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线性空间

定义：线性空间

设 V 是一个非空集合，F 是一个数域，我们定义两种运算，其中第一个运算是我们熟知的加法 \(+\). 在线性空间的定义中，我们要求 \(\langle V : +\rangle\) 构成 Abel 群，即其中元素满足如下运算律：

  1. (加法结合律) \(\alpha + (\beta + \gamma) = (\alpha + \beta) + \gamma,\; \forall \alpha, \beta, \gamma \in V\)；
  2. (加法单位元) 存在 \(0 \in V\)，使得对任意 \(\alpha \in V\)，有 \(\alpha + 0 = 0 + \alpha = \alpha\)；
  3. (逆元) 对任意 \(\alpha \in V\)，存在 \(\beta \in V\)，使得 \(\alpha + \beta = \beta + \alpha = 0\)，记 \(\beta = -\alpha\)；
  4. (交换律) \(\forall \alpha, \beta \in V, \alpha + \beta = \beta + \alpha.\)

第二种运算和之前学习的其他代数结构不同，我们需要首先引入一个数域 \(F\)，接下来在 \(F \times V\) 上定义取值于 \(V\) 的数乘运算，即 \(F \times V\) 中的每个元素 \((\lambda, \alpha) \mapsto \lambda\alpha \in V\)，并且数乘运算满足以下性质：\(\forall\alpha, \beta \in V, \forall\lambda, \mu \in F\) 以及 \(F\) 上的乘法单位元 1，有

  1. (数乘单位元) 1 · α = α；
  2. (数乘结合律) λ(µα) = (λµ)α；
  3. (数乘对数的分配律) (λ + µ)α = λα + µα；
  4. (数乘对向量分配律) λ(α + β) = λα + λβ.

基于此，我们完整定义了一个线性空间，我们一般称集合 \(V\) 关于上述两种运算在域\(F\) 上构成一个线性空间，简称为 \(V\) 在域 \(F\) 上的线性空间，记作 \(V (F)\). 如果 \(F\) 是实（复）数域，则称 V 为实（复）数域上的线性空间.

定义：线性同构

设 V (F) 和 W(F) 是数域 F 上的线性空间，若映射 \(\varphi: V (F) \rightarrow W(F)\) 满足

\[ \varphi(\alpha + \beta) = \varphi(\alpha) + \varphi(\beta), \forall\alpha, \beta \in V (F) \]
\[ \varphi(\lambda\alpha) = \lambda\varphi(\alpha), \forall\alpha \in V (F), \forall\lambda \in F \]

则称 \(\varphi\) 是从 \(V (F)\) 到 \(W(F)\) 的一个同态，若 \(\varphi\) 是双射，则称 \(\varphi\) 是从 \(V (F)\) 到 \(W(F)\) 的一个同构，若 \(\varphi\) 是从 \(V (F)\) 到 \(W(F)\) 的一个同构，则称线性空间 \(V (F)\) 和 \(W(F)\) 是同构的，记为 \(V (F) \cong W(F)\).

定义：线性子空间

设 \(W\) 是线性空间 \(V (F)\) 的非空子集，如果 \(W\) 对 \(V\) 中的运算也构成域 \(F\) 上的线性空间，则称 \(W\) 是 \(V\) 的线性子空间（简称子空间）.

定义：线性组合和线性表示

设 \(V (F)\) 是一个线性空间，若 \(\alpha_i \in V\)、\(\lambda_i \in F\)（\(i = 1, 2, \dots, m\)），则向量 \(\alpha = \lambda_1\alpha_1 +\lambda_2\alpha_2 + \cdots + \lambda_m\alpha_m\) 称为向量组 \(\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_m\) 在域 \(F\) 的线性组合，或说 \(\alpha\) 在域 \(F\)上可用向量组 \(\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_m\) 线性表示.

定义：线性扩张

设 \(S\) 是线性空间 \(V(F)\) 的非空子集，我们称

\[ \operatorname{span}(S) = \{\lambda_1\alpha_1 + \dots + \lambda_k\alpha_k \mid \lambda_1, \dots, \lambda_k \in F,\; \alpha_1, \dots, \alpha_k \in S,\; k \in \mathbb{N}_{+}\} \]

为 \(S\) 的线性扩张，即 \(S\) 中所有有限子集在域 \(F\) 上的一切线性组合组成的 \(V (F)\) 的子集.

注：教材《大学数学：代数与几何》上记为\(L(S)\).

定理

线性空间 \(V (F)\) 的非空子集 \(S\) 的线性扩张 \(\operatorname{span}(S)\) 是 \(V\) 中包含 \(S\) 的最小子空间.