期中精要 · 概念与基础例题
按 0–9 节顺序读，每节先跟例题，再做末尾的小改题。第一次学习可先完成标出的基本步骤；完整证明和复杂变式在链接的讲义里查。
0. 先读懂符号和运算
物理量：先分清“是什么”
| 符号 | 含义 | 单位 / 直觉 |
|---|---|---|
| \(q,Q\) | 电荷 charge | C；正负号影响方向 |
| \(\mathbf F\) | 力 force | N；决定加速度，\(\mathbf F=m\mathbf a\) |
| \(\mathbf E\) | 电场 electric field | N/C；每单位正电荷受到的力 |
| \(V\) | 电势 potential | V = J/C；每单位电荷的势能 |
| \(U\) | 能量 energy | J；电势与能量关系为 \(U=qV\) |
| \(i\) | 电流 current | A = C/s；单位时间通过的电荷 |
| \(\mathbf B\) | 磁场 magnetic field | T；通过 \(q\mathbf v\times\mathbf B\) 作用于运动电荷 |
| \(R,C,L\) | 电阻、电容、电感 | Ω、F、H；分别耗能、储存电场能、储存磁场能 |
粗体表示向量，包含大小和方向；\(\hat{\mathbf x},\hat{\mathbf y},\hat{\mathbf z}\) 是三个坐标正方向的单位向量。\(r\) 是距离，\(\hat{\mathbf r}\) 是径向单位向量。\(d\) 出现在 \(dq,dr,d\theta\) 中表示小量；单独作为符号时也可能表示距离，需看定义。
方向运算：投影和右手规则
点乘 \(\mathbf A\cdot\mathbf B=AB\cos\theta\) 得到一个数：垂直为零，同向最大。通量 \(\Phi_E=\int\mathbf E\cdot d\mathbf A\) 就是把穿过小面积的法向分量加起来；面积向量垂直于该小面。
叉乘给出一个垂直于两个向量的方向。先用下表判断，再乘电荷的正负号：
交换顺序变号，同方向叉乘为零。例如 \(\hat{\mathbf x}\times\hat{\mathbf z}=-\hat{\mathbf y}\)；若运动电荷为负，磁力方向再反转。
本次计算够用的微积分
导数描述“变化有多快”；积分把小贡献相加。下面几条先照着算：
偏导数 \(\partial/\partial x\) 就是只让 \(x\) 变，把其余坐标当常数。三个场算符先记住用途：
| 算符 | 做什么 | 一个可直接跟算的例子 |
|---|---|---|
| 梯度 \(\nabla V\) | 给出电势在各坐标方向的变化率 | \(V=Ax^2\)，则 \(\mathbf E=-\nabla V=-2Ax\hat{\mathbf x}\) |
| 散度 \(\nabla\cdot\mathbf E\) | 局部净流出，联系电荷密度 | 上例为 \(-2A\)，故 \(\rho_q=-2\epsilon_0A\) |
| 旋度 \(\nabla\times\mathbf E\) | 局部环流；静电场必须为零 | 上例各交叉偏导为零，旋度为零 |
反复出现的一阶方程 \(\dot X=-X/\tau\) 的解是 \(X=X_0e^{-t/\tau}\)：初始为 \(X_0\)，过一个 \(\tau\) 剩约 \(0.37X_0\)，最终趋近零。先用求导验证这个解，暂时不必从头求解微分方程。
小改题：把 \(V=Ax^2\) 改为 \(V=Ay^2\)，则 \(\mathbf E=-2Ay\hat{\mathbf y}\)，\(\rho_q\) 仍为 \(-2\epsilon_0A\)。把 \(\tau\) 加倍，同一时刻的衰减会更慢。
