期中公式速解 · 卷内公式与必备补充
按计算题中选定律、建方程、求结果的通用性由高到低排列。卷内为图片中的 31 条关系；补充为未印出的常用公式。\(q\) 带正负号；\(e>0\)，电子电荷为 \(-e\)。未注明介质时使用真空参数。
原卷印错：磁能密度应为 \(u_B=B^2/(2\mu_0)\)，不是 \(\mu_0B^2/2\)。
1. 电场、电势与电荷积分
| 来源 | 公式 | 含义、条件与符号 |
|---|---|---|
| 卷内 | \(\mathbf E=\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0r^2}\hat{\mathbf r}\) | 静止点电荷的电场；\(r\) 从源电荷量到场点，\(\hat{\mathbf r}\) 沿此方向。\(\epsilon_0\) 为真空介电常数；\(q<0\) 时场反向。 |
| 卷内 | \(\epsilon_0\oint_S\mathbf E\cdot d\mathbf A=q_{\rm enc}\) | 高斯定律：闭面向外电通量由面内净电荷决定；只有足够对称时才能把 \(E\) 提到积分外。\(q_{\rm enc}=0\) 不代表 \(\mathbf E=0\)。 |
| 卷内 | \(V_f-V_i=-\int_i^f\mathbf E\cdot d\boldsymbol\ell\) | 静电场中沿 \(i\to f\) 积分求电势差；顺电场方向电势降低。\(V\) 单位 V，\(E\) 单位 V/m。 |
| 卷内 | \(\mathbf E=-\nabla V\) | 电势求电场；例如 \(E_x=-\partial V/\partial x\)。时变磁场产生的电场不能只用此式描述。 |
| 卷内 | \(\nabla\cdot\mathbf E=\rho_q/\epsilon_0\) | 高斯定律的局部形式；\(\rho_q\) 是体电荷密度，单位 C/m³，含自由与束缚电荷，不是电阻率。 |
| 补充 | \(dq=\lambda\,dl,\quad dq=\sigma_s\,dA,\quad dq=\rho_q\,d\mathcal V\) | 线、面、体电荷微元；\(\lambda,\sigma_s,\rho_q\) 分别为每米、每平方米、每立方米的电荷。\(d\mathcal V\) 表示体积微元。 |
| 补充 | \(k_e=1/(4\pi\epsilon_0),\quad V=k_e\int dq/r,\quad \mathbf E=k_e\int\hat{\mathbf r}\,dq/r^2\) | 连续源叠加：电势按标量相加，电场按矢量相加；\(r\) 随源点变化。电势式取无穷远为零，要求积分收敛。 |
| 补充 | \(\Delta U=q\Delta V,\quad W_E=-q\Delta V\) | 电势能变化与电场做功；缓慢移动、动能不变时，外力做功 \(W_{\rm ext}=\Delta U\)；保守力满足 \(\mathbf F=-\nabla U\)。 |
| 补充 | \(\nabla\times\mathbf E=0,\quad \nabla^2V=-\rho_q/\epsilon_0\) | 静电场无环流；后一式由 \(\mathbf E=-\nabla V\) 和高斯定律合成。无电荷区为 \(\nabla^2V=0\)。 |
常用几何结果 · 均为补充
| 源或积分微元 | 结果与适用范围 |
|---|---|
| 球面与球层 | \(A=4\pi r^2\)；纬度条带 \(dA=2\pi R^2\sin\theta\,d\theta\)；球体薄层 \(d\mathcal V=4\pi r^2dr\)。\(\theta\) 从极轴量起。 |
| 均匀球壳；无外部源的孤立导体球 | 半径 \(R\)、总电荷 \(Q\)：内部 \(E=0,V=k_eQ/R\)；外部 \(E_r=k_eQ/r^2,V=k_eQ/r\)。 |
| 均匀体带电绝缘球 | \(r<R\) 时 \(E_r=k_eQr/R^3\)；外部仍为点电荷结果。不能套用球壳的内部零场。 |
