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07_内积空间

一、 内积空间的定义与基本性质

1. 内积的公理化定义

设 \(V\) 是实/复向量空间，映射 \(\langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \to \mathbb{F}\) 满足以下四条公理即为内积：

  1. 正定性：\(\langle v, v \rangle \ge 0\)，且 \(\langle v, v \rangle = 0 \iff v = 0\)。

  2. 第一位置加性：\(\langle u_1 + u_2, v \rangle = \langle u_1, v \rangle + \langle u_2, v \rangle\)。

  3. 第一位置齐次性：\(\langle ku, v \rangle = k \langle u, v \rangle\)。

  4. 共轭对称性：\(\langle u, v \rangle = \overline{\langle v, u \rangle}\)。（实数域中为 \(\langle u, v \rangle = \langle v, u \rangle\)）。

2. 衍生代数性质

  • 第二位置加性：\(\langle u, v + w \rangle = \langle u, v \rangle + \langle u, w \rangle\)。

  • 第二位置共轭齐次性：\(\langle u, \lambda v \rangle = \bar{\lambda} \langle u, v \rangle\)。

  • 零向量内积恒为零：\(\langle 0, u \rangle = \langle u, 0 \rangle = 0\)。

二、 范数与正交性

1. 范数（长度）

  • 定义：\(\|v\| := \sqrt{\langle v, v \rangle}\)

  • 性质：

    • 非负性：\(\|v\| \ge 0\)，\(\|v\| = 0 \iff v = 0\)。

    • 齐次性：\(\|\lambda v\| = |\lambda| \|v\|\)。

  • 展开公式：\(\|u+v\|^2 = \|u\|^2 + \|v\|^2 + 2\text{Re}\langle u, v \rangle\)。

2. 正交（垂直）

  • 定义：\(\langle u, v \rangle = 0 \iff u \perp v\)。

  • 性质：对称性（\(u \perp v \iff v \perp u\)）；\(0\) 向量与任意向量正交。

  • 勾股定理：若 \(u \perp v\)，则 \(\|u+v\|^2 = \|u\|^2 + \|v\|^2\)。

三、 核心不等式与正交分解

1. 正交分解公式

若 \(v \neq 0\)，任意向量 \(u\) 可正交分解为：\(u = cv + w\)，其中 \(w \perp v\)。

投影系数为：\(c = \frac{\langle u, v \rangle}{\|v\|^2}\)。

2. 柯西-施瓦茨不等式 (Cauchy-Schwarz)

  • 公式：\(|\langle u, v \rangle| \le \|u\| \|v\|\)

  • 等号成立条件：当且仅当 \(u, v\) 线性相关。

3. 三角不等式

  • 公式：\(\|u+v\| \le \|u\| + \|v\|\)

四、 规范正交基

1. 定义与基本性质

  • 定义：基向量满足 \(\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}\)（两两正交且模长为1）。

  • 线性无关性：非零且两两正交的向量组必定线性无关。

2. 坐标与内积的极简计算

设 \(e_1, \dots, e_n\) 为规范正交基，\(\alpha = \sum a_i e_i, \beta = \sum b_i e_i\)：

  • 坐标提取：\(a_i = \langle \alpha, e_i \rangle\)（坐标即为内积）。

  • 帕塞瓦尔恒等式：\(\|\alpha\|^2 = \sum_{i=1}^n |a_i|^2\)。

  • 内积计算：\(\langle \alpha, \beta \rangle = \sum_{i=1}^n a_i \overline{b_i}\)。

3. 施密特 (Gram-Schmidt) 正交化

将普通基 \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\) 转化为规范正交基 \(e_1, \dots, e_n\)：

  1. \(e_1 = \frac{\alpha_1}{\|\alpha_1\|}\)

  2. 递推式（先求正交向量 \(w_k\)，再单位化）：

    \(w_{k} = \alpha_{k} - \sum_{i=1}^{k-1} \langle \alpha_{k}, e_i \rangle e_i\)

    \(e_{k} = \frac{w_{k}}{\|w_{k}\|}\)

4. 核心推论

  • 基的扩充：有限维空间中，任意一组规范正交向量都可扩充为一组完备的规范正交基。

  • 舒尔定理：有限维内积空间上的任意线性算子，必定存在一组规范正交基，使其对应的矩阵为上三角矩阵。

五、 正交补与正交投影

1. 正交补 \(U^\perp\)

  • 定义：\(U^\perp = \{v \in V \mid \langle v, u \rangle = 0, \forall u \in U\}\)。

  • 性质：

    • \(U^\perp\) 也是子空间；\(\{0\}^\perp = V\)，\(V^\perp = \{0\}\)。

    • \(U \cap U^\perp = \{0\}\)。

    • 包含逆转：\(U \subseteq W \implies W^\perp \subseteq U^\perp\)。

2. 正交直和分解

  • 公式：\(V = U \oplus U^\perp\)。

  • 维度关系：\(\dim V = \dim U + \dim U^\perp\)。

  • 双重正交补：有限维下 \((U^\perp)^\perp = U\)。

3. 正交投影算子 \(P_U\)

若 \(v = u + w \ (u \in U, w \in U^\perp)\)，投影 \(P_U(v) = u\)。

  • 性质：

    • 线性算子；值域 \(\text{range}(P_U) = U\)；零空间 \(\text{null}(P_U) = U^\perp\)。

    • 残差正交：\(v - P_U(v) \in U^\perp\)。

    • 幂等性：\(P_U^2 = P_U\)。

    • 范数收缩：\(\|P_U(v)\| \le \|v\|\)。

  • 计算公式（已知 \(U\) 的规范正交基 \(e_1, \dots, e_m\)）：

    \(P_U(v) = \sum_{i=1}^m \langle v, e_i \rangle e_i\)。

六、 最佳逼近定理

  • 定理：在子空间 \(U\) 中，正交投影 \(P_U(v)\) 是距离向量 \(v\) 最近的点。

  • 公式表达：对 \(\forall u \in U\)，恒有 \(\|v - P_U(v)\| \le \|v - u\|\)。（等号成立 \(\iff u = P_U(v)\)）。

七、 里斯表示定理

  • 定理内容：在有限维内积空间 \(V\) 中，对任意线性泛函 \(\varphi \in V'\)，存在唯一的向量 \(u \in V\)，使得对 \(\forall v \in V\)，成立：

    \(\varphi(v) = \langle v, u \rangle\)

  • \(u\) 的构造式（基于规范正交基 \(e_i\)）：\(u = \sum_{i=1}^n \overline{\varphi(e_i)} e_i\)。