1. 电场、电势与高斯定律 · Ch. 1–4
电荷产生电场，另一电荷在该场中受力：\(\mathbf F=q\mathbf E\)。固定的正点电荷 \(Q\) 在真空中产生
电势差决定能量变化 \(\Delta U=q\Delta V\)；电场做功为 \(-\Delta U\)。多个源的电势按数值相加，电场按向量相加。连续电荷用 \(dq=\lambda\,dl\)、\(\sigma_s\,dA\) 或 \(\rho_q\,dV\) 写出小贡献，再积分。
高斯定律始终成立，但只有足够对称时才能直接用它解场。例如均匀带电球面外，球形高斯面上场处处等大、径向：
跟算例题：球面总电荷加倍，外部场和势都加倍；场点距离加倍，场变为 \(1/4\)，势变为 \(1/2\)。壳内包围电荷为零，配合球对称得到 \(E=0\)；电势却仍等于表面常数 \(kQ/R\)。
常见几何先认形状，再从公式页找结果：
| 源 | 关键区别 |
|---|---|
| 均匀球壳 / 静电平衡的孤立球导体 | 内部 \(E=0\)，外部像中心点电荷 |
| 均匀体带电绝缘球 | 内部 \(E_r=kQr/R^3\)，随 \(r\) 增大；外部仍为 \(kQ/r^2\) |
| 无限长直线电荷 | 用圆柱高斯面，\(E_r=\lambda/(2\pi\epsilon_0r)\) |
| 无限大规定面电荷 | 两侧各有 $E= |
| 有限圆环、圆盘 | 一般需源积分；轴线上可利用对称性消去横向分量 |
电偶极子是近邻的 \(+q,-q\)，\(\mathbf p=q\mathbf d\) 指向正电荷。在均匀外场中净力为零，但有力矩 \(\boldsymbol\tau=\mathbf p\times\mathbf E\) 和能量 \(U=-\mathbf p\cdot\mathbf E\)；同向能量最低。远处偶极场按 \(1/r^3\) 衰减。
小改题：把正球壳改成负球壳，场的箭头反向，电势变负。\(Q_{\rm enc}=0\) 只说明闭面净通量为零；无对称性时仍可有非零场。详细算符公式查第 4 章。
2. 导体、镜像与电容 · Ch. 5–6
静电平衡时：金属材料内部 \(E=0\)，整块连通导体电势相同。接地固定 \(V=0\)，允许电荷交换；孤立固定总电荷，电势待求。电荷不在球心附近时，导体表面通常会重新分布电荷。
跟算：外点电荷与球
半径 \(R\) 的球，外部正电荷 \(q\) 距球心 \(d>R\)。
- 球仍孤立且总电荷为 \(Q\)：中心场为零。每个表面电荷元到中心都等距，所以 \(V(O)=kQ/R+kq/d\)。
- 球接地后，把上式中的总电荷改成未知 \(Q_s\)，令 \(0=kQ_s/R+kq/d\)，得到 \(Q_s=-qR/d\)。
- 求外部势，用球内的虚拟电荷 \(-qR/d\)，位置距中心 \(R^2/d\)、朝向真实电荷。它与真实 \(q\) 的势相加，在球面恰好为零。镜像不是真实的内部电荷。
- 若球孤立且指定总电荷为 \(Q\)，还要在中心加一个镜像 \(Q+qR/d\)，使镜像总量为 \(Q\)。
第一次先跟第 1、2 步，能分清固定 \(Q\) 与固定 \(V\) 后，再看真题 Q1(d)的边界验证。空腔要区分“金属材料”和“腔内空间”：腔里有电荷时可有场。
跟算：球形电容器
电容 \(C=Q/(V_a-V_b)\) 表示给定电压下能存多少电荷。内外半径 \(a<b\)，中间均匀介质介电常数 \(\epsilon=\epsilon_0\epsilon_r\)：
小改题：在固定自由电荷下，把均匀介质的 \(\epsilon\) 加倍，\(C\) 加倍、\(V\) 减半。若电池固定 \(V\)，则 \(Q\) 加倍。电容器的电场能为 \(U_C=Q^2/(2C)=CV^2/2\)。
3. 电流、电阻与 RC · Ch. 6–7