| 无限长线电荷 | \(E_r=\lambda/(2\pi\epsilon_0r)\)；\(r\) 为到轴距离。电势只能选有限参考半径：\(\Delta V=-\lambda\ln(r_2/r_1)/(2\pi\epsilon_0)\)。 |
| 无限大均匀面电荷 | 两侧场大小各为 \(\lvert\sigma_s\rvert/(2\epsilon_0)\)。两张等量异号平行面之间为 \(\lvert\sigma_s\rvert/\epsilon_0\)，外侧抵消。 |
| 均匀圆环轴线 | \(V=k_eQ/\sqrt{R^2+z^2}\)；\(E_z=k_eQz/(R^2+z^2)^{3/2}\)。\(R\) 为环半径，\(z\) 从环心沿轴量起。 |
| 均匀圆盘轴线 | 圆环微元 \(dq=\sigma_s2\pi s\,ds\)；\(z>0\) 时 \(E_z=\dfrac{\sigma_s}{2\epsilon_0}\left(1-\dfrac z{\sqrt{z^2+R^2}}\right)\)。\(s\) 是积分环半径，\(R\) 是圆盘外半径。 |
2. 导体、电容、电阻与放电
| 来源 | 公式 | 含义、条件与符号 |
|---|---|---|
| 补充 | \(\mathbf E_{\rm metal}=0,\quad V_{\rm metal}=V_c\) | 静电平衡时金属内部无场、连通导体等势。孤立导体固定总电荷；接地导体固定 \(V_c=0\)、允许交换电荷。载流或运动导体不直接套此条件。 |
| 补充 | \(E_{\rm out,n}=\sigma_s/\epsilon_0\) | 导体表面外侧的法向场，法向由金属朝外，外部为真空；表面切向场为零。 |
| 补充 | \(q'=-qR/d,\quad a=R^2/d\) | 接地球半径 \(R\)，外部点电荷 \(q\) 距球心 \(d>R\)：镜像 \(q'\) 放在球心朝向 \(q\) 的距离 \(a\) 处。只代表球外区域；球面总感应电荷等于 \(q'\)。 |
| 补充 | \(C=Q/\Delta V,\quad C_{\rm plate}=\epsilon A/d,\quad C_{\rm sphere}=4\pi\epsilon ab/(b-a)\) | \(C\) 为电容，单位 F；\(Q\) 为正极板电荷大小。平行板忽略边缘；同心球形电容内、外半径为 \(a<b\)。\(\epsilon=\epsilon_0\epsilon_r\)。 |
| 补充 | \(C_{\rm isolated\ sphere}=4\pi\epsilon R\) | 无外部源、半径 \(R\) 的孤立导体球相对于无穷远的电容；不同于两个球面组成的电容器。 |
| 卷内 | \(\rho_{\rm res}=1/\sigma=m_e/(ne^2\tau_{\rm coll})\) | 电阻率，单位 Ω·m；\(\sigma\) 是电导率，单位 S/m。Drude 模型中 \(n\) 为电子数密度，\(m_e\) 为电子质量，\(\tau_{\rm coll}\) 为平均散射间隔。 |
| 卷内 | \(\mathbf E=\rho_{\rm res}\mathbf J\) | 静止、线性、各向同性欧姆材料的局部关系；等价于 \(\mathbf J=\sigma\mathbf E\)。\(\mathbf J\) 为电流密度，单位 A/m²。 |
| 补充 | \(\mathbf J=nq_c\mathbf v_d,\quad I=\int\mathbf J\cdot d\mathbf A\) | \(q_c\) 是单个载流子的带符号电荷，\(\mathbf v_d\) 为平均漂移速度。均匀垂直截面上 \(I=JA\)；电子漂移与正电流反向。 |
| 补充 | \(\mathbf v_d=-e\tau_{\rm coll}\mathbf E/m_e,\quad\partial_t\rho_q+\nabla\cdot\mathbf J=0\) | 前者为稳态自由电子 Drude 漂移；后者为局部电荷守恒：电流净流出使当地电荷减少。 |
| 补充 | \(R=\rho_{\rm res}l/A,\quad dR=dr/[\sigma A(r)]\) | 第一式用于均匀等截面导线；变截面沿电流方向积 \(R=\int dR\)。球形径向导电用 \(A(r)=4\pi r^2\)，不能用固定截面积。 |
