一、 子空间、直和与积空间
1. 子空间
1.1 子空间的定义
设 \(V\) 是域 \(\mathbb{F}\) 上的线性空间（向量空间）。如果存在一个非空子集 \(0 \neq U \subseteq V\)，且 \(U\) 关于 \(V\) 中的加法和数乘运算本身也构成一个线性空间，则称 \(U\) 是 \(V\) 的子空间，记作 \(U \le V\)。
1.2 子空间的判定定理
要判断一个子集 \(U\) 是否为子空间，不需要验证线性空间的全部 8 条公理，只需验证以下三个条件：
\(U \le V \iff\)
-
零向量存在：\(0 \in U\)
-
加法封闭：\(\forall u, v \in U \implies u + v \in U\)
-
数乘封闭：\(\forall u \in U, \forall \lambda \in \mathbb{F} \implies \lambda u \in U\)
(注：条件 2 和 3 可以合并为一个条件，即线性组合封闭：\(\forall u, v \in U, \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F} \implies \alpha u + \beta v \in U\))
2. 子空间的和与直和
2.1 子空间的和
定义：设 \(U_1, U_2, \dots, U_m\) 是 \(V\) 的子空间。它们的和定义为所有可能的元素之和的集合：
2.2 定理：和空间与张成空间的关系
定理：子空间的和等于这些子空间的并集的张成空间，即：
证明：
证明 \(U_1 + \dots + U_m \subseteq L(\bigcup_{i=1}^m U_i)\)：
对于和空间中的任意元素 \(w = u_1 + u_2 + \dots + u_m\)（其中 \(u_i \in U_i\)）。因为 \(u_i \in U_i \subseteq \bigcup_{i=1}^m U_i\)，所以 \(w\) 是并集中元素的线性组合，必然属于 \(L(\bigcup_{i=1}^m U_i)\)。
证明 \(L(\bigcup_{i=1}^m U_i) \subseteq U_1 + \dots + U_m\)：
设 \(\alpha \in L(\bigcup_{i=1}^m U_i)\)，则 \(\alpha\) 是并集中有限个元素的线性组合：
\[\alpha = \lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2 + \dots + \lambda_n \alpha_n\]其中 \(\alpha_k \in \bigcup_{i=1}^m U_i\)。这意味着每个 \(\alpha_k\) 必然属于某个 \(U_{j_k}\)。
因为每个 \(U_j\) 都是子空间，满足数乘封闭，所以 \(\lambda_k \alpha_k \in U_{j_k}\)。
利用加法交换律和结合律，将属于同一个子空间 \(U_i\) 的项归类并相加（加法封闭性），最终可以写成：
\[\alpha = w_1 + w_2 + \dots + w_m, \quad (w_i \in U_i)\]因此 \(\alpha \in U_1 + \dots + U_m\)。得证。
2.3 直和的等价判定定理
定义：如果和空间 \(W = U_1 + \dots + U_m\) 中的每一个向量 \(w\) 都能唯一地表示为 \(w = u_1 + \dots + u_m\)（其中 \(u_i \in U_i\)），则称该和为直和，记作 \(U_1 \oplus U_2 \oplus \dots \oplus U_m\)。
定理：设 \(U_i\) 为 \(V\) 的子空间，则下列 5 个论述等价：
① \(U_1 + \dots + U_m = U_1 \oplus \dots \oplus U_m\)（即和为直和）。
② 零向量表示法唯一：若 \(0 = w_1 + \dots + w_m\) (\(w_i \in U_i\))，则必然有 \(w_1 = w_2 = \dots = w_m = 0\)。
③ 任意一个子空间与其余子空间之和的交集为零：\(1 \le i \le m, U_i \cap (U_1 + \dots + U_{i-1} + U_{i+1} + \dots + U_m) = \{0\}\)。
④ 若各子空间有限维，则维数相加：\(\dim(U_1 + \dots + U_m) = \sum_{i=1}^m \dim(U_i)\)。
⑤ 若 \(\{\alpha_{ij} \mid j \in I_i\}\) 是 \(U_i\) 的基，则这些基的并集 \(\bigcup_{i=1}^m \{\alpha_{ij}\}\) 是和空间 \(U_1 + \dots + U_m\) 的基。
详细证明过程：
① \(\implies\) ②：
因为 \(0 = 0 + 0 + \dots + 0\) (\(0 \in U_i\)) 是一种表示法，而直和定义①要求表示法唯一，所以若 \(0 = w_1 + \dots + w_m\)，必须有 \(w_i = 0\)。
② \(\implies\) ①：
假设向量 \(v\) 有两种表示法：\(v = w_1 + \dots + w_m = w_1' + \dots + w_m'\)。