电流是电荷流动；电流密度 \(\mathbf J\) 是单位横截面积上的电流，均匀时 \(J=I/A\)。普通静止欧姆材料满足 \(\mathbf J=\sigma\mathbf E\)。电导率 \(\sigma\) 越大，同一电流所需电场越小；电阻率 \(\rho_{\rm res}=1/\sigma\)，与电荷密度 \(\rho_q\) 区分。
- 节点：流入电流总和等于流出总和；若有电荷积累，差值就是积累速率。
- 回路：沿自定方向将电压升降相加为零；遇到感应电动势要单独计入。
- 串联：电阻相加、电流相同。并联：电压相同，电导 \(1/R\) 相加。
- 电阻耗电功率 \(P=I^2R\)。电池的电动势 \(\mathcal E\) 是每单位电荷得到的能量，单位为 V。
跟算：一个电容通过一个电阻放电
取 \(Q\) 为正极板的电荷，\(I\) 为离开正极板的电流。于是
若 \(R=2\ \mathrm{k\Omega}\)、\(C=100\ \mu\mathrm F\)，先换单位再乘：\(\tau=2000\times10^{-4}=0.20\ \mathrm s\)。在 \(0.20\ \mathrm s\) 时，电荷与电压都剩初值的约 37%；能量剩 \(e^{-2}\approx14\%\)。充电时同类电路从零趋近终值：\(Q=C\mathcal E(1-e^{-t/RC})\)。
开关题先写两个状态：电容电压不能在有限电流下突变；长期直流稳态时电容支路不通电流。电流假设方向算成负值，只需反转箭头。
接回真题 Q2：介质会漏电
沿球形面流动的面积是 \(4\pi r^2\)，所以 \(J=I/(4\pi r^2)\)。用 \(E=J/\sigma\) 代入同一个径向电势积分：
小改题：\(\sigma\) 减半，漏电电阻和衰减时间都加倍。真题 Q2只是在基本 RC 放电前，增加了几何积分这一步。
4. 磁力与电流产生的磁场 · Ch. 8–9
先分清两种题：已知 \(\mathbf B\) 求力用 Lorentz 力；已知电流求 \(\mathbf B\)用 Biot–Savart 或有对称性的 Ampère 环路。
跟算方向：正电荷沿 \(+x\) 运动，磁场沿 \(+z\)，则 \(\mathbf v\times\mathbf B\) 朝 \(-y\)；电子的磁力朝 \(+y\)。磁力垂直于速度，单独不改变速率；只有均匀磁场时，垂直分量做圆周运动，平行分量保持不变。
速度加倍，回旋半径加倍，周期不变。交叉均匀电磁场中的平均漂移是 \(\mathbf v_D=\mathbf E\times\mathbf B/B^2\)，与电荷正负无关。Hall 效应则是运动载流子横向分离，达到 \(\mathbf E_H+\mathbf v_d\times\mathbf B=0\)；单载流子模型 \(R_H=1/(nq_c)\) 可反映载流子符号。
| 电流源 | 用什么几何 / 常用结果 |
|---|---|
| 无限长直导线 | 环向场，\(B=\mu_0I/(2\pi r)\) |
| 圆环轴线上、离环心 \(z\) | \(B_z=\mu_0Is^2/[2(s^2+z^2)^{3/2}]\)，\(s\) 是环半径 |
| 很长的螺线管内部 | \(B\simeq\mu_0nI\)，\(n\) 为每米匝数 |
| 理想环形线圈内部 | \(B=\mu_0NI/(2\pi r)\)，\(N\) 为总匝数 |
一般情况写 \(d\mathbf B=\mu_0I\,d\boldsymbol\ell\times\hat{\mathbf R}/(4\pi R^2)\)，把方向与分量算清再积分。场的大小不能直接按标量相加。
长直导线的 Ampère 圆形环路给出 \(B\,2\pi r=\mu_0I\)。把 \(B\) 提出积分这一步依赖对称性；一般电流布局需回到源积分或场方程。