| 卷内 | \(\mathcal E=dW/dq\) | 电动势：电源等非静电作用每单位电荷提供的能量，单位 V；不是“力”，也不必等于电源端电压。 |
| 补充 | \(\Delta V=IR,\quad \sum I_{\rm in}=\sum I_{\rm out},\quad \sum\Delta V_{\rm loop}=0\) | 欧姆定律、节点与集中参数回路方程；若有外加感应电动势，须作为回路电源项计入。电阻串联相加、并联加倒数；电容相反。 |
| 卷内 | \(P=I^2R\) | 电阻焦耳热功率，单位 W；也可用 \(P=I\Delta V=(\Delta V)^2/R\)。这里的 \(I\) 必须是流过该电阻的电流。 |
| 卷内 | \(U_C=Q^2/(2C)\) | 线性电容储能，单位 J；等价于 \(U_C=C(\Delta V)^2/2=Q\Delta V/2\)。 |
| 卷内 | \(u_E=\epsilon_0E^2/2\) | 真空电场能密度，单位 J/m³；总能量 \(U_E=\int u_E\,d\mathcal V\)。线性、无色散介质改用 \(\epsilon E^2/2\)。 |
| 补充 | \(I_C=dQ/dt=C\,dV_C/dt,\quad V_C(0^+)=V_C(0^-)\) | 电流正方向取流入正极板；有限电流下电容电压不能突变。若定义放电流向外，则 \(I_{\rm out}=-dQ/dt\)。 |
| 补充 | \(X(t)=X_\infty+(X_0-X_\infty)e^{-t/\tau_{RC}},\quad\tau_{RC}=R_{\rm eq}C\) | 一阶 RC 响应；\(X\) 可取电容电压或电荷。\(R_{\rm eq}\) 是电容两端看到的等效电阻：独立电压源短路、独立电流源开路。 |
| 补充 | \(Q=Q_0e^{-t/(RC)},\quad RC=\epsilon/\sigma\) | 后一个等式用于均匀介质同时承担漏电与储能的理想电容。能量、功率按 \(e^{-2t/(RC)}\) 衰减。 |
| 卷内 | \(R_H=E_H/(BJ)=1/(nq_c)\) | 单载流子 Hall 系数；取 \(\mathbf J\parallel+x,\mathbf B\parallel+z\)，\(E_H=E_y\)。符号反映载流子正负；稳态横向平衡为 \(\mathbf E_H+\mathbf v_d\times\mathbf B=0\)。矩形样品沿磁场方向厚度为 \(t\) 时，Hall 电压大小为 \(\lvert V_H\rvert=\lvert IB/(nq_ct)\rvert\)。 |
3. 磁力、运动与电流产生的磁场
| 来源 | 公式 | 含义、条件与符号 |
|---|---|---|
| 卷内 | \(\mathbf F=q\mathbf E+q\mathbf v\times\mathbf B\) | Lorentz 力；先对正电荷判断叉乘，再乘带符号的 \(q\)。磁力垂直速度，不做功；电场功率为 \(q\mathbf E\cdot\mathbf v\)。 |
| 卷内 | \(\mathbf F_B=I\mathbf L\times\mathbf B\) | 匀强磁场内直导线受力；\(\mathbf L\) 沿正电流、长度等于导线段长度。一般用 \(d\mathbf F=I\,d\boldsymbol\ell\times\mathbf B\) 再积分。 |
| 补充 | \(r_L=mv_\perp/(\lvert q\rvert B),\quad\omega_c=\lvert q\rvert B/m\) | 非相对论粒子在匀强磁场中的回旋半径、角频率。\(v_\parallel\) 不产生磁力，沿场匀速；螺距为 \(v_\parallel T\)。 |
| 卷内 | \(\omega=2\pi/T\) | 角频率，单位 rad/s；\(T\) 为周期，\(f=1/T\) 为频率，单位 Hz。刚体转动的线速度为 \(v=\omega r_\perp\)。 |