两式相减得到：\(0 = (w_1 - w_1') + (w_2 - w_2') + \dots + (w_m - w_m')\)。
因为 \(U_i\) 是子空间，\((w_i - w_i') \in U_i\)。根据条件②，每一项必须为 0，即 \(w_i - w_i' = 0 \implies w_i = w_i'\)。表示法唯一，故为直和。
② \(\implies\) ③：
设向量 \(x \in U_i \cap (\sum_{j \neq i} U_j)\)。则 \(x \in U_i\)，且 \(x\) 也可以表示为 \(x = \sum_{j \neq i} u_j\) (\(u_j \in U_j\))。
移项得：\(0 = u_1 + \dots + u_{i-1} + (-x) + u_{i+1} + \dots + u_m\)。
这是一个等于零的式子，且各项分别属于对应的 \(U_k\)。由条件②可知，每一项都必须是 0，因此 \(-x = 0 \implies x = 0\)。所以交集仅为 \(\{0\}\)。
③ \(\implies\) ②：
若 \(0 = w_1 + \dots + w_m\)。对任意 \(i\)，可移项得 \(-w_i = \sum_{j \neq i} w_j\)。
左边属于 \(U_i\)，右边属于 \(\sum_{j \neq i} U_j\)。因此 \(-w_i\) 属于它们的交集。
由条件③，交集为 \(\{0\}\)，故 \(-w_i = 0 \implies w_i = 0\)。
①,②,③ \(\iff\) ④ (维数关系)：
对于两个子空间的情况，由维数公式 \(\dim(U_1 + U_2) = \dim(U_1) + \dim(U_2) - \dim(U_1 \cap U_2)\) 可知，只有当 \(\dim(U_1 \cap U_2) = 0\)（即交集为 \(\{0\}\)，满足条件③）时，才有 \(\dim(U_1 + U_2) = \dim(U_1) + \dim(U_2)\)。推广到 \(m\) 个子空间同理。
①,②,③ \(\iff\) ⑤ (基的并集)：
和空间的张成性质保证了 \(\bigcup\{\alpha_{ij}\}\) 能够张成 \(U_1 + \dots + U_m\)。条件②（零向量唯一表示）刚好等价于集合 \(\bigcup\{\alpha_{ij}\}\) 中的所有向量是线性无关的。既然既张成空间又线性无关，它就是和空间的基。
【例】
设 \(V = \mathscr{P}(\mathbb{R})\) 为所有实系数多项式构成的空间。
设 \(U_1 = x\mathbb{R}[x]\) （所有没有常数项的多项式子空间，即含有因式 \(x\) 的多项式）。
设 \(U_2 = \mathbb{R}[x]_2\) （所有次数 \(< 2\) 的多项式子空间，即形式为 \(a + bx\) 的多项式）。
-
维数分析：
\(\dim(U_1) = \infty\)
\(\dim(U_2) = 2\) （基为 \(1, x\)）
\(\dim(U_1) + \dim(U_2) = \infty = \dim(\mathscr{P}(\mathbb{R}))\)。
-
是否为直和？
考察交集 \(U_1 \cap U_2\)。既属于 \(U_1\) (无常数项) 又属于 \(U_2\) (次数小于2) 的多项式，形式为 \(ax\) (\(a \in \mathbb{R}\))。
显然，\(U_1 \cap U_2 = \{ax \mid a \in \mathbb{R}\} \neq \{0\}\)。
由于交集不为 \(\{0\}\)，根据上述定理的条件③，它们的和不是直和。
3. 向量空间的积
3.1 积空间的定义
设 \(V_1, V_2, \dots, V_m\) 是域 \(\mathbb{F}\) 上的线性空间。它们的笛卡尔积 定义为：
相等条件：两个元素相等 \((v_1, \dots, v_m) = (u_1, \dots, u_m)\) 当且仅当对于所有 \(1 \le i \le m\)，都有 \(v_i = u_i\)。
3.2 积空间上的线性运算
在集合 \(V_1 \times \dots \times V_m\) 上定义以下运算，使其构成 \(\mathbb{F}\) 上的向量空间（称为积空间）：
-
加法 (对应分量相加)：
\[ (v_1, \dots, v_m) + (u_1, \dots, u_m) = (v_1 + u_1, v_2 + u_2, \dots, v_m + u_m) \] -
数乘 (各分量同乘)：
\[ \lambda (v_1, \dots, v_m) \triangleq (\lambda v_1, \lambda v_2, \dots, \lambda v_m) \] -
零向量：\((0_{V_1}, 0_{V_2}, \dots, 0_{V_m})\)。
【例】
-
欧几里得空间的积：
\(\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^3 = \{((x_1, x_2), (y_1, y_2, y_3)) \mid x_i, y_j \in \mathbb{R}\}\)
这个空间自然地同构于 \(\mathbb{R}^5\)：
\(\mathbb{R}^5 = \{(z_1, z_2, z_3, z_4, z_5) \mid z_i \in \mathbb{R}\}\)
-
不同类型空间的积：