接回真题 Q3：带电球面为什么等价于许多电流环
球面密度 \(\sigma_s=Q/(4\pi R^2)\)。极角 \(\theta\) 的细环，周长为 \(2\pi R\sin\theta\)，带宽为 \(R\,d\theta\)，所以
电流环的磁矩为 \(d\mu=(dI)\pi s^2\)，此处 \(s=R\sin\theta\)。球心离该环的轴向距离为 \(z=R\cos\theta\)，所以 \(s^2+z^2=R^2\)。代入上表的圆环轴线公式即可：
积分可令 \(u=\cos\theta\)，得到 \(\int_{-1}^{1}(1-u^2)du=4/3\)。第一次先独立写出 \(dq\) 和 \(dI\)，再跟后两步。小改题：把 \(\omega\) 加倍，\(dI,\mu,B\) 都加倍；换成体带电球必须重新分层积分。
5. 感应与法拉第圆盘 · Ch. 11
磁通 \(\Phi_B=\int\mathbf B\cdot d\mathbf A\) 衡量穿过所选面的磁场。均匀场与平面法向夹角为 \(\theta\) 时，\(\Phi_B=BA\cos\theta\)。固定线圈磁通变化产生电动势：\(\mathcal E=-N\,d\Phi_B/dt\)，负号表示感应作用阻碍通量变化。
跟算例题：单匝面积 \(A\)，正法向朝纸外，\(B(t)=\alpha t\) 朝纸外、\(\alpha>0\)。于是 \(\mathcal E=-A\alpha\)；感应电流为顺时针，产生朝纸内的场。若磁场正在减弱，方向反过来。
运动导体还要算 \(\mathbf u\times\mathbf B\)。盘以 \(\boldsymbol\omega=\omega\hat{\mathbf z}\) 转动，外场 \(\mathbf B=B\hat{\mathbf z}\)：
- 半径 \(r\) 处 \(\mathbf u=\omega r\hat{\boldsymbol\phi}\)，故 \(\mathbf u\times\mathbf B=B\omega r\hat{\mathbf r}\)，正电荷被推向边缘。
- 开路时电荷分离形成反向场 \(\mathbf E=-B\omega r\hat{\mathbf r}\)；边缘比中心高电势，\(V_{\rm rim}-V_O=B\omega a^2/2\)。
- 接总电阻 \(R\) 后，\(I=B\omega a^2/(2R)\)，磁力矩阻碍旋转；保持转速需要外加同向力矩。
转动惯量 \(\mathcal I\) 表示改变转速有多困难，转动方程为 \(\mathcal I\dot\omega=\tau\)。撤掉外加力矩后，\(\mathcal I\dot\omega=-B^2a^4\omega/(4R)\)，与第 0 节的指数衰减相同：\(\omega=\omega_0e^{-t/\tau_m}\)，\(\tau_m=4\mathcal I R/(B^2a^4)\)。原题未给 \(\mathcal I\) 的数值。
小改题：保持 \(\omega\) 不变而把电阻加倍，电流和所需外加力矩都减半。完整步骤见真题 Q4。固定线圈与运动圆盘使用的电动势表达式要区分。
6. 电感、RL 与互感 · Ch. 12
电感把电流与磁通链联系起来：\(\Lambda=N\Phi_B=Li\)。电流变化会产生反对这种变化的自感电动势。若电流从端子 \(A\) 流入电感，约定为正：
电感电流在有限电压下不能突变；长期直流稳态时，理想电感的端电压为零。一个电感通过一个电阻衰减，时间常数为 \(\tau=L/R\)，\(i=i_0e^{-tR/L}\)。
