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第一次小测复习：知识主线与题型归纳

知识点之间的联系

随机变量将试验结果表示为数值，分布描述其取值概率；联合分布进一步描述多个变量之间的关系。

层次 描述对象 计算方法
事件（event） \(A\)、\(AB\)、\(A\cup B\) 集合分解、计数、度量比
一维分布（distribution） \(\{X\in I\}\) 离散求和、CDF 差值、密度积分
二维分布（joint distribution） \(\{(X,Y)\in D\}\) 对格子求和、对区域积分
边际（marginal） 只保留一个变量 把另一变量求和／积分消去
条件（conditional） 已知事件或变量信息 限制到有效部分，再归一化

常用处理方法：

  • 将事件分成互斥的部分，分别求概率后相加；按来源分类就是全概率公式。
  • 给定条件后，用交集概率除以条件事件的概率；由观测反推来源时用贝叶斯公式。
  • 把 \(\{g(X)\le y\}\) 改写成关于 \(X\) 的事件，或把文字条件改成积分区域。

公式与适用条件

1．事件运算、计数与独立性

文字 事件
至少一个／全部 \(\bigcup_iA_i\)／\(\bigcap_iA_i\)
全部不／至少一个不 \((\bigcup_iA_i)^c\)／\((\bigcap_iA_i)^c\)
恰有一个（两事件） \(AB^c\cup A^cB\)

概率公理：非负、\(P(S)=1\)、可列个两两互斥事件的概率可相加。常用推论：

\[ \begin{aligned} P(A^c)&=1-P(A),\qquad P(A-B)=P(A)-P(AB),\\ P(A\cup B)&=P(A)+P(B)-P(AB). \end{aligned} \]

三事件容斥：单项加、两两交减、三重交再加。\(A\subseteq B\) 推出 \(P(A)\le P(B)\)；概率 0／1 不等于空集／全集。

模型 公式与条件
古典概型 \(P(A)=\lvert A\rvert/\lvert S\rvert\)；有限且等可能，分子分母统一计数
不放回，有序／无序取 \(k\) 个 \(n!/(n-k)!\)／\(\binom nk\)
独立均匀放回取 \(k\) 次 \(n^k\) 个有序结果；无序结果通常不等可能
几何概型 \(P(A)=m(A\cap S)/m(S)\)；均匀且 \(0<m(S)<\infty\)
短针投针 线距 \(a\)、针长 \(b<a\)：\(P(\text{相交})=2b/(a\pi)\)
生日／无人配对 \(1-\prod_{j=0}^{n-1}(1-j/365)\)（\(n\le365\)）／\(\sum_{k=0}^n(-1)^k/k!\)

独立（independence）用 \(P(AB)=P(A)P(B)\) 判断；互斥（mutually exclusive）用 \(AB=\varnothing\) 判断。正概率事件不能同时互斥又独立。

  • 相互独立要求所有子组满足乘法式；两两独立不够。取补仍保持独立。
  • 独立重复 \(n\) 次、单次成功率 \(p\)：至少一次成功为 \(1-(1-p)^n\)。
  • 独立元件串联可靠性为 \(\prod_ip_i\)，并联为 \(1-\prod_i(1-p_i)\)；复杂系统按关键元件状态分类。

2．条件概率、全概率与贝叶斯

\[ \begin{aligned} P(A\mid B)&=\frac{P(AB)}{P(B)},\qquad P(B)>0,\\ P(ABC)&=P(A)P(B\mid A)P(C\mid AB),\\ P(E)&=\sum_iP(H_i)P(E\mid H_i),\\ P(H_i\mid E)&=\frac{P(H_i)P(E\mid H_i)}{\sum_jP(H_j)P(E\mid H_j)}. \end{aligned} \]

\(H_i\) 须构成互斥且穷尽的划分；略去零概率项，后验另要求 \(P(E)>0\)。

求共同发生的概率用乘法公式，分类求总概率用全概率公式，已知结果反推来源用贝叶斯公式。链式乘法须保留前面所有条件；同一条件下仍可用补事件和容斥公式。

3．一维分布

二项、几何、负二项均以独立、同成功率的伯努利试验为基础；几何与负二项取 \(0<p<1\)，负二项的 \(r\) 为正整数。

分布 适用情形 PMF／取值
伯努利（Bernoulli） 一次是否成功 \(P(X=1)=p,\ P(X=0)=1-p\)
二项（Binomial） 固定 \(n\) 次、独立、同成功率，数成功次数 \(\binom nkp^k(1-p)^{n-k}\)，\(k=0,\ldots,n\)
泊松（Poisson） 给定泊松模型，数固定时空窗口内的事件次数 \(e^{-\lambda}\lambda^k/k!\)，\(k=0,1,\ldots\)；速率 \(\nu\)、时长 \(t\) 时 \(\lambda=\nu t\)
几何（Geometric） 首次成功的总试验次数 \((1-p)^{k-1}p\)，\(k\ge1\)
负二项（Negative binomial） 第 \(r\) 次成功的总试验次数 \(\binom{k-1}{r-1}p^r(1-p)^{k-r}\)，\(k\ge r\)
超几何（Hypergeometric） \(a\) 成功、\(b\) 失败对象中无放回取 \(n\le a+b\) 个，数成功数 \(\binom ak\binom b{n-k}/\binom{a+b}n\)，\(\max(0,n-b)\le k\le\min(a,n)\)