设 \(\mathscr{P}(\mathbb{R})_2\) 为次数 \(< 2\) 的多项式空间，\(M_{2 \times 2}(\mathbb{R})\) 为 \(2 \times 2\) 实矩阵空间。
它们的积空间元素形式为：
\[ \mathscr{P}(\mathbb{R})_2 \times M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) = \left\{ \left( a+bx, \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \right) \mid a, b, a_{ij} \in \mathbb{R} \right\} \]
二、 积空间映射、线性方程组与商空间
1. 积空间的维数与自然同构
1.1 积空间的维数公式
定理：设 \(V_1, V_2, \dots, V_m\) 是有限维线性空间，则它们的积空间维数等于各空间维数之和：
构造性证明（基底法）：
设集合 \(\{\alpha_{ij} \mid j \in I_i\}\) （表示 “空间 \(V_i\) 的第 \(j\) 个基向量”。这里的 \(I_i\) 只是一个索引集，也就是 \(j\) 的取值范围 \(\{1, 2, \dots, n_i\}\)）是空间 \(V_i\) 的一组基。
在积空间中构造如下形式的向量：
\[\beta_{ij} = (0, \dots, 0, \underbrace{\alpha_{ij}}_{\text{第 } i \text{ 个位置}}, 0, \dots, 0)\]可以证明，所有这些 \(\beta_{ij}\) 的集合 \(\bigcup_{i=1}^m \{\beta_{ij}\}\) 构成了积空间 \(V_1 \times \dots \times V_m\) 的一组基。由于基向量的总数是各空间基向量数量之和，因此维数相加公式成立。
1.2 积空间内部的直和结构
可以将每个 \(V_i\) 自然地“嵌入”到积空间中。
令 \(U_i = \{(0, \dots, 0, u, 0, \dots, 0) \mid u \in V_i\} \le V_1 \times \dots \times V_m\)。
显然，\(U_i \cong V_i\)（同构），且 \(\dim U_i = \dim V_i\)。
积空间可以表示为这些子空间的直和：
直和证明：若 \((0, \dots, 0) = u_1' + u_2' + \dots + u_m'\) （其中 \(u_i' \in U_i\)），因为各分量独立，必须有 \(u_i' = (0,\dots,0,u_i,0,\dots,0) = \mathbf{0}\)，即 \(u_i = 0\)。零向量表示法唯一，故为直和。
注（无限维的差异）：
“有限维同构，无限不同构”。当有无限多个空间进行积运算时，直积（允许无限个非零分量） 与 直和（要求只有有限个非零分量） 是不等价的。例如 \(\mathbb{R}[x]\) 类似于无限制的直和，而包含无穷级数的空间则类似于直积。
2. 映射与直和的等价条件
2.1 从积空间到和空间的自然映射
定理：设 \(U_1, \dots, U_m\) 是 \(V\) 的子空间。定义映射 \(T\):
性质 1：\(T\) 显然是一个线性映射。
\(T( (u_1,\dots) + (w_1,\dots) ) = T(u_1+w_1, \dots) = (u_1+w_1) + \dots = T(u_1,\dots) + T(w_1,\dots)\)。
性质 2：\(T\) 显然是一个满射，因为和空间中的任何元素根据定义都可以写成 \(u_1 + \dots + u_m\) 的形式，这正是映射 \(T\) 的像。
2.2 定理：单射与直和的等价性
定理：\(T\) 是单射 \(\iff U_1 + U_2 + \dots + U_m\) 是直和（\(\oplus\)）。
证明：
\(\implies\) （已知单射，证直和）：
假设 \(u_1 + u_2 + \dots + u_m = 0\)（其中 \(u_i \in U_i\)）。
这意味着 \(T(u_1, u_2, \dots, u_m) = 0\)。
又因为线性映射必有 \(T(0, 0, \dots, 0) = 0\)。
由于 \(T\) 是单射（不同的原像对应不同的像），因此必须有 \((u_1, u_2, \dots, u_m) = (0, 0, \dots, 0)\)。
即 \(u_i = 0\) 对于所有 \(i\) 成立。零向量表示法唯一，因此和为直和。
\(\impliedby\) （已知直和，证单射）：
要证线性映射为单射，只需证其核空间仅含零向量：\(\ker T = \{\mathbf{0}\}\)。
设 \((u_1, \dots, u_m) \in \ker T\)，则 \(T(u_1, \dots, u_m) = 0\)，即 \(u_1 + u_2 + \dots + u_m = 0\)。
因为已知 \(U_1 + \dots + U_m\) 是直和，根据直和定义，零向量分解唯一，故必须有 \(u_1 = 0, u_2 = 0, \dots, u_m = 0\)。
因此 \(\ker T = \{(0, \dots, 0)\}\)。核只有零向量，故 \(T\) 是单射。
3. 线性映射实例：线性方程组的解构
利用映射的观点，可以优雅地解释非齐次线性方程组的解结构。