跟算例题：\(L=2\ \mathrm H\)、\(R=4\ \Omega\)、\(i_0=3\ \mathrm A\)，则 \(\tau=0.50\ \mathrm s\)，过 \(0.50\ \mathrm s\) 后电流为 \(3/e\ \mathrm A\)。初始磁场能为 \(Li_0^2/2=9\ \mathrm J\)，最终转化为电阻热。
互感 \(M\) 表示一线圈的电流对另一线圈磁通链的贡献，\(\mathcal E_2=-M\dot i_1\)。选定绕向后，双线圈能量为
即使 \(i_1\) 固定，改变 \(i_2\) 时电源 1 也可能做功 \(M i_1\Delta i_2\)。第一遍理解这个交叉项；分阶段账目查作业 Ch. 12, Ex. 9。
小改题：固定 \(L\) 把 \(R\) 加倍，RL 衰减更快；固定 \(R\) 把 \(L\) 加倍，衰减更慢。注意与 RC 电路中增大 \(R\) 的效果不同。真空磁能密度为 \(B^2/(2\mu_0)\)，原卷公式页在此有误。
7. LC、RLC 与交流 · Ch. 13
电容储存电场能，电感储存磁场能；理想 LC 电路中两者交换、总和不变：
若电流定义为流入所标极板，则 \(i=\dot q\)；若定义的是另一支路电流，先用节点规则判断正负。电荷最大时电流为零；电流最大时电荷为零。
跟算初值：若 \(q(0)=q_0\)、\(i(0)=0\)，取 \(q=q_0\cos\omega_0t\)，求导得到 \(i=-\omega_0q_0\sin\omega_0t\)。若已知电感有电流而电容未充电，不能仍把 \(q(0)\) 设成振幅。
加入串联电阻后，\(L\ddot q+R\dot q+q/C=0\)。\(0<R<2\sqrt{L/C}\) 时有衰减振荡，\(R=2\sqrt{L/C}\) 为临界阻尼，更大时不再振荡。交流电源驱动的频率由电源规定，未必等于 \(\omega_0\)。
正弦稳态用阻抗代替电阻
令 \(j^2=-1\)，把电压、电流的幅度和相位一起计算：
串联相加、并联先加倒数。串联 RLC 的 \(Z=R+jX\)，\(X=\omega L-1/(\omega C)\)，其模为 \(|Z|=\sqrt{R^2+X^2}\)，峰值电流 \(I_m=\mathcal E_m/|Z|\)。
跟算例题：若 \(R=3\ \Omega\)、\(X=4\ \Omega\)、源峰值为 \(10\ \mathrm V\)，则 \(|Z|=5\ \Omega\)，\(I_m=2\ \mathrm A\)，平均电阻功率为 \(I_m^2R/2=6\ \mathrm W\)。\(X>0\) 时电流滞后电压，\(X<0\) 时超前；\(X=0\) 时共振且同相。
小改题：保持电源峰值不变，在串联共振点增大 \(R\)，电流减小。给的是 RMS 电压时，用 RMS 电流求功率 \(I_{\rm rms}^2R\)，不再除以 2。共振的半功率宽度为 \(\Delta\omega=R/L\)；此时电流幅度是最大值的 \(1/\sqrt2\)。
8. Maxwell 方程与电磁波 · Ch. 14
四个方程分别回答：电场从哪里来、磁场是否有单极源、变化磁场如何产生环流电场、电流与变化电场如何产生磁场。
| 方程（真空，总电荷与总电流） | 读法 |
|---|---|
| \(\nabla\cdot\mathbf E=\rho_q/\epsilon_0\) | 电荷是电场散度的源 |
| \(\nabla\cdot\mathbf B=0\) | 闭合面净磁通为零 |
| \(\nabla\times\mathbf E=-\partial_t\mathbf B\) | 时变磁场产生有环流的电场 |
| \(\nabla\times\mathbf B=\mu_0\mathbf J+\mu_0\epsilon_0\partial_t\mathbf E\) | 传导电流与位移电流都要计入 |