二项可在 \(n\) 大、\(p\) 小时用 \(\operatorname{Pois}(np)\) 近似。有最大试验次数时，最后一项常合并所有尚未停止的路径，不能照搬无限等待分布。

分布律、CDF 与区间概率：

\[ F(x)=P(X\le x),\quad P(X=a)=F(a)-F(a-),\quad P(a<X\le b)=F(b)-F(a). \]

端点规则：右端不含点用 \(F(b-)\)，左端含点减 \(F(a-)\)；连续型端点不影响概率。

CDF 单调不减、右连续，在负、正无穷远的极限为 0、1。离散型：\(F(x)=\sum_{x_k\le x}p_k\)；连续型：\(F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)\,dt\)，密度连续处 \(F'=f\)。

连续分布 常用公式
均匀 \(U(a,b)\) 支撑内 \(f=1/(b-a)\)，概率为相交区间长度比
指数 \(\operatorname{Exp}(\lambda)\) \(f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\)（\(x>0\)），\(P(X>t)=e^{-\lambda t}\)（\(t\ge0\)）
正态 \(N(\mu,\sigma^2)\) \(Z=(X-\mu)/\sigma\sim N(0,1)\)，\(F_X(x)=\Phi((x-\mu)/\sigma)\)

指数与几何有无记忆性；指数用速率参数（rate） \(\lambda\)，不是尺度 \(1/\lambda\)。正态利用 \(\Phi(-z)=1-\Phi(z)\)；反求参数时，把概率改写成分位数方程。

密度可大于 1，点概率为 0；CDF 连续不必有密度。混合型须同时计入连续部分和 CDF 的跳跃。

4．随机变量函数的分布

\[ F_Y(y)=P(g(X)\le y). \]
  • 离散型：把映到同一值的概率相加。
  • \(X\) 有密度，且 \(g\) 单调、连续可微、导数不为零：\(f_Y(y)=f_X(h(y))|h'(y)|\)，\(h=g^{-1}\)。
  • 多分支：只计原支撑内的有效反解；反解数量改变处须分段。
  • \(X\) 有密度时，绝对值变换为 \(f_{|X|}(y)=f_X(y)+f_X(-y)\)（\(y>0\)），平方变换为 \(f_{X^2}(z)=[f_X(\sqrt z)+f_X(-\sqrt z)]/(2\sqrt z)\)（\(z>0\)）。
  • \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\) 时，\(aX+b\sim N(a\mu+b,a^2\sigma^2)\)（\(a\ne0\)）。
  • CDF 连续时，概率积分变换（probability integral transform）给出 \(F_X(X)\sim U(0,1)\)。

5．二维分布

所求 离散型 连续型
联合 \(p_{ij}=P(X=x_i,Y=y_j)\) \(f(x,y)\)；非负且全平面积分为 1
边际 \(p_{i\cdot}=\sum_jp_{ij}\) \(f_X(x)=\int f(x,y)\,dy\)
条件 \(P(X=x_i\mid Y=y_j)=p_{ij}/p_{\cdot j}\) \(f_{X\mid Y}(x\mid y)=f(x,y)/f_Y(y)\)
由条件分布求联合 边际 PMF × 条件 PMF 边际 PDF × 条件 PDF
独立 所有格均满足 \(p_{ij}=p_{i\cdot}p_{\cdot j}\) \(f=f_Xf_Y\) 几乎处处，包含支撑条件

条件分母须为正。连续单值条件使用密度比或邻域极限，不能除以 \(P(Y=y)=0\)。

联合 CDF 为 \(F(x,y)=P(X\le x,Y\le y)\)；离散时累加左下各格，连续时积分左下区域；令另一坐标趋于 \(+\infty\) 得边际 CDF。右闭矩形概率用四角公式：

\[ \begin{aligned} &P(x_1<X\le x_2,y_1<Y\le y_2)\\ &\quad=F(x_2,y_2)-F(x_1,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1). \end{aligned} \]