设映射 \(\sigma: \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}^m, \sigma(X) = AX\)，其中 \(A\) 是 \(m \times n\) 矩阵。
-
像空间: \(\text{Im}(\sigma) = \{\sigma(\alpha) \mid \alpha \in \mathbb{F}^n\} = \{AX \mid X \in \mathbb{F}^n\}\) （即列空间）。
-
核空间: \(\ker(\sigma) = \{X \mid AX = 0\}\) （即齐次方程组的解空间）。
对于 \(\forall \beta \in \text{Im}(\sigma)\)，求其原像 \(\sigma^{-1}(\beta) = \{\alpha \in \mathbb{F}^n \mid A\alpha = \beta\}\)（即求非齐次方程组 \(AX = \beta\) 的全部解）。
假设 \(\alpha_0\) 是其中的一个特解（\(A\alpha_0 = \beta\)），那么方程的通解可以表示为：
这正是我们熟知的：非齐次通解 = 非齐次特解 + 齐次通解。这里的 \(\alpha_0 + \ker(\sigma)\) 引出了“陪集”的概念。
4. 陪集与商空间
4.1 陪集的定义与判定
设 \(U\) 是 \(V\) 的子空间，\(\alpha \in V\)。
定义 \(\alpha\) 关于 \(U\) 的陪集（左陪集）为：
性质（陪集相等定理）：
证明：
\(\implies\)：因为 \(0 \in U\)，所以 \(\alpha = \alpha + 0 \in \alpha + U\)。
既然两集合相等，则 \(\alpha \in \beta + U\)。这意味着存在某个 \(u \in U\) 使得 \(\alpha = \beta + u\)。
移项即得 \(\alpha - \beta = u \in U\)。
\(\impliedby\)：已知 \(\alpha - \beta \in U\)。
设 \(x \in \alpha + U\)，则存在 \(w \in U\) 使得 \(x = \alpha + w\)。
对其进行恒等变形：\(x = \beta + (\alpha - \beta) + w\)。
因为 \(\alpha - \beta \in U\) 且 \(w \in U\)，且 \(U\) 是子空间（加法封闭），所以 \(((\alpha - \beta) + w) \in U\)。
故 \(x \in \beta + U\)，得出 \(\alpha + U \subseteq \beta + U\)。
同理可证 \(\beta + U \subseteq \alpha + U\)。因此 \(\alpha + U = \beta + U\)。
4.2 商空间的定义与良定义证明
设 \(V/U\) 表示所有陪集构成的集合，即 \(V/U = \{\alpha + U \mid \alpha \in V\}\)。
为了让这个集合成为一个向量空间，我们定义以下运算：
-
加法：\((\alpha_1 + U) + (\alpha_2 + U) \triangleq (\alpha_1 + \alpha_2) + U\)
-
数乘：\(\lambda(\alpha + U) \triangleq \lambda\alpha + U\)
证明运算的良定义
由于陪集有不同的“代表元”（比如 \(\alpha_1 + U\) 可能等于 \(\beta_1 + U\)），必须证明，更换代表元后，运算结果仍然代表同一个陪集。
1. 证明加法良定义：
假设代表元改变，即 \(\alpha_1 + U = \beta_1 + U\) 且 \(\alpha_2 + U = \beta_2 + U\)。
根据陪集相等定理，这意味着 \(\alpha_1 - \beta_1 \in U\)，且 \(\alpha_2 - \beta_2 \in U\)。
我们考察新的和代表元之差：
\((\alpha_1 + \alpha_2) - (\beta_1 + \beta_2) = (\alpha_1 - \beta_1) + (\alpha_2 - \beta_2)\)
因为 \(U\) 是子空间，两项都属于 \(U\)，所以它们的和也属于 \(U\)。
再次根据陪集相等定理，这等价于：
\((\alpha_1 + \alpha_2) + U = (\beta_1 + \beta_2) + U\)。
结论：无论选谁做代表元，相加后得到的陪集是同一个。
2. 证明数乘良定义：
假设 \(\alpha + U = \beta + U\)，即 \(\alpha - \beta \in U\)。
考察数乘后代表元之差：
\(\lambda\alpha - \lambda\beta = \lambda(\alpha - \beta)\)
因为 \(\alpha - \beta \in U\) 且 \(U\) 是子空间（数乘封闭），所以 \(\lambda(\alpha - \beta) \in U\)。
故 \(\lambda\alpha + U = \lambda\beta + U\)。
当证明了运算的良定义，并且验证其满足线性空间的 8 条公理后，集合 \(V/U\) 就构成了一个真正的线性空间，被称为 \(V\) 模 \(U\) 的商空间。