| 补充 | \(\mathbf v_D=\mathbf E\times\mathbf B/B^2\) | 匀强、相互垂直的交叉场中的平均漂移速度；不是粒子的瞬时速度，与电荷正负无关。无受力直线运动还允许任意沿 \(\mathbf B\) 的恒定速度分量。 |
| 卷内 | \(d\mathbf B=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{I\,d\boldsymbol\ell\times\hat{\mathbf r}}{r^2}\) | Biot–Savart 定律；稳恒电流产生磁场，\(\hat{\mathbf r}\) 从电流元指向场点。先找对称性，再积分未抵消的分量。 |
| 卷内 | \(\oint\mathbf B\cdot d\boldsymbol\ell=\mu_0I_{\rm enc}\) | 静磁 Ampère 定律；正绕行与穿面正电流按右手定则配对。只在足够对称时直接提出 \(B\)；变化电通量时须加位移电流项。 |
| 卷内 | \(\oint_S\mathbf B\cdot d\mathbf A=0\) | 任意闭面净磁通为零；穿入与穿出抵消，不代表面上处处 \(B=0\)。 |
| 卷内 | \(\nabla\cdot\mathbf B=0\) | 上式的局部形式：磁场无净磁单极源。 |
| 卷内 | \(\boldsymbol\mu=NI\mathbf A\) | 线圈磁矩，单位 A·m²；\(\mathbf A=A\hat{\mathbf n}\)，法向由电流右手定则确定，\(N\) 为匝数。分布电流分成小环，用 \(d\mu=A_{\rm ring}\,dI\)。 |
| 卷内 | \(\boldsymbol\tau_B=\boldsymbol\mu\times\mathbf B\) | 外磁场对磁偶极子的力矩，单位 N·m；不是粒子的平移受力。\(\tau_B=\mu B\sin\theta\)，\(\theta\) 为磁矩与场的夹角。 |
常用磁场与环积分 · 均为补充
| 情形 | 公式与条件 |
|---|---|
| 无限长直导线 | \(B=\mu_0I/(2\pi r)\)；\(r\) 为到导线的距离，方向绕线。 |
| 圆线圈轴线 | \(B_z=\mu_0NIR^2/[2(R^2+z^2)^{3/2}]\)；环心 \(z=0\)，才可化为 \(\mu_0NI/(2R)\)。 |
| 长螺线管；理想环形线圈 | 内部 \(B\simeq\mu_0n_tI\)；环形线圈内部 \(B=\mu_0NI/(2\pi r)\)。\(n_t=N/l\) 为每米匝数，不是载流子密度。 |
| 旋转电荷环 | \(dI=dq/T=\omega\,dq/(2\pi)\)；先算电荷微元，再转成电流微元。磁矩乘环围成的平面面积，不乘球面条带面积。 |
4. 感应、电感与能量转化
| 来源 | 公式 | 含义、条件与符号 |
|---|---|---|
| 补充 | \(\Phi_B=\int_S\mathbf B\cdot d\mathbf A\) | 磁通，单位 Wb；均匀场和平面用 \(BA\cos\theta\)，\(\theta\) 是场与面积法向的夹角。\(N\) 匝等效线圈的磁通链为 \(\Lambda=N\Phi_B\)。 |
| 卷内 | \(\oint\mathbf E\cdot d\boldsymbol\ell=-\dfrac d{dt}\int_S\mathbf B\cdot d\mathbf A\) | 固定回路的 Faraday 定律；变化磁通对应有环流的电场。正绕行与面积法向按右手配对，负号表示反对磁通变化。 |
| 补充 | \(\mathcal E=\oint(\mathbf E+\mathbf u\times\mathbf B)\cdot d\boldsymbol\ell\) | 运动回路中每单位电荷的驱动力积分，\(\mathbf u\) 是导体材料速度。单段运动导体取相应路径积分；不能只看圆盘自身磁通是否变化。 |
