_1 \times \dots \times V_m) = \sum_{i=1}^m \dim V_i\)。
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积空间内部结构：积空间可视为各子空间自然嵌入后的直和。
- 注：有限维时直积与直和同构；当包含无限多个空间时，直积（允许无限非零分量）与直和（仅限有限非零分量）不等价。
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自然映射：定义映射 \(T: U_1 \times \dots \times U_m \to U_1 + \dots + U_m\)，规则为 \(T(u_1, \dots, u_m) = u_1 + \dots + u_m\)。
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映射 \(T\) 必然是线性映射且为满射。
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单射等价性：\(T\) 为单射 \(\iff\) 目标和空间是直和。
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四、 线性映射与商空间
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线性方程组结构的映射解释：对于映射 \(\sigma(X) = AX\)：
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像空间 \(\text{Im}(\sigma)\) 即列空间；核空间 \(\ker(\sigma)\) 即齐次方程组的解空间。
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非齐次方程的通解表现为陪集形式：\(\sigma^{-1}(\beta) = \alpha_0 + \ker(\sigma)\)。
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商空间