给电容充电时，真空间隙中虽无电荷穿越，但 \(J_d=\epsilon_0\partial_tE\)，总位移电流 \(I_d=\dot Q\) 与导线电流相符。在无电荷、无电流的真空中，结合两个旋度方程可得到
这里 \(\nabla^2\) 是三个坐标二阶偏导之和；波速由上式的系数读出。单一真空平面行波中，\(\mathbf E,\mathbf B\) 与传播方向相互垂直，且同相：
原课程自绘图，来源与复现见图示说明。
跟算例题：\(\mathbf E=3\cos(kx-\omega t)\hat{\mathbf y}\ \mathrm{V/m}\)、\(f=100\ \mathrm{MHz}=10^8\ \mathrm{Hz}\)、\(k>0\)。相位 \(kx-\omega t\) 表示向 \(+x\) 传播；\(\lambda=c/f=3\ \mathrm m\)，\(\mathbf B\) 朝 \(z\) 方向、振幅为 \(3/c=10^{-8}\ \mathrm T\)，平均强度约 \(1.19\times10^{-2}\ \mathrm{W/m^2}\)。
能量还满足 \(\partial_tu+\nabla\cdot\mathbf S=-\mathbf J\cdot\mathbf E\)：场能的减少和流入，可以转化为物质获得的能量。单一行波中电、磁能密度相等；静电电容、近场等情形不能直接套 \(E=cB\)。
波也携带动量：正入射时，完全吸收的辐射压为 \(p=I_{\rm wave}/c\)，理想镜面反射为 \(2I_{\rm wave}/c\)，力为压强乘受光面积。这里 \(I_{\rm wave}\) 是平均光强，不是电流；几何光学的反射折射规律另见第 15 章。
小改题：频率加倍，波长减半；电场振幅加倍，磁场振幅加倍、平均强度变为四倍。传播方向改为 \(-x\) 而 \(\mathbf E\) 仍沿 \(y\)，则 \(\mathbf B\) 的方向改为 \(-z\)。
9. 理论题的材料与输运 · Ch. 6–7, 10
先掌握下列因果关系；公式的微观模型与局限查第 6 章、第 7 章及第 10 章。
| 概念 | 需要能解释的内容 |
|---|---|
| Drude 导电 | 场使载流子获得平均漂移，散射限制漂移；\(\sigma=ne^2\tau/m_e\)。漂移速度与随机微观速度、信号传播速度不同；静态杂质也可使动量弛豫，而不交换能量 |
| 半导体 / 超导体 | 半导体的载流子数受温度、掺杂等影响；超导是特定条件下的量子态，不能只解释成经典电子不碰撞 |
| 极化 \(\mathbf P\) | 正负电荷中心相对位移产生束缚电荷；材料可以仍然整体中性。\(\mathbf D=\epsilon_0\mathbf E+\mathbf P\) 的散度数自由电荷 |
| 线性介质 | 均匀各向同性模型中 \(\mathbf D=\epsilon\mathbf E\)；固定自由 \(Q\) 与固定 \(V\) 的后果不同，见第 2 节 |
| 磁化 \(\mathbf M\) | 单位体积磁矩；\(\mathbf B=\mu_0(\mathbf H+\mathbf M)\)。线性关系 \(\mathbf M=\chi_m\mathbf H\) 只适用于相应材料与场强范围 |
| 顺磁 | 固有磁矩受场偏向排列，热运动扰乱排列；独立磁矩的弱场模型中 \(M\propto B/T\)，温度加倍则磁化约减半 |
| 抗磁 | 诱导磁矩反向于外加场，不能套用顺磁的热排列解释 |
| 铁磁与磁滞 | 协同磁序和畴结构；撤去外场可有剩磁，反向场达到矫顽力才消除。一个常数磁化率不能表示完整磁滞环 |
口头小测：接地能否保证电中性？不能。介质极化是否要求净电荷非零？不要求。固定 \(B\) 升温后弱场顺磁响应怎样变化？减弱。每个回答再加一句上表中的原因。