| 补充 | \(\mathcal E_{\rm rod}=Blv,\quad\mathcal E_{\rm disk}=B\omega a^2/2\) | 前者要求杆、速度、磁场互相垂直；后者为半径 \(a\) 的匀速圆盘、\(\mathbf B\parallel\boldsymbol\omega\)，沿盘心到盘边积分 \(\int_0^aB\omega r\,dr\)。 |
| 卷内 | \(L=N\Phi_B/I\) | 自感，单位 H；自身电流产生的磁通链除以电流。几何固定、线性响应时 \(L\) 为常数。 |
| 补充 | \(\mathcal E_L=-L\dot I,\quad V_L=L\dot I\) | 前者是反对电流变化的自感电动势；后者按电流流入电压正端的被动约定定义端电压。有限电压下电感电流连续。 |
| 卷内 | \(M=N_2\Phi_{21}/I_1\) | 互感，单位 H；\(\Phi_{21}\) 为电流 \(I_1\) 在第 2 线圈每匝产生的磁通。绕向决定代数符号；感应电动势 \(\mathcal E_2=-M\dot I_1\)。 |
| 卷内 | \(U_L=LI^2/2\) | 线性电感储能。两个互感线圈为 \(U=\tfrac12L_1I_1^2+\tfrac12L_2I_2^2+MI_1I_2\)，\(M\) 与电流正向必须一致。 |
| 卷内·更正 | \(u_B=B^2/(2\mu_0)\) | 真空磁能密度，单位 J/m³；线性、无色散磁介质为 \(B^2/(2\mu)\)。总能量须再对体积积分。 |
| 补充 | \(L\dot I+RI=\mathcal E,\quad\tau_{RL}=L/R\) | 串联 RL 一阶回路；恒定电源时 \(I_\infty=\mathcal E/R\)，\(I=I_\infty+(I_0-I_\infty)e^{-t/\tau_{RL}}\)。 |
| 补充 | \(\boldsymbol\tau=\int\mathbf r\times d\mathbf F,\quad\mathcal I\dot\omega=\tau_{\rm net},\quad P_{\rm mech}=\tau\omega\) | 求转动力矩要乘力臂；\(\mathcal I\) 是转动惯量，不是电流。圆盘 \(\mathcal I=ma^2/2\)；磁制动常先用 \(\tau_{\rm ext}\omega=I^2R\) 求维持匀速所需力矩。 |
5. LC、RLC 与交流
| 来源 | 公式 | 含义、条件与符号 |
|---|---|---|
| 卷内 | \(\omega_0=1/\sqrt{LC}\) | 理想 LC 固有角频率；由 \(L,C\) 决定，不由初始振幅决定。\(q=q_m\cos(\omega_0t+\phi_0)\)，取电流流入所标极板时 \(I=\dot q\)。 |
| 补充 | \(L\ddot q+R\dot q+q/C=\mathcal E(t)\) | 串联 RLC 方程，取 \(I=\dot q\)。无源欠阻尼时 \(q\propto e^{-Rt/(2L)}\cos(\omega_dt+\phi)\)，\(\omega_d=\sqrt{1/(LC)-(R/2L)^2}\)。 |
| 补充 | \(R_c=2\sqrt{L/C}\) | 无源串联 RLC 的临界电阻；\(0<R<R_c\) 衰减振荡，\(R=R_c\) 临界阻尼，\(R>R_c\) 无振荡。 |
| 补充 | \(Z_R=R,\quad Z_L=j\omega L,\quad Z_C=1/(j\omega C)\) | 复阻抗，单位 Ω，\(j^2=-1\)；串联相加，并联加倒数。用于正弦稳态，不直接描述刚接通的瞬态。 |
| 补充 | \(Z=R+jX,\quad X=\omega L-1/(\omega C),\quad I_m=V_m/\sqrt{R^2+X^2}\) | 串联 RLC 电流峰值。\(X>0\) 感性、电流滞后；\(X<0\) 容性、电流超前。 |
| 补充 | \(I(t)=I_m\cos(\omega t-\phi),\quad\tan\phi=X/R\) | 电源取 \(V_m\cos\omega t\)，\(R>0\)。共振时 \(X=0,\omega=\omega_0\)，电流同相且幅度最大。 |