区域概率题先画支撑区域，再与所求事件相交，按截线确定积分限，必要时分段。二维均匀分布可用面积比；边际一般不均匀，矩形支撑也不保证独立。

二维正态的边际仍正态；\(|\rho|<1\) 时

\[ Y\mid X=x\sim N\left( \mu_2+\rho\frac{\sigma_2}{\sigma_1}(x-\mu_1), \sigma_2^2(1-\rho^2)\right). \]

交换下标得 \(X\mid Y=y\)。联合二维正态中，独立当且仅当 \(\rho=0\)；仅边际正态不够。

习题分类

“一／二／三”表示教材习题章，题号链接到对应解析。

考点 题号 解题方法
事件关系、有限计数 一 A4、一 B1、一 B2、一 A10、一 A12、一 A14、一 A15 先写事件；计数前明确放回、顺序和可区分对象。求指定车辆配对，不等于求全体错排
来源混合、观察后更新 一 A20、一 A22、一 B6、一 B10 来源作划分；先算来源与观测的联合概率，再求后验。转球改变组成；已观察会改变组别权重
可靠性、共同环境 一 B7、一 B8、二 B24 区分相互独立与条件独立；共同天气或电压下先条件计算，再平均
列分布律、停止规则 二 A1、二 A2、二 B2、二 B7 枚举取值及其对应路径；检查最大次数的末项、不同成功率、归一性
计数模型与分层模型 二 B12、三 A10、三 B2 先定计数窗口或总次数；给定次数后用二项分类，再求联合与边际
CDF、参数与表格补全 二 A8、二 B16、二 B17、二 B18、三 A6、三 A12 用归一性、CDF 连续性或跳跃量、行列和、条件概率联立；区间概率注意端点
均匀、正态、指数混合 二 A12、二 B27、二 B29 先解事件不等式／识别标准分布；先标准化或统一单位，混合寿命用生存概率比
函数映射与多分支 二 B32、二 B33、二 B36、二 B39 先求输出范围；相同输出合并，反解与原支撑相交后再求和／积分
同一试验导出的两个变量 三 A9 回到两次骰子的 36 个等可能结果；对角线与非对角线分别计数
二维支撑、边际与条件密度 三 A18、三 A20、三 B4、三 B5 固定一个变量看截线；限制改变处即分段点，条件密度须重新归一化
点质量与连续质量并存 三 B3 CDF = 已覆盖的原子概率 + 连续区域积分；仅求导会漏掉点质量

几类题目的共同方法

共同条件与独立性

一 B6 更新组别、一 B8 共用天气、二 B24 共用电压、二 B29 混合厂别，都涉及来源或环境对概率的影响。

给定来源 \(H_i\) 后，两次事件独立且成功率同为 \(p_i\)，权重为 \(w_i\)，则

\[ P(E_1E_2)=\sum_iw_ip_i^2,\qquad P(E_1)P(E_2)=\left(\sum_iw_ip_i\right)^2. \]

两者一般不等。有共同来源时，应先按来源分类计算；得到观测结果后，后续计算使用更新后的来源概率。

重复观察中的二项分布

二 B17 先积分求单次事件概率 \(q\)，再用 \(N\sim B(5,q)\)；一 B7 先求系统可靠性 \(\alpha\)，再把三次观察看作 \(B(3,\alpha)\)。

这里统计的是某事件在独立重复观察中发生的次数。原变量即使连续，这个次数仍可服从二项分布。

分段位置的确定

题目 分段原因
二 B33 \(z=1\) 后负反解离开原支撑，两个分支变一个
二 B36 余弦的第二个反解是否落在输入区间内随 \(y\) 改变
三 B5 \(y=3\) 时水平积分上限从 \(y-1\) 变为 2
三 A20 固定 \(y\) 后只能取 \(y^2<x<1\)，条件范围随 \(y\) 变动

容易混淆的概念

  • 条件与交集：\(P(A\mid B)\) 已归一化，\(P(AB)\) 没有；条件一般不可交换。
  • 放回与不放回：独立放回抽样的成功数用二项分布，无放回抽样用超几何分布。
  • 总寿命与剩余寿命：已用四个月、用到一年，还需八个月；先把文字写成阈值事件。
  • 固定值与范围：\(Y=y\) 取条件截线；\(Y>y\) 对区域求条件概率。
  • 概率与密度：离散型须检查端点是否计入；密度值不是点概率；混合型须同时计算点质量与连续部分。
  • 独立与边际：由联合可求边际，仅有边际不能默认独立或还原联合。

答题检查

先定义事件或随机变量，写出所求事件及取值范围，说明模型条件，再列式计算。

计算后检查：概率在 \([0,1]\)；PMF 和／PDF 积分为 1；CDF 右连续且两端为 0、1；条件分布单独归一化。英文关键词：given（条件）、exactly（恰有）、at least（至少）、at most（至多）、without replacement（无放回）。

详细定义、推导与全部题解见课程目录。