| 补充 | \(I_{\rm rms}=I_m/\sqrt2,\quad\langle P\rangle=I_{\rm rms}^2R=I_m^2R/2\) | 正弦交流的有效值与电阻平均功率；电压有效值同理。一般还可用 \(V_{\rm rms}I_{\rm rms}\cos\phi\)。 |
| 补充 | \(\Delta\omega=R/L,\quad Q_{\rm qual}=\omega_0L/R\) | 串联 RLC 电流共振的半功率带宽与品质因数；这里 \(Q_{\rm qual}\) 不是电荷。 |
6. Maxwell 方程与电磁波
| 来源 | 公式 | 含义、条件与符号 |
|---|---|---|
| 卷内 | \(\nabla\times\mathbf E=-\partial\mathbf B/\partial t\) | Faraday 定律的局部形式：变化磁场对应电场环流。右侧是局部偏导，不是粒子运动的导数。 |
| 卷内 | \(\nabla\times\mathbf B=\mu_0\mathbf J+\mu_0\epsilon_0\partial\mathbf E/\partial t\) | 真空形式的 Ampère–Maxwell 定律；\(\mathbf J\) 为总物质电流密度，后一项为电场变化的贡献。 |
| 补充 | \(\oint\mathbf B\cdot d\boldsymbol\ell=\mu_0(I_{\rm enc}+\epsilon_0\,d\Phi_E/dt)\) | 固定回路的积分形式。真空间隙中位移电流 \(I_d=\epsilon_0\,d\Phi_E/dt\)；它不是电荷穿越真空的电流。 |
| 补充 | \(c=1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0},\quad c=f\lambda_{\rm wave},\quad k_{\rm wave}=2\pi/\lambda_{\rm wave}=\omega/c\) | 真空波速、波长、波数；\(k_{\rm wave}\) 不是真空库仑常数 \(k_e\)。\(\cos(kx-\omega t)\) 向 \(+x\) 传播，正号则向 \(-x\)。 |
| 补充 | \(\mathbf B=\hat{\mathbf k}\times\mathbf E/c,\quad B_m=E_m/c\) | 单一真空平面行波；\(\hat{\mathbf k}\) 为传播方向。电、磁场同相且互相垂直，\(\mathbf E\times\mathbf B\) 指向传播方向。 |
| 补充 | \(\mathbf S=\mathbf E\times\mathbf B/\mu_0,\quad\langle S\rangle=\epsilon_0cE_m^2/2\) | Poynting 矢量是能流密度，单位 W/m²；后一式为正弦真空平面行波的平均强度，\(E_m\) 是峰值。 |
| 补充 | \(\partial_t(u_E+u_B)+\nabla\cdot\mathbf S=-\mathbf J\cdot\mathbf E\) | 真空形式的局部能量守恒；\(\mathbf J\cdot\mathbf E\) 是单位体积物质获得的电功率。平面行波中 \(u_E=u_B\)。 |
| 补充 | \(p_{\rm abs}=\langle S\rangle/c,\quad p_{\rm refl}=2\langle S\rangle/c\) | 正入射、完全吸收或理想镜面反射的平均辐射压；受光面积 \(A\) 上平均法向力 \(F=pA\)。 |
7. 偶极子与材料响应
| 来源 | 公式 | 含义、条件与符号 |
|---|---|---|
| 卷内 | \(\mathbf p=q\mathbf d\) | 电偶极矩，单位 C·m；两电荷为 \(\pm q\)、\(q>0\)，\(\mathbf d\) 从负电荷指向正电荷。 |
| 卷内 | \(\boldsymbol\tau_E=\mathbf p\times\mathbf E\) | 外电场对电偶极子的力矩；均匀场中合力为零，但力矩可不为零。\(\tau_E=pE\sin\theta\)。 |
| 补充 | \(U_p=-\mathbf p\cdot\mathbf E,\quad U_\mu=-\boldsymbol\mu\cdot\mathbf B\) | 固定偶极矩在外场中的取向势能；顺场能量最低。 |
| 补充 | \(V_p\simeq k_e\mathbf p\cdot\hat{\mathbf r}/r^2,\quad\mathbf E_p\simeq\dfrac{k_e}{r^3}[3(\mathbf p\cdot\hat{\mathbf r})\hat{\mathbf r}-\mathbf p]\) | 点电偶极子的远场；真实双电荷需 \(r\gg d\)，\(r\) 从偶极中心量起。 |
| 补充 | \(\mathbf D=\epsilon_0\mathbf E+\mathbf P,\quad\oint\mathbf D\cdot d\mathbf A=Q_{\rm free,enc}\) | \(\mathbf P\) 是单位体积电偶极矩，\(\mathbf D\) 的通量只数自由电荷；两者单位均为 C/m²。线性各向同性材料中 \(\mathbf D=\epsilon\mathbf E\)。 |
| 补充 | \(\rho_b=-\nabla\cdot\mathbf P,\quad\sigma_b=\mathbf P\cdot\hat{\mathbf n}\) | 极化产生的体、面束缚电荷密度；法向 \(\hat{\mathbf n}\) 朝介质外。\(\mathbf P=\epsilon_0(\epsilon_r-1)\mathbf E\) 另要求线性各向同性。 |
| 补充 | \(\mathbf H=\mathbf B/\mu_0-\mathbf M,\quad\mathbf M=\chi_m\mathbf H,\quad\mu=\mu_0(1+\chi_m)\) | \(\mathbf M\) 为单位体积磁矩，\(\mathbf H,\mathbf M\) 单位 A/m；后两式要求线性各向同性。\(\mathbf M\) 不是互感 \(M\)。 |
| 补充 | \(M=n_a\mu_a\tanh[\mu_aB/(k_BT)]\simeq n_a\mu_a^2B/(k_BT)\) | 课件独立两态磁矩模型；\(n_a\) 为原子数密度，\(\mu_a\) 为单个磁矩。近似要求 \(\mu_aB\ll k_BT\)，\(T\) 必须用 K；固定弱场时温度加倍，\(M\) 减半。不能套用于完整铁磁磁滞回线。 |
8. 常数与单位
| 量 | 数值与识别 |
|---|---|
| 卷内：元电荷大小 \(e\) | \(1.6\times10^{-19}\ \mathrm C\)；电子带 \(-e\)。 |
| 卷内：电子质量 \(m_e\) | \(0.91\times10^{-30}\ \mathrm{kg}=9.1\times10^{-31}\ \mathrm{kg}\)。 |
| 卷内：Boltzmann 常数 \(k_B\) | \(1.38\times10^{-23}\ \mathrm{J/K}\)；\(k_BT\) 是热运动能量尺度。 |
| 卷内：真空介电常数 \(\epsilon_0\) | \(8.85\times10^{-12}\ \mathrm{F/m}\)；等价于 \(\mathrm{C^2/(N\,m^2)}\)。 |
| 卷内：真空磁导率 \(\mu_0\) | 按课内近似取 \(4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{H/m}\)；等价于 \(\mathrm{T\,m/A}\)。 |
| 补充：\(k_e,c\) | \(k_e\approx8.99\times10^9\ \mathrm{N\,m^2/C^2}\)；\(c\approx3.00\times10^8\ \mathrm{m/s}\)。 |
| 单位换算 | \(1\ \mathrm V=1\ \mathrm{J/C}\)；\(1\ \Omega=1\ \mathrm{V/A}\)；\(1\ \mathrm{Wb}=1\ \mathrm{T\,m^2}\)；\(1\ \mathrm H=1\ \mathrm{Wb/A}\)。 |